книги / Сопротивление грунтов (некоторые лекции по курсу Механика грунтов )

Для значений деформационных характеристик, приведенных на рис. 2.20, а, qw = 5.0 тс/м2, эта нагрузка будет вызывать осадки нижележащих слоев до нижней границы сжимаемой толщи В.С толщиной Нс.

Толщина зоны Нс зависит от ширины зоны водопонижения и вида грунта; в расчете условно принято Нс = 12.0 м. Кроме того, осадка также образуется в слое песка ниже первоначального уровня УПВ-1 от той же нагрузки, но распределенной, как показано на рис. 2.20, б, по треугольному закону (это учитывается коэффициентом 0.5).

Рис. 2.20. Характеристики слоев (а) и напряженное состояние грунтового массива при водопонижении (б)

При указанных выше характеристиках грунтов суммарная осадка определяется так:

S= qw [0.5 β2 h2 / Е2 + β3 h3 / Е3 + β4 (Нс h3) / Е4] =

=5.0 [0.5 · 0.74 · 5.0 / 2000 + 0.62 · 4.0 / 1000 + 0.90

(12.0 – 4.0) / 4000] = 0.0046 + 0.0124 + 0.009 = 0.026 м = 2.6 см.

Вэтой формуле участвуют коэффициенты βi, которые определяются, как и ранее, для отсутствия возможности бокового расширения:

βi = 1 – 2 νi2 / (1 – νi). В частности, для песка β1 = β2 = 0.74 (при ν1 = ν2= 0.3), для суглинка при β3 = 0.62 (ν3 = 0.35) для дресвы при β4 = 0.90 (ν4 = 0.20).

Заметим, что в строительных нормах коэффициент β принимается постоянным (β = 0.8), однако это незначительно изменяет результат вычисления: при учете β = 0.8 осадка увеличится только до S = 2.9 см.

91

* * *

Заканчивая рассмотрение теории распределения напряжений в грунтах, отметим, что основные ее законы имеют большое практическое значение при расчетах осадок, установлении допустимых и предельных нагрузок на грунты в основании фундаментов, давления грунтов на ограждения, устойчивости откосов и др., которые рассматриваются в последующих лекциях.

Для более глубокого изучения расчетов инженерных конструкций, работающих на контакте с грунтом, в приложении А рассматривается одна из важнейших проблем в этой области – расчет гибких фундаментов.

Список литературы

1.Безухов Н.И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести. – М.: Высшая школа, 1981. – 257 с.

2.Гольдштейн М.Н. Механические свойства грунтов. – М.: Стройиздат, 1973. – 375 с.

3.Гордон Д. Почему мы не проваливаемся сквозь пол? – М.: Мир, 1971. – 272 с.

4.Амбарцумян С.А. Разномодульная теория упругости. – М.: Наука, 1982. – 320 с.

5.Кандауров И.И. Механика зернистых сред. – М.: Стройиздат, 1966. – 320 с.

6.Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. II. – М.: Физматгиз, 1973. – 492 с.

7.Симвулиди И.А. Расчет балок, лежащих на сплошном упругом основании, без гипотезы Винклера. – М.: Метрострой, 1936. – 431 с.

8.Горбунов-Посадов М.И. Расчет конструкций на упругом основании. – М.: Госстройиздат, 1953. – 516 с.

9.Герсеванов Н.М. Функциональные прерыватели и их применение в строительной механике. – Сб. тр. ВИОС. – № 2. – М.: Госстройиздат, 1934. – 431 с.

10.Клубин П.И. Расчет балочных и круглых плит на упругом основании // Инженерный сборник ИМ АН СССР. – 1952. – Т. 12. – С. 10–18.

11.Пастернак П.Л. Основы нового метода расчета фундаментов на упругом основании при помощи двух коэффициентов постели. – М.; Л.: Госстройиздат, 1954. – 56 с.

12.Жемочкин Б.Н., Синицын А.П. Практические методы расчета фундаментных балок и плит на упругом основании. – 2-е изд. – М.: Госстройиздат, 1962. – 492 с.

