Zadachnik_po_MA

−x−26,x ( − ∞; − 7),

f(x) = −6x2 +5x +8,x [ − 7; − 4),

x+42 ,x (− 4; +∞).

144.Найдите точки разрыва функции и определите их типы

−x+25 ,x ( − ∞; − 3),

f(x) = 2x2 +5x +2,x ( − 3; − 1],

1x,x ( − 1; +∞).

145.Найдите точки разрыва функции и определите их типы

x−82,x (− ∞; − 2),

f(x) = −3x2 − 4x +2,x [ − 2;6),

−x−26,x (6; +∞).

146.Найдите точки разрыва функции и определите их типы

−x−84,x ( − ∞;2),

−2x2 +7x − 2,x (2;4),

x+47 ,x (4; +∞).

147.Найдите точки разрыва функции и определите их типы

−x+71 ,x ( − ∞; − 9),

f(x) = 2x2 +2x − 3,x [ − 9; − 2],

x+31 ,x (− 2; +∞).

148.Найдите точки разрыва функции и определите их типы

x−45,x (− ∞;4),

f(x) = −3x2 − x +3,x [4;6),

−x−15,x [6; +∞).

149.Найдите точки разрыва функции и определите их типы

−x+13 ,x ( − ∞; − 2),

f(x) = 2x2 +5x +5,x ( − 2; − 1),

−x+22 ,x ( − 1; +∞).

150.Найдите точки разрыва функции и определите их типы

x+49 ,x (− ∞; − 5),

f(x) = −x2 − 4x − 4,x ( − 5; − 3),

−x+41 ,x [ − 3; +∞).

151.Найдите точки разрыва функции и определите их типы

x+51 ,x (− ∞; − 6],

f(x) = −x2 − 6x − 1,x ( − 6; − 3],

−x+48 ,x ( − 3; +∞).

Асимптоты графика функции

x3

152.Найдите асимптоты графика функции f(x) = − x2 − 4 .

2 2x +5 3x

159.Найдите асимптоты графика функции f(x) = 4 2x − 5 3x .

x+7

160.Найдите асимптоты графика функции f(x) = x − 6−7 .6

162.Найдите асимптоты графика функции f(x) = − 3x − arctg(2x − 3).

163.Найдите асимптоты графика функции f(x) = x2ln − 1 − x +12 .

164. Найдите асимптоты графика функции f(x) = x2ln 1 − x+38 .

x→ ±∞

асимптоты y = ax+ b, воспользуйтесь правилом Лопиталя или асимптотической

формулой ln(1+ t) = t − t2 + o(t2) при t → 0. 2

165. Найдите асимптоты графика функции f(x) = xarctg(6 − 3x).

Свойства непрерывных функций

166. Пользуясь свойствами непрерывных функций, докажите, что уравнение

6x3 − 3x2 +6x − 5 = 0 имеет хотя бы один действительный корень. Вычислите корень (или один из корней) этого уравнения приближенно с точностью до 0,01.

Производная

Упражнения на вычисление производных

167. Продифференцируйте функцию f(x) = 8arcsin9 −3−3 +10√9 10x3 +5x.

Преобразовывать и упрощать выражение производной не нужно.

168. Вычислите производную функции f(x) = 8logπ9(7)+ 9arcsin(6x3 − 7x).

Преобразовывать и упрощать выражение производной не нужно.

169. Вычислите производную функции f(x) = 8cos6(− 7x2 +8x). Преобразовывать и упрощать выражение производной не нужно.

1

170. Продифференцируйте функцию f(x) = 10 −5x3 + x − arcsin5(2x3 +7x).

Преобразовывать и упрощать выражение производной не нужно.

1

171. Вычислите производную функции f(x) = arccos5(2x2 − x) (4x3 +6x2)5 .

Преобразовывать и упрощать выражение производной не нужно.

172. Вычислите производную функции f(x) = 9(3x3 − 6) tg9(8x2 − 2x).

Преобразовывать и упрощать выражение производной не нужно.

