Контрольные работы по линейной алгебре (1)

50

Правая часть неоднородного уравнения (17) представляет собой сумму двух показательных функций,

f(n) = 7 · 2n, g(n) = 5 (−3)n ;

частное решение неоднородного уравнения ищем для каждого слагаемого отдельно.

Поскольку основание показательной функции f(n) = 7 · 2n, равное 2, не совпадает с корнем характеристического уравнения, решение уравнения ищем в виде Xn = A · 2n. Подставляя выражения

Xn = A · 2n, Xn+1 = A · 2n+1, Xn+2 = A · 2n+2

в уравнение

Xn+2 + 6Xn+1 + 9Xn = 7 · 2n,

получаем

Xn+2 + 6Xn+1 + 9Xn = A · 2n+2 + 6A · 2n+1 + 9A · 2n = 25A · 2n = 7 · 2n,

так что A = 7/25, а соответствующее частное решение

Xn = 257 2n.

Основание показательной функции g(n) = 5 · (−3)n, равное −3, совпадает с двойным корнем характеристического уравнения, поэтому частное решение уравнения ищем в виде Yn = An2 · (−3)n. Подставляя выражения

Yn = An2 · (−3)n, Yn+1 = A(n + 1)2 · (−3)n+1, Yn+2 = A(n + 2)2 · (−3)n+2

в уравнение

Yn+2 + 6Yn+1 + 9Yn = 5 · (−3)n,

получаем

Yn+2 + 6Yn+1 + 9Yn =

=A(n + 2)2 · (−3)n+2 + 6A(n + 1)2 · (−3)n+1 + 9An2 · (−3)n =

=18A · (−3)n = 5 · (−3)n,

так что A = 5/18, а соответствующее частное решение

Yn = 185 n2 · (−3)n.

Общее решение неоднородного уравнения (17) представляет собой сумму об-

◦

щего решения xn однородного уравнения и частных решений Xn, Yn неоднородного уравнения, соответствующих слагаемым f(n), g(n) в правой части уравнения (17):

xn = (−3)n (C1 + C2n) + 257 2n + 185 n2 (−3)n .