92

13.Власов В.З., Леонтьев Н.Н. Балки, плиты и оболочки на упругом основании. – М.: Физматлит, 1960. – 491 с.

14.Репников Л.Н. Расчет балок на упругом основании, объединяющем деформативные свойства основания Винклера и линейно-дефор- мируемой среды // Основания, фундаменты и механика грунтов. – 1967. –

№6. – С. 91–98.

15.Егоров К.Е. Методы расчет конечных осадок фундаментов // Сб. тр. НИИ оснований. – М.: Машстройиздат, 1949. – № 13. – С. 27–44.

16.Клепиков С.Н. Расчет конструкций на упругом основании. – Киев: Будiвельник, 1967. – 184 с.

17.Горбунов-Посадов М.И., Маликова Т.А., Соломин В.И. Расчет конструкций на упругом основании. – М.: Стройиздат, 1984. – 679 с.

93

Приложение А

РАСЧЕТЫ ГИБКИХ ФУНДАМЕНТОВ

Самостоятельную и сложную проблему представляет расчет больших по размеру конструкций (балок, плит, свай), работающих на контакте с грунтом, как правило, с изгибом. Давления на контакте с грунтом у таких строительных элементов относительно невелики, они редко достигают величины критического давления ркр, поэтому эпюра отпора грунта, как предполагается, должна быть близкой к седлообразной (см. рис. 2.17, в, поз. 2). Особенность работы таких конструкций в том, что осадки в разных точках (например, балки) различны: они больше в местах приложения нагрузок и меньше в ненагруженных местах. Следовательно, и реактивный отпор грунта должен быть больше там, где больше прогибы балки.

Как отмечалось, гибкие фундаменты – это одна из первых задач фундаментостроения, взятая на вооружение специалистами из области теории упругости. Она решается многими учеными начиная со 2-й половины XIX в.

В основе подхода лежит известное с конца XVIII в. уравнение изогнутой оси балки, нагруженной с разных сторон (сверху и снизу) различными по величине и различным образом распределенными нагрузками:

где ЕI – произведение модуля упругости материала балки Е и момента инерции сечения I, называемое жесткостью балки; q(x) и р(х) – соответственно поверхностная нагрузка и реактивный отпор грунта в точке с координатой х; b – ширина балки; у – вертикальное перемещение балки, обозначаемое этой буквой всеми исследователями.

Само по себе уравнение (А.1) требует некоторых пояснений. Очевидно, что в одном уравнении должны содержаться члены, имеющие одинаковые единицы измерения. Члены уравнения (А.1) р(х) и q(x) должны измеряться как напряжения и давления, например, в тс/м2, кН/м2.

Что касается первого члена уравнения, то к такой же единице измерения можно прийти, рассуждая следующим образом.

Перемещение у измеряется в метрах (м), производная от него d 1у/d 1х, прогиб φ – безразмерная величина (доли радиана). Вторая производная d 2у/d 2х – размерная величина, 1/м, но после умножения на жесткость ЕI (тс·м2) приобретает физический смысл изгибающего момента в сечении М(х) и единицу измерения тс·м, кН·м. Третья производная

94

всочетании с жесткостью ЕI d3y/d3x уже измеряется в кН и характеризует

поперечную силу в сечении Q(х). Наконец, четвертая производная в сочетании с множителями ЕI и /b (т.е. ЕI d 4y/d 4x/b) получает смысл реактивного отпора и единицу измерения тс/м/м (тс/м2), кН/м/м, (кН/м2), т.е. подобную размерности членов р(х) и q (x).

Таким образом, после решения уравнения (А.1) можно получить все составляющие напряженно-деформированного состояния конструкции: моменты М(х), поперечные силы Q (х), прогибы φ и осадки у в каждой точке с координатой х.

Подобное же уравнение, описывающее работу плит, записывается

вчастных производных, причем осадка принимается по координате z,

адифференцирование – по координатам длины и ширины – соответственно х и у.

