книги / Физика для бакалавра. Ч. 2-1

где i – мнимая единица; U (х, у, z, t) – потенциальная функция частицы в силовом поле, в котором она движется; ψ(х, у, z, t) – искомая волновая функция частицы.

Уравнение (29.13) называется уравнением Шредингера в общем виде. И оно справедливо для любой частицы (со спином, равным 0), движущейся с малой (по сравнению со скоростью света) скоростью, т.е. со скоростью v << c. Его также называют уравнением Шредингера, зависящим от времени. Оно дополняется условиями, накладываемыми наволновую функцию:

1)волновая функция должна быть конечной, однозначной

инепрерывной;

2)производные x , y , z , t должны быть непре-

рывны; 3) функция 2 должна быть интегрируема; это условие

в простейших случаях сводится к условию нормировки вероят-

ностей (29.12).

Для многих физических явлений, происходящих в микромире, уравнение (29.13) можно упростить, исключив зависимость ψ от времени, иными словами, найти уравнение Шредин-

гера для стационарных состояний – состояний с фиксированными значениями энергии. Это возможно, если силовое поле, вкотором частица движется, стационарно, т.е. функция U = U (х, у, z) не зависит явно от времени и имеет смысл потенциальной энергии. В данном случае решение уравнения Шредингера может быть представлено в виде произведения двух функций, одна из которых есть функция только координат, другая – только времени, причем зависимость от времени выражается множителем

e i t e i E t , так что

где Е – полная энергия частицы, постоянная в случае стационарного поля. Подставляя (29.14) в (29.13), получим

i E t

откуда после деления на общий множитель e и соответствующих преобразований придем к уравнению, определяющему функцию ψ:

Уравнение (29.15) называется уравнением Шредингера для стационарных состояний. В это уравнение в качестве параметра входит полная энергия Е частицы. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что подобные уравнения имеют бесчисленное множество решений, из которых посредством наложения граничных условий отбирают решения, имеющие физический смысл. Для уравнения Шредингера такими условиями являются условия регулярности волновых функций: волновые функции должны быть конечными, однозначными и непрерывными вместе со своими первыми производными. Таким образом,

реальный физический смысл имеют только такие решения, которые выражаются регулярными функциями ψ. Но регулярные решения имеют место не при любых значениях параметра Е, а лишь при определенном их наборе, характерном для данной задачи. Эти значения энергии называются собственными. Решения же, которые соответствуют собственным значениям энергии, называются собственными функциями. Собственные значения Е могут образовывать как непрерывный, так и дискретный ряд. В первом случае говорят о непрерывном, или сплошном, спектре, во втором – о дискретном спектре.

292

29.7. Квантовая частица в одномерной «потенциальной яме»

Рассмотрим, в качестве примера, решения уравнения Шредингера, описывающие движения частиц, находящихся в одно-

мерной прямоугольной «потенциальной яме» с бесконечно высо-

где l – ширина «ямы», а энергия отсчитывается от ее дна

(см. рис. 29.3).

Уравнение Шредингера (29.15) для стационарных состояний в случае одномерной задачи запишется в виде

По условию задачи (бесконечно высокие «стенки») частица не проникает за пределы «ямы», поэтому вероятность ее обнаружения (следовательно, и волновая функция) за пределами «ямы» равна нулю. На границах «ямы» (при х = 0 и х = l) непрерывная волновая функция также должна обращаться в нуль. Следовательно, граничные условия в данном случае имеют вид

293

Общее решение дифференциального уравнения (29.18):

(x) Asinkx B coskx,

так как по (29.17) (0) 0, то В = 0. Тогда

Условие (l)=A sin kl = 0 (29.17) выполняется только при kl = = nπ, где п – целые числа, т.е. необходимо, чтобы

т.е. стационарное уравнение Шредингера, описывающее движение частицы в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками», удовлетворяется только при собственных значениях Еп, зависящих от целого числа п. Следовательно, энергия En частицы в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенка-

294

ми» принимает лишь определенные дискретные значения, т.е. квантуется. Квантованные значения энергии Еп называются уровнями энергии, а число n, определяющее энергетические уровни частицы, называется главным квантовым числом. Таким образом, микрочастица в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» может находиться только на определенном энергетическом уровне Еп, или, как говорят, частица находится в квантовом состоянии п.

Энергетическийинтервалмежду двумясоседнимиуровнями

Например, для электрона при размерах ямы l=10–1 м (свободные электроны в металле) En 10 35n Дж 10 16n эВ, т.е.

энергетические уровни расположены столь тесно, что спектр практически можно считать непрерывным. Если же размеры

ямы соизмеримы с атомными (l 10 10 м), то для электронаEn 10 17 n Дж 102n эВ, т.е. получаются явно дискретные

значения энергии (линейчатый спектр). Таким образом, применение уравнения Шредингера к частице в «потенциальной яме»

сбесконечно высокими «стенками» приводит к квантованным значениям энергии, в то время как классическая механика на энергию этой частицы никаких ограничений не накладывает.

