книги / Физика для бакалавра. Ч. 2-1

дим, что скорость волн де Бройля зависит от длины волны. Это обстоятельство сыграло в свое время большую роль в развитии положений квантовой механики. После установления корпуску- лярно-волнового дуализма делались попытки связать корпускулярные свойства частиц с волновыми и рассматривать частицы как «узкие» волновые пакеты, «составленные» из волн де Бройля. Это позволяло, как бы отойти от двойственности свойств частиц. Такая гипотеза соответствовала локализации частицы в данный момент времени в определенной ограниченной области пространства. Аргументом в пользу этой гипотезы являлось и то, что скорость распространения центра пакета (групповая скорость) оказалась, как показано выше, равной скорости частицы. Однако подобное представление частицы в виде волнового пакета (группы волн де Бройля) оказалось несостоятельным изза сильной дисперсии волн де Бройля, приводящей к «быстрому расплыванию» (примерно 10–26 с) волнового пакета или даже разделению его на несколько пакетов.

29.4.Принцип неопределенности Гейзенберга

Вклассической механике состояние материальной точки (классической частицы) определяется заданием значений координат, импульса, энергии и т.д. Перечисленные величины называются динамическими переменными. Строго говоря, микрообъекту не могут быть приписаны указанные динамические переменные. Однако информацию о микрочастицах мы получаем, наблюдая их взаимодействие с приборами, представляющими собой макроскопические тела. Поэтому результаты измерений поневоле выражаются в терминах, разработанных для характе-

281

ристики макротел, т.е. через значения динамических переменных. В соответствии с этим измеренные значения динамических переменных приписываются микрочастицам. Например, говорят о состоянии электрона, в котором он имеет такое-то значение энергии.

Своеобразие свойств микрочастиц проявляется в том, что не для всех переменных получаются при измерениях определенные значения. Так, например, электрон (и любая другая микрочастица) не может иметь одновременно точных значений координаты х и компоненты импульса рх. Неопределенности значений х и рх удовлетворяют соотношению

где – постоянная Планка. Из (29.6) следует, что чем меньше неопределенность одной из переменных (х или рх), тем больше неопределенность другой. Возможно такое состояние, в котором одна из переменных имеет точное значение, другая переменная при этом оказывается совершенно неопределенной (ее неопределенность равна бесконечности).

Соотношение, аналогичное (29.6), имеет место для у и ру, для z и рz, а также для ряда других пар величин (в классической механике такие пары величин называются канонически сопряженными). Обозначив канонически сопряженные величины буквами А и В, можно написать

Соотношение (29.7) называется соотношением неопределен-

ности для величин А и В. Это соотношение открыл В. Гейзенберг в 1927 году. Утверждение о том, что произведение неопределенностей двух сопряженных переменных не может быть по порядку величины меньше постоянной Планка , называется принципом неопределенности Гейзенберга. Энергия и время являются кано-

282

нически сопряженными величинами. Поэтому для них также справедливо соотношение неопределенности

Это соотношение означает, что определение энергии с точностью E должно занять по меньшей мере интервал времени

t hE .

Соотношение неопределенности было установлено из рассмотрения, в частности, следующего примера. Попытаемся определить значение координаты х свободно летящей микрочастицы, поставив на ее пути щель шириной x, расположенную

перпендикулярно к направлению движения частицы (рис. 29.2).

Рис. 29.2

До прохождения частицы через щель ее составляющая импульса рх имеет точное значение, равное нулю (щель по условию перпендикулярна к импульсу), так что px 0, зато координата

х частицы является совершенно неопределенной. В момент прохождения частицы через щель положение меняется. Вместо

283

полной неопределенности координаты х появляется неопределенность x, но это достигается ценой утраты определенности

значения рх. Действительно, вследствие дифракции имеется некоторая вероятность того, что частица будет двигаться в пределах угла 2φ, где φ – угол, соответствующий первому дифракционному минимуму (максимумами высших порядков можно пренебречь, поскольку их интенсивность мала по сравнению с интенсивностью центрального максимума). Таким образом, появляется неопределенность: px psin .

Краю центрального дифракционного максимума (первому минимуму), получающемуся от щели шириной x, соответству-

ет угол φ, для которого sin x . Следовательно, ∆px ~ pλ/∆x.

Отсюда с учетом (29.1) получается соотношение

x px p 2 ,

согласующееся с (29.6).

Иногда соотношение неопределенности получает следующее толкование: в действительности у микрочастицы имеются точные значения координат и импульсов, однако ощутимое для такой частицы воздействие измерительного прибора не позволяет точно определить эти значения. Такое толкование является совершенно неправильным. Оно противоречит наблюдаемым на опыте явлениям дифракции микрочастиц.

