6.Дәріс тақырыбы. Өзгерменің көрсеткіштері және оларды есептеу тәсілдері. Шашырандының (дисперсияның) математикалық қасиеттері және олардың қолданылуы.

Дәріс конспектілері:Қоғамдық құбылыстар мен процестерді зерттеу кезінде орташа шамалар қортынды көрсеткіш ретінде жалпы жиынтықты өзгермелі белгілері бойынша барлығына ортақ сандық шамамен сипаталады. Бірақ, осы белгілердің ішкі құрлымына, өзгерісіне әсер тигізетін түрлі себептерді ашық көрсете алмайды. Себебі жиынтықты жеке белгілеріне әр түрлі жағдайлар әсер еткен сайын олардың арасында өзгеріс туады, яғни үлкенді - кішілі ауытқулар болады.

Екі таратпалы қатардың орташа шамалары бірдей болса, онда олардың әрқайсысының ішкі құрылымдағы белгілер арасында да түрлі өзгерістер мен аутқулар болады. Егер қатар белгілердің жеке мәндерінің бір - біріне аздаған ғана өзгерістері болатын болса, онда орташа шама сол жиынтықтар үшін дұрыс деп саналады. Статистикалық өзгерме деп жиынтық бірліктерінің белгілеріне түрлі себептердің әсер етуінен болған сандық өзгерісті атайды.

Экономикалық құбылыстар мен процестердің өзгермелі шамасы, ауытқу дәрежесі әр түрлі керсеткіштермен сипаталады және статистикалық тәжірибеде нақты немесе қатысты өлшем бірліктерімен көрсетіледі. Нақты жене қатысты шама ретінде сол зерттеліп отырған жиынтық бірліктерінің біртектілігін, тұрақтылығын саралайды, ішінара бақылау кезінде жіберілген қатенің шамасын көрсетеді, белгілердің бір - бірімен байланыстылығы мен тәуелділігін анықтайды.

Статистикалық зерттеуде және күнделікті тәжірбиеде экономикалық белгілер көрсеткіштері - өндірілтен өнім құны, саны мен сапасы, еңбек өнімділігінің артуы немесе кемуі, жұмысшылардың орташа айлық еңбек ақысы ешуақытта тұрақты болмайды, өзгеріп отырады. Сондықтан , бұл көрсеткіштер жүйесінің ауытқу шамасының қаншалықты екенін анықтау үшін өзгерменің негізгі көрсеткіштері есептеледі. Ал олар мыналар: өзгерменің өрісі, сызықтық орташа ауытқу, шашыранды (дисперсия), шаршылық (квадраттық) ауытқу, өзгерменің коэффициенті.

Өзгерменің өрісі. Статистикада сандық қатардың негізгі көрсеткіштерінің ішіндегі ең жай түрі, яғни белгілердің бір - бірінен сандық шамамен қаншаға өзгергендігін көрсететін көрсеткіш өзгерменің өрісі болып саналады. Сонымен, өзгерменің өрісі R сандық қатар белгілерінің ең жоғары (х_max) және ең төменгі (х_min )мән шамаларының арасындағы айырмашылықты анықтайды:

Өзгерменің өрісі белгінің ең шеткі екі сандық мәні бойынша есептелгенімен, оның ішкі құрылымдағы өзгерістер мен ауытқушылық көрсетілмей, жасырын қалып қояды.

Мөлшерлі өзгермесі бар топтау белгісі өзгереді, яғни жиынтықтың әр элементінде (вариациасында) әртүрлі сандық мәнді қабылдайды. Белгі өзгермесі екіге бөлінеді:

үзілісті (дискретті) — араларында аралықтылары болуы мүмкін емес тек анықталған мәндері болады.

үзіліссіз — белгілі-бір дәлдік дәрежесімен кез-келген мәндері болады. Берілген жиынтық тербелістерін сол белгінің орташа шамасын көруге мүмкіндік бермейді. Сондықтан сол тербеліс шамасын анықтау үшін статистикада вариация көрсеткіштері қолданылыды.

