№ 3. дәріс. Ток сызықтары мен траекториялары. Үзіксіздік теңдеуі.

Ток сызығы нүктелердің геометриялық орны болып табылатын ойдағы сызық, онда жылдамдық векторлары уақыттың қазіргі сәтінде осы сызыққа жанама бағытталған, сондықтан ток сызықтары уақыттың қазіргі сәтіндегі сызық бойындағы әр нүктеде қозғалыстың бағытын көрсетеді (3.1, а сур.).

b c

a

a б

3.1 Сур. Ток және траектория сызықтары; а – токтың лездік сызығы; б – бөлшектер дің траекториясы.

Ток түтікшесі, немесе қарапайым ағыншасы, ток сызықтарымен шектелген шағын ойдағы түтікше немесе арна. Ток сызықтары тұрақты қозғалыста санақ жүйесіне қатысты қимылсыз қалады. Мұндай қозғалыс үшін олар қозғалыстағы болшектердің траекториясы болып табылады. Бөлшектер тұрақты емес қозғалыста токтін бір сызығында қалып қоймайды, және де ток сызықтары мен траекториялары бұл жағдайда сай келмейді. 3.1, б суретінде тұрақты емес ағыс үшін ток сызығы мен траекториясы берілген. Сұлбада (схемада) a,b, c бөлшектері үшін уақыт сәтінде ток сызығында жатқан, жылдамдық векторлары және « a » бөлшектің мен уақыттар сәтінде өзінің траекториясындағы келесі жағдайы берілген.

Траекторияларды жылдамдықтың үлестірімі бойынша анықтау ыңғайлы, себебі жылдамдық – координаталардан уақыт бойынша туынды. Бөлшек траекториясының параметрлік теңдеулері дифференциалдық теңдеулер жүйесінің , немесе шешімдері болып табылады, мұнда траекториядағы нүктенің радиус-векторы.

Жазық екіөлшемді ағыс жағдайда ток сызығының дифференциалдық теңдеуін алуға болады, егер жазықтықта ағыс кезінде жазсақ, онда бұдан шығады

Ағыстың үшөлшемді өрісі үшін ток сызығының теңдеулер жүйесі мына түрде болады немесе

. (3.1)

Анықтамадан шығатыны, ток сызығы ол сондай сызық, әр нүктесінде оның жылдамдықтың нормаль құраушысы нөлге тең, яғни ток сызықтан өту жөқ. Сонымен екі кез келген ток сызықтары арасында ағатын сұйықтық мөлшері тұрақты. Сондықтан, ток сызықтары жақындасатын жерлерде сығылмайтын сұйықтық үшін жылдамдық артады, ал олар ажырайтын жерлерде жылдамдық азаяды.

Жалпы жағдайда, қозғалыстағы ортаның кез-келген нүктесі арқылы қазіргі уақыт сәтінде тек бір ток сызығын жүргізуге болады. Бірақта кейбір ерекше нүктелерде бұл ереже бұзылады. Ерекше нүктелердің екі түрі бар: күдіктілер және көздер (құйылыстар). Онда ток сызықтары қиылысады, демек жылдамдық векторы әр түрлі бағытта болуы керек, ол жылдамдықтың ақырлы мәнінде мүмкін емес. Сондықтан, ерекше нүктелерде жылдамдық шамасы нөлге тең (күдікті нүктелер), немесе ақырсыздыққа (көздер мен құйылыстар).

Сұйықтық пен газ кинематикасында Q - жылдамдық векторының ағыны деген ұғым маңызды рөл атқарады , ол әр нүктедегі жылдамдық векторының берілген S беттің нормаліна көбейтіндісінен, сұйықтық көлемін шектеген S беті бойынша интегралы, яғни

.

Жылдамдық векторының ағыны сұйықтықтың (газдың) S беті арқылы өтетін көлемдік секундтық шығыны болып табылады. Жылдамдық векторы ағынының өлшемділігі .

Егер S беті тұйық болса, онда беттің ішінде көздер мен кұйылыстар болмаған жағдайда жылдамдық векторының ағыны тең

Үзіксіздік теңдеуі

Кез-келген анықталған жүйе үшін сұйықтық массасын сақтау принципі мынада:

жүйеге сұйықтық массасының таза құйылуы = жүйенің сұйықтық массасының өсімшесіне.

y

z x

3.2 Сур. Үзіксіздік теңдеуің қорытуға арналған сұлба.

Кейбір ағыс аймағы ішінен, масса көздері (құйылыстары) жоқ, ал тығыздық пен жылдамдық уақыт пен кеңістік координаталарының функциясы болып табылатын (3.2 сур.), параллелепипед пішінді қарапайым бақылау көлемді қарастырайық. Осы көлемге таза масса құйылуын есептейік.

Анықтама бойынша, ағын массасы массалық жылдамдықтың жылдамдыққа нормаль болатын аудан қимасына көбейтіндісіне тең. Сонда қарастырып жатқан көлемге келесі сұйықтық мөлшері құйылады

ал көлемнен ағылады .

Сонымен, параллелепипед көлеміндегі сұйық массасының өзгеруі құрады:

(3.2)

Мұнда шығып жатқан масса ағынын сызықты қосылғыштар дәлдігімен Тейлор қатарына жіктеуі пайдаланылған.

Бөлінген көлемдегі сұйық массасының өсімшесі тең:

(3.3)

Мұнда уақытқа тәуелді емес, себебі бақылау көлемі қозғалмайды. (3.2) және (3.3) теңдеулерін теңестіре отырып, -ке қысқартылғаннан кейін аламыз

(3.4)

немесе

операторын массалық жылдамдықтың векторына көбейтіндісі скаляр шамасы болады, және жылдамдықтың дивергенциясы деп аталады. Ол сұйықтықтың қарапайым (элементар) массасының салыстырмалы өзгерісінің жылдамдығын сипаттайды, яғни V көлемнің S беті арқылы өтетін сұйықтықтың массалық шығынының осы көлем шамасына, оны нөлге ұмтылғандағы қатынасына тең.

_{Көбейтінділердің дифференциалдау ережесін пайдаланып және мынаны ескере отырып:}

(3.4) теңдеуді мына түрде жазуға болады:

(3.5)

Егер уақытқа тәуелді болмаса, онда және (3.4) теңдеуінің орнына аламыз

(3.6)

Мұндай қозғалысты изохорлық деп атайды. Егер координаталардан да тәуелсіз болса, онда (3.7)

Бұл сығылмайтын сұйықтықтың қалыптасқан және қалыптаспаған ағыстары үшін үзіксіздік теңдеуінің қарапайым түрі.