упрощать выражение производной не нужно.

Преобразовывать и упрощать выражение производной не нужно.

4

1

. Преобразовывать

610 +arcsin10(− 4x3 +3)

иупрощать выражение производной не нужно.

178.Продифференцируйте функцию f(x) = lg(5x − 8) ctg(8x − 4) (x− 2). Преобразовывать и упрощать выражение производной не нужно.

1

179. Вычислите производную функции f(x) = . Преобразовывать и

√5x2 − 6+ π4x3 +5x

упрощать выражение производной не нужно.

182.Продифференцируйте функцию f(x) = log5x−4 cos(4x +3) . Преобразовывать и упрощать выражение производной не нужно.

183.Продифференцируйте функцию f(x) = log3x−4 8x2 +3x − 1 . Преобразовывать и упрощать выражение производной не нужно.

Эластичность

184. В математической модели рынка некоторого товара с функцией спроса D(p) = 86 − 11p и с функцией предложения S(p) = 11p − 68, где p — цена товара в рублях, вычислите эластичность спроса в точке рыночного равновесия.

185. В математической модели рынка некоторого товара с функцией спроса

D(p) = 83 − 8p и с функцией предложения S(p) = 8p − 61, где p — цена товара в рублях, вычислите эластичность предложения в точке рыночного равновесия.

186. В математической модели рынка некоторого товара с функцией спроса

D(p) = 15 − 2p− 10p2 и с функцией предложения S(p) = 6p2 +11p− 14, где p — цена товара в рублях, вычислите эластичность спроса в точке рыночного равновесия.

187. В математической модели рынка некоторого товара с функцией спроса

D(p) = 223 − 3p− 4p2 и с функцией предложения S(p) = 8p2 +13p− 477, где p — цена товара в рублях, вычислите эластичность предложения в точке рыночного равновесия.

188. В математической модели рынка некоторого товара с функцией спроса

187 p

D(p) = 3+ p+11 и с функцией предложения S(p) = 14+ln 6 , где p — цена товара в рублях, вычислите эластичность спроса в точке рыночного равновесия.

189. В математической модели рынка некоторого товара с функцией спроса

77 p

D(p) = 4+ p+3 и с функцией предложения S(p) = 15+ln 4 , где p — цена товара в рублях, вычислите эластичность предложения в точке рыночного равновесия.

190. В математической модели рынка некоторого товара с функцией спроса

D(p) = 9 − 4p, где p — цена товара в рублях, выясните, при каких ценахспрос будет эластичным.

191. В математической модели рынка некоторого товара с функцией спроса

D(p) = 16+8p− 15p2, где p — цена товара в рублях, выясните, при каких ценах спрос будет эластичным.

Приближенные вычисления с помощью дифференциала

192. Дайте определение дифференциала функции f(x) в точке x0 . Используя дифференциал функции f(x) = 6x3 +2x2 − 4x− 1 в точке x0 = − 1, вычислите приближенно f( − 0.79).

193.Дайте определение дифференциала функции f(x) в точке x0 . Используя дифференциал функции f(x) = √3 x в точке x0 = 729, вычислите приближенно √3 732.

194.Дайте определение дифференциала функции f(x) в точке x0 . Используя

если e ≈ 2.71828.

195. Дайте определение дифференциала функции f(x) в точке x0 . Используя дифференциал функции f(x) = ex в точке x0 = 1, вычислите приближенно e1.02, если

e≈ 2.71828.

196.Дайте определение дифференциала функции f(x) в точке x0 . Используя дифференциал функции f(x) = arctgx в точке x0 = 0, вычислите приближенно arctg(−0.05).

197.Дайте определение дифференциала функции f(x) в точке x0 . Используя

1

дифференциал функции f(x) = arcsinx в точке x0 = 2, вычислите приближенно

arcsin(0.47), если π ≈ 3.14159, √3 ≈ 1.73205.

