metod_k5_2011_v2

Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования

«ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ»

(ФИНУНИВЕРСИТЕТ)

Кафедра «Теория вероятностей и математическая статистика»

УТВЕРЖДАЮ

Ректор М.A. Эскиндаров

A.В. Браилов П.Е. Рябов

Теория вероятностей и математическая статистика

Методические рекомендации по самостоятельной работе

Часть 5

Для студентов, обучающихся по направлению 080100.62 «Экономика»

(программа подготовки бакалавра)

Рекомендовано Ученым советом факультета математических методов и анализа рисков (протокол № 13 от 22 февраля 2011 г.)

Одобрено кафедрой «Теория вероятностей и математическая

статистика» (протокол № 6 от 3 февраля 2011 г.)

Москва 2011

Учебное издание

Браилов Андрей Владимирович Рябов Павел Евгеньевич

Теория вероятностей и математическая статистика Методические рекомендации

по самостоятельной работе Часть 5

Компьютерный набор, верстка Рябов П.Е. Формат 60× 90/16. Гарнитура Times New Roman Усл. 4,4 п.л. Изд. № 34.11 – 2011. Тираж – 206 экз.

Заказ № Отпечатано в Финуниверситете

c Браилов Андрей Владимирович, 2011c Рябов Павел Евгеньевич, 2011

c Финуниверситет, 2011

Содержание

§1. Эмпирические характеристики признаков .......... 5 §2. Межгрупповая дисперсия...........................10 §3. Интервальные характеристики признака .......... 12 §4. Повторные и бесповторные выборки ............... 13 §5. Выборки из распределения ......................... 26 §6. Точечные статистические оценки .................. 29 §7. Доверительные интервалы.......................... 34 Требования к оформлению домашней контрольной работы .................................... 38

Вариант № 5-01.........................................39 Вариант № 5-02.........................................40 Вариант № 5-03.........................................41 Вариант № 5-04.........................................42 Вариант № 5-05.........................................43 Вариант № 5-06.........................................44 Вариант № 5-07.........................................45 Вариант № 5-08.........................................46 Вариант № 5-09.........................................47 Вариант № 5-10.........................................48 Вариант № 5-11.........................................49 Вариант № 5-12.........................................50 Вариант № 5-13.........................................51 Вариант № 5-14.........................................52 Вариант № 5-15.........................................53 Вариант № 5-16.........................................54 Вариант № 5-17.........................................55 Вариант № 5-18.........................................56 Вариант № 5-19.........................................57 Вариант № 5-20.........................................58 Вариант № 5-21.........................................59 Вариант № 5-22.........................................60 Вариант № 5-23.........................................61 Вариант № 5-24.........................................62

Вариант № 5-25.........................................63 Вариант № 5-26.........................................64 Вариант № 5-27.........................................65 Вариант № 5-28.........................................66 Вариант № 5-29.........................................67 Вариант № 5-30.........................................68 Рекомендуемая литература ............................ 69

§1. Эмпирические характеристики признаков

Одним из первых понятий, с которых начинается изложение математической статистики, является понятие признака. В сущности, признак – это то же самое, что функция, только без явной привязки к некоторой области определения. Вместо термина признак иногда используется равнозначный термин переменная. Признаки обозначаются так же, как и случайные величины – большими латинскими буквами: X ,Y и т.д.

Рассмотрим признак X , заданный на некотором множестве (статистической совокупности) Ω = {ω1 ,...,ωn }. Пусть x1 = X (ω1 ), . . . , xn = X (ωn ) – его значения.

Определение. Эмпирическим средним или средним значением признака в совокупности Ω называется сред-

нее арифметическое всех его значений в этой совокуп-

ности

x¯ = x1 + x2 + ... + xn . n

Определение. Эмпирической дисперсией или дисперсией признака X в совокупности Ω называется среднее

арифметическое квадратов отклонений его значений от эмпирического среднего

D (X ) = (x1 − x¯)2 + (x2 − x¯)2 + ... + (xn − x¯)2 , n

√

при этом корень σ = D (X ) называется стандартным отклонением признака X в совокупности Ω .

Эмпирические начальные и центральные моменты k- го порядка признака X определяются соотношениями:

– центральный момент.

5

В этих формулах k = 1, 2, ... – порядок эмпирического момента.

Наконец, эмпирическая функция распределения F (x)

определяется так:

F (x) = {число элементов ω Ω , для которых X (ω ) < x}. n

Обозначения эмпирических моментов и функции распределения зависят от обозначения статистической совокупности. Если, например, признак X определен на совокупности Ωˆ , эмпирические моменты обозначаются νˆk

и µ , а функция распределения – ˆ .

ˆ k F (x)

Введенные эмпирические понятия обладают всеми свойствами своих теоретико-вероятностных аналогов. Например, хорошо известное в теории вероятностей

тождество

D (X ) = E (X 2) − E 2(X )

применительно к признаку X со значениями x1 , ..., xn на

Упорядочив значения x1 , ..., xn по неубыванию, получим вариационный ряд признака

x(1) 6 x(2) 6 ... 6 x(n−1) 6 x(n) .