Однако уравнение (А.1), как и соответствующее уравнение для плиты, содержит два неизвестных – реакцию отпора грунта р(х) и осадку у(х). Для решения этого уравнения между р и у должна быть установлена определенная связь.

Вэтом месте начинается «водораздел» между двумя точками зрения, которые, как будет показано далее, признаются противоположными.

Решение проблемы связи между р и у, а в общем случае – проблемы решения уравнения (А.1), происходило по принципу «от простого к сложному». Первым и простейшим было предположение о пропорциональной зависимости между р и у:

где К (иногда его обозначают С, Сz, Кр и др.) – коэффициент упругости основания, именуемый коэффициентом постели (далее без кавычек).

Несмотря на кажущуюся очевидность предположения о пропорциональной, линейной связи этих величин, сразу же возник вопрос о том, как взаимодействуют смежные загруженные участки по длине балки (а в более широком плане – плиты). Если принять за основу уравнение (А.2), следует полагать, что никакой связи между смежными участками не существует. Модель такого основания можно представить как совокупность не связанных между собой пружин по всей длине балки (или, что одно и то же, как ряд стоящих в воде, но не связанных между собой понтонов, пустых бочек), на которых лежит рассчитываемая балка.

Приоритет в формулировке гипотезы коэффициента постели большинство специалистов отдает Е. Винклеру (E. Winkler, 1835), который впервые использовал эту гипотезу для расчета балок в 1867 г. Позднее было установлено, что гораздо раньше (в 1798 г.) подобную

95

же гипотезу о пропорциональной связи формулировал член Российской академии наук Н.И. Фусс (N. Fuss, 1755–1826), однако без связи с расчетами конструкций на грунте («глубина вдавливания колеса экипажа пропорциональна нагрузке на него»). В свое время, когда требовалось подчеркнуть приоритет российских ученых, эту модель называли гипотезой Фусса – Винклера, но потом, когда выяснилось, что Н.И. Фусс – приглашенный в Россию швейцарец (родился в Базеле), это словосочетание постепенно забылось. Сейчас ее продолжают называть

гипотезой Винклера, Винклера – Циммермана, но чаще, более толерантно – гипотезой коэффициента постели или местных деформаций.

На основе обеих гипотез в течение ХХ в. был решен целый класс практически важных задач для разного типа плит и балок и разных типов их нагружения.

Решения по модели Винклера проще: на ее основе удалось решить ряд частных, но практически важных задач – путем непосредственного решения дифференциального уравнения (А.1). В частности, Р. Урбаном (R. Urban) решена задача о напряженном состоянии балки, нагруженной вблизи конца вертикальными, горизонтальными и моментными нагрузками, которая до сих пор используется в расчетах свай (соответствующий расчет в табулированном виде включен в строительные нормы).

Но в общем случае решения задач на основе модели УПП практически неразрешимы. Для их решения неизвестную эпюру реактивного давления грунта представляют в виде функций разного вида: полиномом третьей степени (И.А. Симвулиди [7]), бесконечным степенным рядом (М.И. Горбунов-Посадов [8]), с помощью функциональных прерывателей (Н.М. Герсеванов [9]), полиномом Чебышева (П.И. Клубин [10]) и др.

Наиболее известны работы М.И. Горбунова-Посадова [8], который путем представления реакции грунта степенными рядами разной длины составил таблицы для расчетов балок и плит для различных случаев нагружения их единичными нагрузками (N = 1, М = 1, Q = 1, распределенной q = 1, треугольной и др.), разделив балки и плиты на 3 категории по жесткости: абсолютно жесткие, промежуточной жесткости, гибкие (от этого зависит число членов анализируемого ряда). Принцип суперпозиции, лежащий в основе всех линейных задач, позволяет использовать эпюры М и Q, составленные для нагружения единичными воздействиями, при расчетах конструкции определенной категории жесткости – путем умножения на конкретные величины воздействий N, М, Q и последующего сложения эпюр в случае совместного воздействия нескольких внешних факторов.