Өзгерменің өрісі шамасы келесідей табылады:

(7)

мұнда — топтың (интервалдағы) белгі айнымаласына сәйкес максималды және минималды мәндері.

Өзгерменің коэффиценті дегеніміз квадраттық орташа ауытқу көрсеткішін арифметикалық орташа шамаға бөлу арқылы есептеледі, яғни :

V=() (8)

Өзгерменің коэффиценті неғұрлым кіші болса, солғұрлым орташа шама бірыңғай жиынтықтың құбылысын нақтылы сипаттайды.

Мысал-5 бойынша өзгерменің үзілісті өрісін топтау (интервал) қатарын жазамыз: банк; Топтау әдістерінде әр ретінде -ді, яғни топтың бірінші интервалдығы мәні 3,7 –алынады, ал соңғы интервалдығы мәні 8,1 тең болады. ретінде

.(0 мен 5 ортасы 2,5 –ке тең)

.(0 мен 5 ортасы 2,5 –ке тең)

Әр интервалдағы сәйкес келетін сандармен салыстырғандағы ауытқуларды, нақты және қатынасты тығыздықтың үлестірілімімен есептеу керек. Нақты шама үшін:

. .

Барлық өсімнің қайталану шамасы: . . n=5 тең интервалдар саны , барлық интервалдар ұзындығы бірдей 2,5 –ке тең.

Үлестірім қатарлары

Белгі варианталарының жиіліктерімен сипатталуы ретінде берілетін, үлестірім қатарының көмегімен өзгермеге ұшырайтын белгі тербелістері сипатталады. Белгінің әртүрлі өзгермелеріне сәйкес дискретті және үзіліссіз, немесе интервалды өзгерме қатарлары ажыратылады. Дискретті үлестірім қатарының графикалық кескіні полигон 9- суретте (көпбұрыш) түрінде, ал үзіліссіз қатар – гистограмма түрінде болады. Тең емес интервалдарымен үзіліссіз үлестірім қатарын талдауда интервал енінің бірлігіне келетін жиынтық бірліктерінің санын – «үлестірім тығыздығы» көрсеткішін пайдаланады. Әртүрлі мақсаттар үшін графикалық түрде кумулятивті қисық

болып берілетін, жинақталған жиіліктер қатарын табу қажеттілігі туып тұрады.Жинақталған жиіліктер қатарының негізінде шоғырлану қисығы

құрылады.

Сурет 9. Үзіліссіз үлестірім қатары – гистограмма түрінде

Статистикалық жиынтықтарға өзгермелі, құбылмалы белгілеріне түрлі себептер әсер етеді, олар өздерінің тигізетін әсерлеріне қарай кездейсоқ және тұрақты болып екіге бөлінеді. Соған сәйкес өзгерме де кездейсоқ және тұрақты болуы мүмкін.

Сызықтық орташа ауытқу. Оны ауытқудың нақты арифметикалық орташа шамасы деп те айтады. Сызықтық орташа ауытқу төмендегі жай және салмақталынған түрлері мына формулалармен табылады:

- жай түрі

; - cалмақталынған түрі

Орташа шамадан ауытқу қосындысы әрқашан нолге тең болғандықтан, әр қатардағы ауытқудың математикалық таңбаларына қарамай, олардың нақты шамасын қосу арқылы есептеу керек.

6.1. Шашырандының (дисперсияның) математикалық қасиеттері

Шашыранды σ² (дисперсия) өзгерменің көбірек қолданаылатын көрсеткіші, ал сызықтық орташа ауытқудың алымындағы жақша ішіндегі көрсеткіштерді дәрежелеу , яғни төмендегі формуламен анықталады

- жай түрі (9)

-салмақталынған түрі. (10)

Квадраттық ( шаршылық ) σ ауытқу деп - шашыранды көрсеткіштерін түрлеудіруді айтады және ол төмендегі формуламен есептелінеді

(11)

Шашыранды мен квадраттық орташа ауытқу өзгермелі қатар белгілерінде және арифметикалық орташа шамада берілген атаулы өлшем бірлігімен өлшенеді. Олардың өлшем бірліктері белгінің жеке мәндерімен бірдей ( теңге, кг, тонна,т.б.)