198. Дайте определение дифференциала функции f(x) в точке x0 . Используя

5π

дифференциал функции f(x) = sinx в точке x0 = 6 , вычислите приближенно

sin( 56π − 0.07), если √3 ≈ 1.73205.

199. Дайте определение дифференциала функции f(x) в точке x0 . Используя

π

дифференциал функции f(x) = cosx в точке x0 = − 6, вычислите приближенно

cos( − π6 − 0.05), если √3 ≈ 1.73205.

200. Дайте определение дифференциала функции f(x) в точке x0 . Используя

5π

дифференциал функции f(x) = tgx в точке x0 = 6 , вычислите приближенно

tg(5π +0.08), если √3 ≈ 1.73205. 6

Уравнение касательной

201. Напишите уравнение касательной к графику функции f(x) = − x3 + x2 + x+ 1 в точке x0 = − 1.

4x2 + 4x+ 3

202. Напишите уравнение касательной к графику функции f(x) = 4x2 − x − 4 в точке

x0 = − 1.

203. Напишите уравнение касательной к графику функции f(x) = (2x+1)e−8x2 +7x+1 в точке x0 = 1.

cos( − x +1)

204. Напишите уравнение касательной к графику функции f(x) = 8x2 + x− 8 в точке

x0 = 1.

ln(2x +3)

205. Напишите уравнение касательной к графику функции f(x) = −6x2 − 9 − 5x− 2 в

точке x0 = − 1.

Исследование функций и построение графиков

Промежутки возрастания и убывания

207. Для функции f(x) = ( − 1 − x)lg(x +1) найдите промежутки возрастания и убывания, а также укажите точки локальных экстремумов.

3

208.Для функции f(x) = 4x − 1 − 3√x + 4 найдите промежутки возрастания и убывания, а также укажите точки локальных экстремумов.

209.Для функции f(x) = 6x3 +6x2 +6x+5 найдите промежутки возрастания и убывания, а также укажите точки локальных экстремумов.

210.Для функции f(x) = 7x5 − 8x3 +4x− 7 найдите промежутки возрастания и убывания, а также укажите точки локальных экстремумов.

211.Для функции f(x) = − 4x5 +7x3 − 4x +7 найдите промежутки возрастания и убывания, а также укажите точки локальных экстремумов.

212.Для функции f(x) = 2x5 + x3 − x+6 найдите промежутки возрастания и убывания,

атакже укажите точки локальных экстремумов.

213.Для функции f(x) = − 2x5 − x3 +7x +8 найдите промежутки возрастания и убывания, а также укажите точки локальных экстремумов.

214.Для функции f(x) = 6x5 − x3 +2x+8 найдите промежутки возрастания и убывания, а также укажите точки локальных экстремумов.

x− 7

215.Для функции f(x) = x2 − 4x − 5 найдите промежутки возрастания и убывания, а

также укажите точки локальных экстремумов.

216.Для функции f(x) = ( − 6 − x)√3 − x найдите промежутки возрастания и убывания,

атакже укажите точки локальных экстремумов.

217.Для функции f(x) = −2x2 +2x− 3 найдите промежутки возрастания и убывания, а

x2

также укажите точки локальных экстремумов.

218. Для функции f(x) = −3x − 1 найдите промежутки возрастания и убывания, а также

(x +5)3

укажите точки локальных экстремумов.

2x +7

219.Для функции f(x) = x2 − 10 найдите промежутки возрастания и убывания, а также укажите точки локальных экстремумов.

220.Для функции f(x) = (x+4)4 (x+3)5 найдите промежутки возрастания и убывания,

атакже укажите точки локальных экстремумов.

221.Для функции f(x) = (x− 4)9 √5 x− 2 найдите промежутки возрастания и убывания,

атакже укажите точки локальных экстремумов.

222.Для функции f(x) = (x2 − 8x +16)ex найдите промежутки возрастания и убывания,

атакже укажите точки локальных экстремумов.

e−2x

x− 2

укажите точки локальных экстремумов.