Соотношение неопределенности указывает, в какой мере можно пользоваться понятиями классической механики применительно к микрочастицам, в частности, с какой степенью точности можно говорить о траекториях микрочастиц. Движение по траектории характеризуется вполне определенными значениями координат и скорости в каждый момент времени. Подставив в (29.6) вместо рх произведение mvх, получим соотношение

x vx 2m .

284

Мы видим, что чем больше масса частицы, тем меньше неопределенности ее координаты и скорости и, следовательно, с тем большей точностью применимо понятие траектории. Уже для макрочастицы размером всего 1 мкм неопределенности значений х и vx оказываются за пределами точности измерения этих величин, так что практически ее движение будет неотличимо от движения по траектории.

При определенных условиях даже движение микрочастицы может приближенно рассматриваться как происходящее по траектории. Например, движение электрона в электронно-лучевой трубке.

Соотношение неопределенности является одним из фундаментальных положений квантовой механики. Одного этого соотношения достаточно, чтобы получить ряд важных результатов. В частности оно позволяет объяснить тот факт, что электрон не падает на ядро атома, а также оценить размеры простейшего атома и минимальную возможную энергию электрона в таком атоме.

Соотношение неопределенностей неоднократно являлось предметом философских дискуссий, приводивших некоторых философов к его неправильному истолкованию. Например, по их мнению, соотношение неопределенностей, не давая возможности одновременно точно определить координаты и импульсы (скорости) частиц, устанавливает границу познаваемости мира, с одной стороны, и существование микрообъектов вне пространства и времени – с другой. На самом деле соотношение неопределенностей не ставит какого-либо предела познанию микромира, а только указывает, насколько применимы к нему понятия классической механики.

29.5. Волновая функция, ее статистический смысл

Экспериментальное подтверждение идеи де Бройля об универсальности корпускулярно-волнового дуализма, ограниченность применения классической механики к микрообъектам, диктуемая соотношением неопределенностей, а также противо-

285

речие целого ряда экспериментов с применяемыми в начале XX века теориями привели к новому этапу развития квантовой теории – созданию квантовой механики, описывающей законы движения и взаимодействия микрочастиц с учетом их волновых свойств. Ее создание и развитие охватывает период с 1900 года (формулировка Планком квантовой гипотезы) до 20-х годов XX века. Оно связано прежде всего с работами австрийского физика Э. Шредингера (1887–1961), немецкого физика В. Гейзенберга и английского физика П. Дирака (1902–1984).

На данном этапе развития возникли новые принципиальные проблемы, в частности проблема физической природы волн де Бройля. Для выяснения этой проблемы сравним дифракцию световых волн и микрочастиц.

1. Дифракционная картина, наблюдаемая для световых волн, характеризуется тем, что в результате наложения дифрагирующих волн друг на друга в различных точках пространства происходит усиление или ослабление амплитуды колебаний. Согласно волновым представлениям о природе света, интенсивность дифракционной картины пропорциональна квадрату амплитуды световой волны. По представлениям фотонной теории, интенсивность определяется числом фотонов, попадающих в данную точку дифракционной картины. Следовательно, число фотонов в данной точке дифракционной картины задается квадратом амплитуды световой волны, в то время как для одного фотона квадрат амплитуды определяет вероятность попадания фотона в ту или иную точку.

2. Дифракционная картина, наблюдаемая для микрочастиц, также характеризуется неодинаковым распределением потоков микрочастиц, рассеянных или отраженных по различным направлениям, – в одних направлениях наблюдается большее число частиц, чем в других. Наличие максимумов в дифракционной картине с точки зрения волновой теории означает, что эти направления соответствуют наибольшей интенсивности волн де Бройля. С другой стороны, интенсивность волн де Бройля ока-

286

зывается больше там, где имеется большее число частиц, т.е. интенсивность волн де Бройля в данной точке пространства определяет число частиц, попавших в эту точку. Таким образом, дифракционная картина для микрочастиц есть проявление статистической (вероятностной) закономерности, согласно которой частицы попадают в те места, где интенсивность волн де Бройля наибольшая.

Необходимость вероятностного подхода к описанию микрочастиц является важнейшей отличительной особенностью квантовой теории. Можно ли волны де Бройля истолковывать как волны вероятности, т.е. считать, что вероятность обнаружить микрочастицу в различных точках пространства меняется по волновому закону? Такое толкование волн де Бройля уже неверно хотя бы потому, что тогда вероятность обнаружить частицу в некоторых точках пространства может быть отрицательна, что не имеет смысла.