Разность между наибольшим и наименьшим значением x(n) − x(1) называется размахом признака.

Порядковый центр (середина) вариационного ряда называется эмпирической медианой и определяется формулой

x(k+1) , если n = 2k + 1,

M e = 1

2 x(k) + x(k+1) , если n = 2k.

6

Эмпирические квантили порядка p определяются как приближенные решения уравнения F (x) = p, где F (x) – эмпирическая функция распределения.

Пусть X – признак в совокупности Ω объема n. Список всех его значений образует ряд из n чисел. Удалив из него одинаковые числа и пронумеровав заново то, что осталось, получим последовательность x1 ,... ,xs, s 6 n.

Определение. Количество ni элементов ω Ω , для которых X (ω ) = xi называется частотой значения xi . Отно-

называется частотным (или статистическим) рас-

пределением, а таблица относительных частот

называется эмпирическим распределением признака.

Эмпирические характеристики признака находятся по таблицам частот следующим образом:

• эмпирическое среднее

x¯ = x1n1 + ... + xsns , n

• эмпирический начальный момент порядка k

• эмпирический центральный момент порядка k

µk = (x1 − x¯)k n1 + ... + (xs − x¯)k ns , n

• эмпирическая дисперсия

D (X ) = (x1 − x¯)2 n1 + ... + (xs − x¯)2 ns , n

• эмпирическая функция распределения

F (x) = 1 ∑ ni .

n xi <x

Пусть xi = X (ωi ) и yi = Y (ωi ), ωi Ω – значения признаков X и Y на совокупности Ω = {ω1 ,... ,ωn }. Эмпирическая ковариация определяется формулой

Таблицей сопряженности или совместным частотным распределением признаков X и Y называется следующая таблица:

где ni j – частота пары (xi ,y j ), т.е. число элементов ω Ω , для которых X (ω ) = xi , а Y (ω ) = y j .

На основе таблицы сопряженности эмпирическая ковариация находится по формуле:

1 r s

COV(X ,Y ) = ∑ ∑ (xi − x¯)(y j − y¯)ni j .

n i=1 j=1

8

§2. Межгрупповая дисперсия

Пусть X – признак в совокупности Ω объема n, разбитой на s групп:

Ω i = {ωi1 , ωi2 , ... , ωini }, i = 1,...,s.

Введем следующие обозначения:

xi j = X (ωi j )

– значение признака на j-м элементе i-ой группы;

– эмпирическое среднее в i-ой группе или i − групповое среднее;

– эмпирическая дисперсия в i-й группе или i − групповая дисперсия;

– эмпирическое среднее во всей совокупности Ω или общее среднее;

10

ni=1 j=1

–эмпирическая дисперсия признака в Ω или общая дисперсия.

Общую дисперсию σ 2 можно представить в виде сум-

мы

где первое слагаемое σ¯ 2 характеризует среднюю изменчивость признака в каждой группе Ω 1, ... , Ω k , а второе слагаемое δ 2 характеризует разброс групповых средних x¯1 , ... , x¯k .

Пример 2. Пусть некоторая совокупность разбита на две равные по объему группы. Предположим, что в первой группе среднее значение признака x¯1 = 10, дисперсия σ12 = 15, а во второй группе x¯2 = 20, σ22 = 25. Найдите сред-

нее значение и дисперсию признака во всей совокупности.

Решение. Сначала находим среднее, затем дисперсию:

Ответ: x¯ = 15, σ 2 = 45.

§3. Интервальные характеристики признака

Пусть (a1 , b1 ), ... , (as , bs) – набор попарно непересекающихся интервалов, покрывающих все значения признака X в совокупности Ω объема n.

Определение. Частотой интервала (ai , bi ) называется число тех элементов ω Ω , для которых X (ω ) (ai ,bi ); интервал (ai ,bi ) при этом называется i-м интервалом

группировки.

Таблицей интервальных частот называется табли-

ца

в которой ni – частота интервала (ai ,bi ), i = 1, 2, ..., s. Поскольку интервалы группировки не пересекаются и покрывают все значения признака, сумма интервальных частот равна объему совокупности, ∑si=1 ni = n. Обозначим середину i-го интервала группировки через xi =

К эмпирическим интервальным характеристикам относятся:

интервальное среднее x¯ = 1n ∑si=1 xi ni ,

интервальная дисперсия D (X ) = 1n ∑si=1 (xi − x¯ )2ni ,

интервальное стандартное отклонение σ (X ) = √D (X ).

Отметим, что эти и другие эмпирические интервальные характеристики вычисляются как характеристики

интервального распределения

В типичном случае, когда концы интервалов группировки i = (ai ,bi ) образуют арифметическую прогрессию с шагом h,

1 = (a1 , a1 + h), 2 = (a1 + h, a1 + 2h), ...