224.Для функции f(x) = ( − x2 − 2x − 3)√3 (x − 1)2 найдите промежутки возрастания и убывания, а также укажите точки локальных экстремумов.

x− 1

225.Для функции f(x) = 3 x2 − x− 56 найдите промежутки возрастания и убывания, а

также укажите точки локальных экстремумов.

226.Для функции f(x) = √3 (x − 3)(x+2) 2 найдите промежутки возрастания и убывания, а также укажите точки локальных экстремумов.

227.Для функции f(x) = (x+5) ex−5 найдите промежутки возрастания и убывания, а также укажите точки локальных экстремумов.

228.Для функции f(x) = x − 5arctg(x− 2) найдите промежутки возрастания и убывания,

атакже укажите точки локальных экстремумов.

Наибольшее и наименьшее значения функции

229.Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = (x − 8) (x− 7)2 на отрезке [− 2,4].

230.Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = − 4√9 − x2 + x.

Промежутки выпуклости и вогнутости

−x2

231.Для функции f(x) = e 50 − 7x найдите промежутки выпуклости (выпуклости вниз), вогнутости (выпуклости вверх), а также укажите точки перегиба.

232.Для функции f(x) = −2x2 + x+9 найдите промежутки выпуклости (выпуклости

x− 3

вниз), вогнутости (выпуклости вверх), а также укажите точки перегиба.

233. Для функции f(x) = (x − 1)3

(x − 6)2

вогнутости (выпуклости вверх), а также укажите точки перегиба.

234. Для функции f(x) = (x − 5)4

(x +1)5

вогнутости (выпуклости вверх), а также укажите точки перегиба.

235. Для функции f(x) = x− 8 5

x− 4

вогнутости (выпуклости вверх), а также укажите точки перегиба.

x3

236. Для функции f(x) = x2 − 8

вогнутости (выпуклости вверх), а также укажите точки перегиба.

237. Для функции f(x) = (x2 + x − 10)e−x найдите промежутки выпуклости (выпуклости

вниз), вогнутости (выпуклости вверх), а также укажите точки перегиба.

e4x

238. Для функции f(x) = x− 7 найдите промежутки выпуклости (выпуклости вниз),

вогнутости (выпуклости вверх), а также укажите точки перегиба.

Формула Маклорена

239. Разложите функцию f(x) = 5 + ln(ex + e−6x − 1) в ряд Маклорена с точностью до o(x3).

Построение эскизов графиков функций по готовому исследованию

240. Постройте эскиз графика какой-либо функции f(x), удовлетворяющей следующим условиям:

1) D[f] = ( − ∞; +∞), функция дважды дифференцируема на области

  lim f(x) = 1;

x→1+0

3) fʹ(x) > 0 на (− 5;1) (5; + ∞) и fʹ(x) < 0 на ( − ∞; − 5) (1;5), f( − 5) = 6, f(5) = − 5;

4) fʹʹ(x) > 0 на (− ∞;1) (1;11) и fʹʹ(x) < 0 на (11; +∞).

Комментарий. В задании требуется построить не график функции (это невозможно по недостатку данных), а лишь эскиз графика. Поэтому допустимы некоторые искажения масштаба, в частности, неравномерность масштаба по осям координат. На эскизе необходимо отметить максимумы и минимумы функции, точки перегибов, асимптоты (вертикальные, наклонные, горизонтальные).

Построение графиков функций

243.Проведите полное исследование и постройте эскиз графика функции f(x) = 2(x − 8)3 (x +4)2 .

244.Проведите полное исследование и постройте эскиз графика функции f(x) = x2 − 9x+8 .

x+ 9

253. Проведите полное исследование и постройте эскиз графика функции

254. Проведите полное исследование и постройте эскиз графика функции

ex−1

f(x) = x2 − 2x+1 .

255. Проведите полное исследование и постройте эскиз графика функции

8

f(x) = (x +5) ex−1 .

x−5

256.Проведите полное исследование и постройте эскиз графика функции f(x) = ex−3 .

257.Проведите полное исследование и постройте эскиз графика функции

f(x) = 2 −1 x ex+2 .