Кроме того, квантовомеханическое рассмотрение данной задачи приводит к выводу, что частица в «потенциальной яме»

сбесконечно высокими «стенками» не может иметь энергию,

меньшую, чем минимальная энергия, равная 2 22 . Наличие

2ml

отличной от нуля минимальной энергии не случайно и вытекает из соотношения неопределенностей. Неопределенность координаты x частицы в «яме» шириной l x = l. Тогда, согласно

295

соотношению неопределенностей, импульс не может иметь точное, в данном случае нулевое, значение. Неопределенность им-

положены тесно: тем теснее, чем больше п. Если п очень велико, то можно говорить о практически непрерывной последовательности уровней и характерная особенность квантовых процессов – дискретность – сглаживается. Этот результат является частным случаем принципа соответствия Бора, согласно которому законы квантовой механики должны при больших значениях квантовых чисел переходить в законы классической физики.

Более общая трактовка принципа соответствия, имеющего огромную роль в современной физике, заключается в следую-

щем: всякая новая, более общая теория, являющаяся развитием классической, не отвергает ее полностью, а включает в себя классическую теорию, указывая границы ее применения, причем

вопределенных предельных случаях новая теория переходит

встарую. Так, формулы кинематики и динамики специальной теории относительности переходят при v << c в формулы ме-

ханики Ньютона. Например, хотя гипотеза де Бройля приписывает волновые свойства всем телам, но в тех случаях, когда мы имеем дело с макроскопическими телами, их волновыми свойствами можно пренебречь, т.е. применять классическую механику Ньютона.

Взаключение главы приведем основные величины и формулы квантовой механики:

296

Вопросы для самоконтроля

1.В чем суть корпускулярно-волнового дуализма?

2.Сформулируйте гипотезу де Бройля.

3.В чем суть опыта Дэвиссона и Джермера?

4.Чем отличается дифракция микрочастиц от дифракции

света?

5.Что такое фотон?

6.Напишите формулы массы, импульса и энергии фотона.

7.Чему равны фазовая и групповая скорости фотона?

иvx 1 можно говорить о движении частицы по определен- vx

ной траектории?

9.В чем суть принципа неопределенности?

10.Запишите выражение для неопределенностей: импульса

икоординаты, энергии и времени.

11.Как исходя из соотношения неопределенностей, объяснить наличие естественной ширины спектральных линий?

12.Что определяет квадрат модуля волновой функции?

13.Почему квантовая механика является статистической теорией?

14.В чем отличие понимания причинности в классической

иквантовой механике?

15.Может ли частица находиться на дне «потенциальной ямы»? Определяется ли это формой «ямы»?

16.Запишите уравнение Шредингера для частицы в «потенциальной яме».

17.Запишите выражение потенциальной энергии частицы вне и внутри одномерной «потенциальной ямы» с бесконечно высокими «стенками».

18.Каково выражение энергии частицы в «потенциальной

яме»?

298

Проверочные тесты

1. Какой из нижеприведенных формул следует воспользоваться для нахождения длины волны де Бройля, связанной с электроном? В формулах Е0 = m0∙c2 – энергия покоящегося электрона; v – его скорость; Т – кинетическая энергия.

2. Каков смысл параметра U в уравнении Шредингepa

-2m Δψ+U ψ=i ¶¶ψt ?

1)полная энергия частицы;

2)безразмерная константа;

3)кинетическая энергия частицы;

4)потенциальная энергия;

5)правильного ответа нет.

3.Какая из нижеприведенных формулировок служит определением длины волны де Бройля?

1) это минимальная длина волны в сплошном спектре рентгеновского излучения;

2) это наибольшая длина волны в ультрафиолетовой серии спектра излучения водорода;

3) это наименьшая длина волны в видимой серии спектра излучения водорода;

4) это длина волны, связанная с движущейся частицей; 5) это максимальная длина волны светового излучения, при

котором еще возможен фотоэффект.

4.Если допустить, что неопределенность координат движущейся частицы равна длине волны де Бройля, то какова будет

относительная неопределенность р/р импульса этой частицы? 1) 1,6 %; 2) 6,28 %; 3) 16 %; 4) 62,8 %; 5) 100 %.

299

5. Каков физический смысл волновой функции?

1)физического смысла волновая функция не имеет;

2)ψ (x, y, z) – плотность вероятности обнаружить микрочастицу в точке (x, y, z);

3)|ψ (x, y, z)|2 – плотность вероятности обнаружить микрочастицу в точке (x, y, z);

4)|ψ (x, y, z)|2 – кинетическая энергия частицы;

5)ψ (x, y, z) – потенциальная энергия частицы.

6. Какое из нижеприведенных выражений представляет длину волныдеБройля?(v – скорость частицы;Т– периодколебаний).

7.Какое из нижеприведенных утверждений отражает суть соотношения неопределенностей?

1) микрочастица не может находиться в определенной точке пространства;

2)микрообъектыимеютдискретныезначениямассыизаряда;

3) микрообъекты не могут иметь одновременно определенными координату и импульс;

4) можно определить вероятность того, что микрочастица будет обнаружена в данной точке пространства.

8.Определите длину волны де Бройля, характеризующую

волновые свойства протона, движущегося со скоростью

v= 1 Мм/с.

1)0,397пм;2) 0,252пм;3)0,252 нм;4)0,110нм;5)0,397 нм.

9. Кинетическая энергия электрона равна 1 кэВ. Определите длину волны де Бройля.

1) 38,8 пм; 2) 44,4 пм; 3) 6,63 пм; 4) 5,93 пм.

300