для приближенного вычисления эмпирической дисперсии σ 2 по интервальному распределению применяется поправка Шеппарда:

σ 2 ≈ σ 2 − 1 h2 .

12

§4. Повторные и бесповторные выборки

Определение. Совокупность, из которой извлекаются элементы, называется генеральной, тогда как совокупность, образованная отобранными элементами, называется выборочной.

Повторной выборкой называется совокупность, образованная по следующей схеме: сначала из генеральной совокупности случайным равновероятным образом извлекается один элемент; затем этот элемент возвращается в генеральную совокупность и все повторяется, пока не будет отобрано необходимое число элементов. Бесповторной выборкой называется совокупность, образованная по аналогичной схеме, но с одним отличием – отобранные элементы в генеральную совокупность не возвращаются.

Характерной особенностью бесповторной выборки является то, что она состоит из различных элементов. Напротив, в состав повторной выборки могут входить одинаковые элементы генеральной совокупности.

Предположим, что из генеральной совокупности Ω объема N извлекается выборка Ωˆ объема n. Пусть X – некоторый признак на Ω . Поскольку все элементы Ωˆ , независимо от вида выборки, являются также элементами Ω , признак X определен и на совокупности Ωˆ .

Обозначим x01 , x02 , ..., x0N значения признака X в генеральной совокупности и X1 , X2 , ..., Xn – значения X в выборке. Далее значения x01, ..., x0N рассматриваются как числа, а X1, ..., Xn – как случайные величины.

Определение. Генеральными (соответственно выборочными) характеристиками признака X называют эмпирические характеристики признака X в генеральной (соответственно выборочной) совокупности.

Например:

D (X ) = n ∑i=1 (Xi − X ) – выборочная дисперсия (случайная величина).

Теорема. Пусть X1, ..., Xn – значения признака X в выборке, x¯0 – генеральное среднее, а D (X ) – генеральная дис-

где N – объем генеральной совокупности.

Из теоремы нетрудно получить следующее следствие:

Следствие. Пусть X1 ,... Xn ; Y1 ,... ,Yn – значения признаков X и Y в выборочной совокупности объема n, COV(X ,Y )

– ковариация признаков X и Y в генеральной совокупности объема N . Тогда для ковариации выборочных сред-

Для бесповторной выборки доказательство аналогично.

Пример 3. Признак X (k) задан на множестве Ω = {1,2,... ,10} следующей таблицей:

Из Ω извлекается случайная бесповторная выборка объема 5. Найдите математическое ожидание и диспер-

сию среднего значения ¯ признака в выборке.

X X

Решение. Распределение частот признака X имеет следующий вид

Объем генеральной совокупности N = 10. Найдем генеральное среднее и генеральную дисперсию признака X

Используя формулы (8) и (10) в случае бесповторной выборки объема n = 5, находим математическое ожидание и

Ответ: 1,8; 0,04.

Пример 4. Признак X (k) задан на множестве Ω = {1,2,... ,10} следующей таблицей:

Из Ω извлекается случайная повторная выборка объема 5. Найдите математическое ожидание и диспер-

сию среднего значения ¯ признака в выборке.

X X

Решение. Отличие от предыдущего примера состоит в том, что теперь извлекается повторная выборка. Здесь N = 10, n = 5. Генеральные характеристики признака X соответственно равны x¯0 = 2,4, D (X ) = 0,64. Используя формулы

(8) и (9) в случае повторной выборки, находим

Ответ: 2,4; 0,128.

Пример 5. Итоговое распределение баллов на некотором письменном экзамене задано таблицей

Работы проверяли 8 преподавателей, которые раздели-

ли все работы между собой поровну случайным образом. Предполагая независимость оценки от личности проверяющего, найдите математическое ожидание и дисперсию среднего балла по результатам одного преподавателя.

Решение. Объем генеральной совокупности составляет N = 16 + 16 + 24 + 40 = 96 работ. Найдем генеральные характеристики (генеральное среднее x¯0 и генеральную диспер-

17

Каждому преподавателю досталось 12 работ. Используя формулы (8) и (10) в случае бесповторной выборки объема n = 12, находим математическое ожидание и дисперсию среднего бала по результатам одного преподавателя

Ответ: 3,917; 0,01916.

Пример 6. Две игральные кости, красная и синяя, подбрасываются до тех пор, пока не выпадет 19 различных с учетом цвета комбинаций очков. Пусть Si – сумма оч-

ков на красной и синей кости в -той комбинации, ¯ – i S

среднее арифметическое всех этих сумм, i = 1,... ,19. Най-

дите математическое ожидание и дисперсию среднего

значения ¯.

S

Решение. Генеральную совокупность объема N = 36 можно представить как пространство элементарных исходов в опыте по подбрасыванию двух игральных костей, выборочную – объема n = 19 – как результат бесповторной выборки из этой генеральной совокупности. В обеих совокупностях определены признаки: X1 – число очков на красной, X2 – число очков на синей игральной кости и

18