ДКР№5
.pdf
18
1 z f x, y x2 14x y2 13 .
.
.
2 d2u |
2 |
, |
2 |
: u 5x sin 7x 5y . |
|
|
|||
3 |
3 |
|
||
3z f x, y ,
x2 y2 5z2 12xyz.
|
f x, y, z 9x2y2z2 x2 xz 12x y2 6y 5z 44 A 5, 3, 2 |
|
a 4, 8, 8 . |
5 |
|
|
f x, y 2x2 12x 5y3 15y2 225y 385 . |
6 |
|
|
f x, y 4x2 24x y2 6y 40 2x y 11 0. |
7 |
|
|
f x, y xy x y 15 D x, y | x y 20, x 0, y 0 . |
8
3%,
9% 6%.
2 105 ., 4 104
8 1015 .
,
K0 2 105, L0 2 102.
k KL
MRSLK
MRSLK
k KL .
20
19
1 z f x, y x2 14x y2 6y 49 .
.
.
2 |
|
|
|
z sin 3y2 4x2 4x 1 . |
|
3 |
|
|
|
z f x, y 2x y 4z e 2x y 4z. |
|
4z x, y ln 4x2 3y2 M 2, 2
14 x.
5f x, y x2y y 4x2 8 .
6f x, y 9x 36y 281
x 1 2 9 y 8 2 36.
f x, y x 3 2 y 5 2 18 ABC A 0, 0 ,
B 9, 0 C 0, 15 .
8
3%,
9% 6%.
2 106 ., 1 106
8 1015 .
,
K0 2 105, L0 1 103.
k KL
MRSLK
MRSLK
k KL .
21
20
1 z f x, y 8x2 48x y 70 .
.
.
2 |
|
f x, y 3x4 5xy2 5y3 |
|
|||
|
M 0, 1 . |
|
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|
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|
3 |
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|||||
|
z f x, y x2 |
1 |
y2 |
1 |
z2 6. |
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4 |
25 |
|
|||
|
|
|
|
|
||
4 |
|
|
|
|
|
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|
f x, y ln x2 10x y2 2y 37 |
|
A 8, 1 |
|
||
|
a 7, 24 . |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
||||
|
f x, y 2x2 8x 3y3 18y2 4 . |
|
||||
6 |
|
|
||||
|
f x, y 3x 4y x2 y2 25. |
|
||||
7 |
|
|
||||
|
f x, y xy x y 15 D |
x, y | x y 20, x 0, y 0 . |
||||
8
5%,
15% 10%.
4 104 ., 1 104
64 1012 .
,
K0 4 104, L0 1 102.
k KL
MRSLK
MRSLK
k KL .
22
21
1 z f x, y |
1 |
. |
|
x2 8x y2
.
.
2 |
|
f x, y 4x2 2xy2 y3 |
|
||
|
M 0, 3 . |
|
|
|
|
3 |
|
||||
|
z f x, y x2 y2 |
1 |
z2 6. |
|
|
|
|
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|||
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|
25 |
|
|
|
4 |
f x, y 5x2 5xy 9x 5y2 42y 97 |
|
|||
|
A 2, 5 a 6, 8 . |
|
|||
5 |
|
|
|||
|
f x, y 4x2 40x 4y3 60y2 120 . |
|
|||
6 |
|
|
|||
|
f x, y 2 x2 4x y2 10y 28 x y 1 0. |
|
|||
7 |
f x, y xy x y 3 |
||||
|
D |
x, y | x y 6, x 0, y 0 . |
|
||
8
2%,
6% 8%.
2 103 ., 1 1012
8 1012 .
,
K0 2 104, L0 1 103.
k KL
MRSLK
MRSLK
k KL .
23
22
1 z f x, y |
1 |
. |
|
x2 y2 6y 55
.
.
2
z 4 arctan 1x y.
3
z f x, y x 6y 2z e x 6y 2z.
4 f x, y ln x2 x y2 y 5 A 2, 1
a 21, 72 .
f x, y 3x2 30x y3 15y2 63y 3 .
f x, y 16x2 64x y2 8y 71 4x y 4 0. |
|
||||
7 |
|
|
|
|
|
f x, y x 4 2 y 5 2 18 |
|
|
ABC A 0, 0 , |
||
B 12, 0 C 0, 15 . |
|
|
|
|
|
8
3%,
6% 6%.