Статистикада сандық қатар белгілері мен жиілік мәндеріне байланысты шашыранды мен орташа шаршы ауытқуды есептеу кейбір жағдайда қиындау түседі. Сондықтан, жұмыс көлемімен есептеу тәсілін жеңілдету үшін төмендегі берілген математикалық қасиеттерге сүйенуге болады:

1. Тұрақты шаманың шашырандысы нөлге тең:

;

2. Тұрақты көбейткіш шашыранды белгісінің алдына квадратталып шығады:

;

3.Тәуелсіз екі кездейсоқ шамалардың қосындысының шашырандысы сол шамалардың шашырандыларының қосындысына тең:

;

а). Тәуелсіз екі кездейсоқ шамалардың айырмасының шашырандысы да олардың шашырандыларының айырмасына тең:

;

4. Егер белгі мәндерінің барлық варианталарын есекемітсе шашырандыесе азаяды.

Статистикада біртектес өзгерме көрсеткіштерінің бір немесе бірнеше топтарға байланысты шашыранды да үш түрге болінеді: жалпы, топаралық және топтық немесе топішілік.

Топаралық шашыранды - деп жеке топтық орта шаманың жалпы жиынтықтың орташа ауытқуын айтады және ол мына формула бойынша есептеледі:

- жай түрі (12)

- салмақталынған түрі (13)

мұндағы – - әр топтың орта мәні;

- орташа шама;

- нұсқалардың салмақтары.

Топаралық шашыранды өзгерме белгілеріне әсер ететін тұрақты себептерді көрсетеді. Топтық шашыранды немесе топтық орташа шашыранды ( ) деп - әрбір топ бойынша кездейсоқ себептердің тізбегі әсерінен оның өзгергендігін және мәні мен маңызын анықтауды айтады. Ол мына формулалармен есептеледі:

- жай түрі;

-салмақталынған түрі.

мұндағы - орташа топтың шамасы;

k_i - әр топтың жиілігі.

Топтық орташа шашыранды ( ) мына формула бойынша да анықталады:

=∑ σ²k_i / k_i

Математиқалық статистикада жалпы шашыранды арқашанда топаралық шашыранды мен орташа шашыранды шамаларының қосындысына тең деп делелденген, яғни.

σ²= δ²+

Егер топтық шашырандыны жалпы шашырандыға бөлетін болсақ, онда одан шыққан көрсеткішті R детерминация коэффиценті деп айтады:

R² = δ²/ σ²

Ал корреляция қатынасы (r), топтық және жеке қорытындылаушы белгілердің арасындағы тығыз байланысты байқауға мүмкіндік береді:

r =

Баламалы (альтернативті) белгілерден шашырандыны мына формуламен есептелінеді:

σ² =pq

мұндағы р және q - қарама-қарсы белгілердің үлес салмақтары ( р =1)

Мысалы -6, р - жұмыс істеу уақыты, сонда q- бос тұру уақыты.

Өзгерменің коэффиценті неғұрлым кіші болса, солғұрлым орташа шама бірыңғай жиынтықтың құбылысын нақтылы сипаттайды.

Өзгерме ауытқуы, орташа сызықтық және орташа шаршылық ауытқу атаулы шамалар болып келеді. Олардың өлшем бірліктері белгінің жеке мәндерімен бірдей ( теңге, кг, тонна,т.б.)

Шашыранды мен орташа шаршылық ауытқу — өзгерменің ең жиі қолданылатын көрсеткіштері. Оны бұл көрсеткіштердің математикалық статистиканың негізі болып келетін ықтималдықтар теориясының көп теоремаларына кіретінімен түсіндіруге болады. Одан басқа, шашырандының белгі өзгермесіне әсер ететін әртүрлі факторларды бағалауға мүмкіндік беретін элементтерге бөлінуі де бар. Келешекте шашыранды, талдаудағы таңдамалы бақылаулар нәтижелерін бағалауда, корреляциялық байланыс көрсеткіштерін құру үшін және т.б. қолданылады.