Различие между подходами по двум моделям можно иллюстрировать на примере балки на упругом основании, способ решения которой

96

методом сил предложил профессор Б.Н. Жемóчкин (1887–1961 [11]).

Для упрощения в примере принята ширина балки b = 1 м.

Согласно идеологии метода сил, балка (рис. А.1, а), лежащая на неизвестном, но упругом основании, рассматривается как статически неопределимая система. Вначале вместо этой системы принимается более простая – статически определимая система (консольная балка), работа и расчеты которой хорошо известны. Основание заменяется системой стержней, которые суммируют неизвестные пока реакции грунта Х1, Х2, …, Хn на каждом из n участков длинойС, на которые разбивается балка по длине (чем больше участков, тем точнее решение; доказано, что для достоверного результата достаточно принять n = 7…10).

Далее в месте неизвестных сил Хi последовательно прикладываются единичные силы Х1 = 1, Х2 = 1, …, Хn = 1 и определяется реакция статически определимой системы на эти единичные воздействия. Реакцией системы от воздействия и в направлении каждой из единичных сил Хi = 1 является суммарное перемещение δij, которое складывается из осадки упругого основания уij, в точке i от единичной силы, приложенной в точке j, и от прогиба консольной балки уik, – также в точке i от единичной силы в точке k:

Определение прогибов консольной балки уik от единичных сил не представляет какой-либо проблемы, для этого есть простые формулы и справочники. Что же касается осадки уij, то именно в этом заключается различие в моделях – гипотезах упругого основания.

Согласно гипотезе УПП осадка уij в месте приложения единичной силы Хi (или уji в месте приложения единичной силы Хj) определяется по преобразованной формуле Шлейхера:

97

где rij – расстояние между точками i и j.

Как показано на рис. А.1, б, в соответствии с решениями теории упругости влияние силы распространяется не только на место ее приложения, но и на соседние участки балки.

В отличие от гипотезы УПП, в соответствии с гипотезой Винклера осадка образуется только в месте приложения нагрузки, вычисляется по формуле (А.5) и не распределяется на другие участки балки

(см. рис. А.1, в):

(здесь длина С вводится для перехода от единичной силы к среднему давлению р на участке).

После проверки воздействия, как на рис. А.1, четырех единичных сил на балку и на основание ведется решение системы уравнений, в которой отражается влияние всех входящих в расчетную схему факторов – 4 единичных сил, заменяющих основание по разным гипотезам, внешних нагрузок Ni, qi, причем каждое из 4 первых уравнений означает равенство нулю перемещений в i-й точке.

Кроме того, в итоговую систему включается условие равновесия – равенства проекций всех сил на вертикальную ось (5-е уравнение) и моментов относительно точки в левом краю балки, принятой за начало координат (6-е уравнение). Система приводится в виде и обозначениях, принятых Б.Н. Жемóчкиным:

где у0 и φ0 – соответственно осадка и угол поворота консольной балки в начале координат; iр – прогиб балки в i-й точке от внешней нагрузки; Σ Р – равнодействующая всех внешних сил на вертикальную ось; Σ М – момент внешних сил относительно начала координат.

После решения системы уравнений (А.6) находятся неизвестные силы реакции грунта Х1…Х4, у0 и φ0. Для определения реактивного давления на i-м участке нужно разделить значение силы Хi на площадь участка плиты (b С). Для определения осадок на отдельных участках балки нужно воспользоваться соответствующими формулами (А.4) или (А.5)

98

для единичных сил, заменив в них 1 (единицу) на конкретное значение силы Хi, а после суммирования их – полную осадку балки и распределение прогибов по длине балки у(х).

При вычислениях на ЭВМ возможно решение как угодно большого числа уравнений. При ручном счете существует много приемов, упрощающих решение уравнений (А.6). Например, в рассматриваемом случае систему из шести уравнений можно свести к системе из 3 уравнений.