3 104 ., 9 104
9 108 .
,
K0 3 104, L0 3 102.
k KL
MRSLK
MRSLK
k KL .
24
23
1 z f x, y x2 6x y2 55 .
.
.
2 d2u , : u 7x sin 9y 2x .
3z f x, y ,
3x2 2y2 2z2 6xyz.
f x, y, z 16x2y2z2 x2 xz 4x y2 6y z 12 A 1, 3, 2
a 2, 4, 4 .
f x, y 4x2 32x 3y3 9y2 27y 13 .
f x, y 16x2 160x y2 4y 401 4x y 14 0.
7
f x, y xy x y 9 D 
x, y | x y 14, x 0, y 0
.
8
3%,
9% 12%.
3 104 ., 1 1012
27 1015 .
,
K0 3 105, L0 1 103.
k KL
MRSLK
MRSLK
k KL .
25
24
1 z f x, y x2 6x y2 16y 64 .
.
.
2 |
|
|
|
z sin 5y2 4x2 4x 4 . |
|
3 |
|
|
|
z f x, y x y 5z e x y 5z. |
|
4z x, y ln 5x2 2y2 M 3, 1
16 x.
f x, y x2y 16y 12x 6xy 2x2 36 .
6
f x, y 9x 36y 68 x 1 2 9 y 2 2 225.
7
f x, y x 3 2 y 6 2 18 ABC A 0, 0 ,
B 9, 0 C 0, 18 .
8
2%,
6% 8%.
5 104 ., 81 1012
125 1015 .
,
K0 5 105, L0 3 103.
k KL
MRSLK
MRSLK
k KL .
26
25
1 z f x, y 3x2 6x y 1 .
.
.
2 |
f x, y 4x4 xy 3y2 M 0, 1 . |
||||||
3 |
|
||||||
|
z f x, y |
1 |
x2 |
1 |
y2 |
1 |
z2 5. |
|
9 |
25 |
|
||||
|
|
|
16 |
|
|||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
f x, y ln x2 x y2 15 |
|
|
A 2, 3 |
|
||
|
a 21, 72 . |
|
|
|
|
|
|
f x, y 5x2 20x y3 3y2 10 .
f x, y 12x 64y x2 16y2 144.
7
f x, y xy x y 15
D 
x, y | x y 18, x 0, y 0
.
8
4%,
12% 8%.
4 106 ., 9 104
64 1018 .
,
K0 4 106, L0 3 102.
k KL
MRSLK
MRSLK
k KL .
27
26
1. z(x, y) ln(x2 y 1) .
) .
? ? -
. .) .
.
2. z sin x (0; 2) . y
3. z f (x, y) , -
x2 cos(xy) y zy z2 5 .
4. z 2x3 5xy2 4 y2 xy A (2; 3)
u ( 4; 3) .
5. :
) z x2 2xy 4 y2 12x 24y 4 ;) z ( y2 10xy 2 y) ex .
6. :) z ex 2 y x2 y2 1;
) z 16x2 64x y2 8y 76 4x y 28 0 .
7.
z x2 y(4 x y) D (x, y) R2 x 0, y 0, x y 6 .
8. ) Q(K , L) K 0.25L0.75 ( Q –
, K – , L –
) K0 81, L0 256 -
,
, .
) – -
. 3%, -
6% 9%. -
1 ., 1000. -
10 .
.
28
26
1. ) z(x, y) ln(x2 y 1) -
D(z) (x, y) R2 |
|
x2 y 1 0 . |
|
|
|
||||
D(z) |
x2 y 1 0 . |
- |
||
D(z) , -
( ,
D(z) ). D , -
x2 y 1 0 y x2 1. , D(z) –
, y x2 1. -
D , -
.
) z(x, y) ln(x2 y 1)
ln(x2 y 1) const .
ln c , c 0 . -
y , : y x2 1 c . , – ,
y x2 1 Oy
c c 0 .
2. -
:
29