Лекция 10. Системы счисления. Представление чисел в различных системах счисления. Часть 2.

1. Задача перевода числа из одной системы счисления в другую

2. Перевод целых чисел

3. Перевод целых чисел

4. Перевод дробных чисел

5. Перевод чисел между 2-ичной, 8-ричной и 16-ричной системами счисления

1. Задача перевода числа из одной системы счисления в другую

При решении задач с помощью ЭВМ исходные данные обычно задаются в десятичной системе счисления; в этой же системе, как правило, нужно получить и окончательные результаты. Так как в современных ЭВМ данные кодируются в-основном в двоичных кодах, то часто возникает необходимость перевода чисел из десятичной в двоичную систему счисления и наоборот.

При рассмотрении правил перевода чисел из одной системы счисления в другую ограничимся системами счисления, у которых базисными числами являются последовательные целые числа от 0 до включительно (P– основание системы счисления).

Задача перевода числа из одной системы счисления в другую заключается в следующем. Пусть известна запись числа Zв системе счисления с основаниемP:

,

где – цифрыP-ичной системы (),nиm– положительные целые числа.

Требуется найти запись этого же числа Zв системе счисления с другим основаниемQ:

,

где – искомые цифрыQ-ичной системы (),lиk– положительные целые числа.

Ограничимся случаем положительного числа Z, так как перевод любого числа сводится к переводу его модуля и приписыванию числу нужного знака.

При рассмотрении правил перевода нужно учитывать, по правилам какой арифметики (P-ичной или Q-ичной) должен быть осуществлен перевод, то есть в какой системе должны быть выполнены необходимые для перевода действия.

Полагая, что нам наиболее удобно проводить вычисления с P-ичными числами, условимся считать, что перевод должен осуществляться средствамиP-ичной арифметики (например, чаще всего, десятичной).

2. Перевод q  p целых чисел

Решение задачи перевода произвольного числа Z, заданного в системе счисления с основаниемQ, в систему счисления с основаниемPсводится к вычислению полинома вида

. (11.1)

Для получения P-ичного изображения выражения (1) необходимо все цифрыи числопредставить вP-ичном виде и выполнить арифметические действия вP-ичной системе счисления.

Пример. Перевести числов десятичную систему счисления.

Для перевода запишем число Zв видеи выполним все необходимые действия в десятичной системе:

.

Пример. Перевести числов десятичную систему счисления.

Для перевода запишем число Zв виде. Числаи в десятичном виде запишутся как 10 и 15. Таким образом, воспользуемся десятичной арифметикой:.

3. Перевод p  q целых чисел

Пусть известна запись целого числа NвP-ичной системе счисления:

,

то есть

. (11.2)

Требуется перевести это число Nв систему счисления с основаниемQ, то есть представить в виде

,

где – искомые цифрыQ-ичной системы ().

Таким образом,

. (11.3)

Сначала определим коэффициент .

Разделим обе части равенства (3) на число Q, причем в левой части при делении воспользуемсяP-ичной арифметикой, т.к. числоNнам уже дано вP-ичном виде:

. (11.4)

Так как , то величина

(11.5)

есть дробная часть числа , а величина

(11.6)

есть целая часть числа . Таким образом, из (5) получаем:

. (11.7)

Теперь определим коэффициент.

Разделим (6) на Q:

, (11.8)

причем P-ичное числоделим наQпо правиламP-ичной арифметики.

Аналогично изложенному выше имеем:

, (11.9)

. (11.10)

Таким образом, обозначив , можно записатьрекуррентные формулы для определения коэффициентов:

, (11.11)

, (11.12)

где .

Фактически, – это остаток от целочисленного делениянав результате использованияP-ичной арифметики.

Этот процесс, описываемый формулами (11.11), (11.12), должен продолжаться до тех пор, пока не будет получено .

Подчеркнем, что все операции здесь выполняются в P-ичной системе счисления, поэтому все коэффициентытакже будут получены в этой жеP-ичной системе. Поэтому по окончании процесса (11.11), (11.12) надо все коэффициентызаписать вQ-ичном виде.

Пример. Перевести числов двоичную систему счисления.

;

;

;

;

;

;

Итак, .

Пример. Перевести числов 16-ричную систему счисления.

Для удобства величины будем записывать в скобках после результата целочисленного деления числана.

Из формул (11.11), (11.12), при получаем:

;

;

.

Таким образом, ;;. В результате получаем.