Для иллюстрации различий в решении задачи об изгибе балки при различных гипотезах грунтового основания можно воспользоваться примером из книг М.И. Горбуно- ва-Посадова и др. [8, 17]. На рис. А.2 показано, что решение балки на основе модели Винклера приводит к появлению изгибающих моментов М разного знака (в верхних и в нижних сечениях), а эпюра реактивного давления р относительно равномерна, с концентрацией отпора в местах приложения сосредоточенных

нагрузок Ni. В то же время решение по модели УПП приводит к появлению моментов М в основном в нижних сечениях, что обусловлено особенностями распределения реактивных давлений р – с концентрацией к краям балки (рис. А.2, б). Важно, что площади эпюр по обеим гипотезам должны быть равны – это следствие условия равновесия внешних сил и реакции грунта.

В результате балка по модели УПП получает общий большой изгиб вниз (эпюры прогибов на рис. А.2 подобны эпюрам моментов), поэтому в нижней части железобетонной балки требуется ставить существенно больше арматуры.

Указанное принципиальное различие в результатах расчетов можно характеризовать как редкий, возможно, и уникальный случай в инженерной практике, когда один расчет приводит к моментам одного знака (вверху), а другой – другого знака (внизу), причем намного бóльшим. Из-за опасности совершить ошибку в расчетах столь ответственной конструкции, как фундаментная плита или балка (ошибку, которую потом чрезвычайно трудно исправить!), проектировщик, как правило, ставит симметричную арматуру и, как правило, «по макси-

99

муму» вверху и внизу – из расчета по модели УПП, предусматривая тем самым почти всегда двойной-тройной перерасход арматуры.

Резкое различие в расчетах стало выявляться начиная с 1920–30-х гг. – с появлением работ на основе модели УПП. Долгое время ученые

вобласти фундаментостроения разделялись на «два лагеря» – сторонники каждой из гипотез. Гипотезу Винклера поддерживали специалисты

вобласти расчетов большеразмерных железобетонных плит (аэродромных покрытий, элеваторов), а гипотезу УПП – специалисты, пришедшие

вобласть фундаментостроения, как правило, из сферы академической науки (классической механики, теории упругости). Но каких-либо убедительных доказательств правомерности той или иной точки зрений не существовало, как тогда, в 1920–30-е гг., так не существует и сейчас… Начиная с 1950-х гг. и до последнего времени по этой тематике выполнено множество научных работ, защищены десятки кандидатских

и докторских диссертаций, проведено много научных конференций и симпозиумов высокого уровня, включая международные.

Основанием для критики приверженцев гипотезы УПП, которые развивали решения, казалось бы, более высокого уровня, служили, кроме больших расходов арматуры в железобетонных плитах, еще и сомнения относительно слишком завышенной распределительной способности грунта. Кроме того, никто из экспериментаторов не наблюдал больших прогибов плит, поскольку всегда было очевидно, что таким прогибам препятствует жесткость надземного строения.

Начиная с 1970-х гг. развитие проблемы расчета конструкций именно на грунтовом (но не упругом!) основании велось в направлении разработки способов, призванных сгладить существующие противоречия казалось бы несовместимых по физическому смыслу гипотез и учесть реальные свойства грунтов. Далее кратко характеризуются направления ведущихся в последние годы работ в этой области.

Первое направление предусматривает снижение распределительной способности грунтов. П.Л. Пастернак [12] предложил в каче-

стве сдерживающего фактора перекрывать грунтовое основание гибкой мембраной, но с представлением модифицированного основания новыми коэффициентами постели – упругого сжатии С1 и сдвига С2 (см. также В.З. Власов и Н.Н. Леонтьев [13]). В эти решения входит дополнительный параметр – начальное натяжение мембраны σо (либо жесткость мембраны ЕI): чем больше σо либо ЕI, тем больше сосредоточенные силы по углам фундамента и тем ближе результат к решению по гипотеза УПП. Напротив, чем меньше σо (либо ЕI), тем ближе к гипотезе Винклера, а при σо = 0 или ЕI = 0 решение полностью к нему сводится. Критика этого направления состоит в том, что подбирая натяжение мембраны σо (ЕI), можно привести результат к какой угодно

100