Чтобы устранить эти трудности, немецкий физик М. Борн в 1926 году предположил, что по волновому закону меняется не сама вероятность, а величина, названная амплитудой вероятности и обозначаемая ψ (х, у, z, t). Эту величину называют также волновой функцией (или ψ-функцией). Амплитуда вероятности может быть комплексной, и вероятность W пропорциональна квадрату ее модуля:

где ψ2 =ψψ*,ψ* – функция, комплексно сопряженная с ψ.

Таким образом, описание состояния микрообъекта с помощью волновой функции имеет статистический, вероятностный характер: квадрат модуля волновой функции (квадрат модуля амплитуды волн де Бройля) определяет вероятность нахождения частицы в момент времени t в области с координатами х и x + dx, у и y + dy, z и z + dz.

Итак, в квантовой механике состояние микрочастиц описывается принципиально по-новому – с помощью волновой функ-

287

ции, которая является основным носителем информации об их корпускулярных и волновых свойствах. В элементе объемом dV вероятность нахождения частицы

(квадрат модуля ψ-функции) имеет смысл плотности вероятности, т.е. определяет вероятность нахождения частицы в единичном объеме в окрестности точки с координатами х, у, z.

Таким образом, физический смысл имеет не сама ψ-функ- ция, а квадрат ее модуля 2 , которым задается интенсивность

волн де Бройля.

Вероятность найти частицу в момент времени t в конечном объеме V (согласно теореме сложения вероятностей)

W dW 2 dV.

V V

Поскольку 2 dV определяется как вероятность, необхо-

димо волновую функцию ψ нормировать так, чтобы вероятность достоверного события обращалась в единицу, если за объем V принять бесконечный объем всего пространства. Это означает, что при данном условии частица должна находиться где-то в пространстве. Следовательно, условие нормировки вероятно-

стей

где данный интеграл (29.12) вычисляется по всему бесконечному пространству, т.е. по координатам х, у, z от до . Таким образом, условие (29.12) говорит об объективном существовании частицы во времени и пространстве.

288

Чтобы волновая функция являлась объективной характеристикой состояния микрочастиц, она должна удовлетворять ряду ограничительных условий.

Функция W, характеризуя вероятность обнаружения действия микрочастицы в элементе объема, должна быть:

–конечной (вероятность не может быть больше единицы),

–однозначной (вероятность не может быть неоднозначной величиной),

–непрерывной (вероятность не может изменяться скачком). Волновая функция удовлетворяет принципу суперпозиции:

если система может находиться в различных состояниях, описываемых волновыми функциями 1, 2, 3,..., n ,..., то она

также может находиться в состоянии Ψ, описываемом линейной комбинацией этих функций:

Cn n ,

n

где Сп (n = 1,2,...) – произвольные, вообще говоря, комплексные числа. Сложение волновых функций (амплитуд вероятностей), а не вероятностей (определяемых квадратами модулей волновых функций) принципиально отличает квантовую теорию от классической статистической теории, в которой для независимых событий справедлива теорема сложения вероятностей.

Волновая функция Ψ, являясь основной характеристикой состояния микрообъектов, позволяет в квантовой механике вычислять средние значения физических величин, характеризующих данный микрообъект. Например, среднее расстояние <r> электрона от ядра вычисляют по формуле

r r 2 dV ,

где интегрирование производится, как и в случае (29.12).

289

29.6. Уравнение Шредингера

Статистическое толкование волн де Бройля и соотношение неопределенностей Гейзенберга привели к выводу, что уравнением движения в квантовой механике, описывающим движение микрочастиц в различных силовых полях, должно быть уравнение, из которого бы вытекали наблюдаемые на опыте волновые свойства частиц. Основное уравнение должно быть уравнением относительно волновой функции Ψ(х, у, z, t), так как именно она,

точнее, величина 2 определяет вероятность пребывания ча-

стицы в момент времени t в объеме dV, т.е. в области с координатами х и x+dx, у и y+dy, z и z + dz. Так как искомое уравнение должно учитывать волновые свойства частиц, то оно должно быть волновым уравнением, подобно уравнению, описывающему электромагнитные волны.

Основное уравнение нерелятивистской квантовой механики сформулировано в 1926 году Э. Шредингером. Уравнение Шредингера, как и все основные уравнения физики (например, уравнения Ньютона в классической механике и уравнения Максвелла для электромагнитного поля), не выводится, а постулируется. Правильность этого уравнения подтверждается согласием с опытом получаемых с его помощью результатов, что, в свою очередь, придает ему характер закона природы. Уравнение Шредингера имеет вид

где 2h ; т – масса частицы; – оператор Лапласа,

x22 y22 z22 ,

2x2 2y2 2z2 ,

290