2. Интерполяция полиномами Бесселя
Интерполяционные формулы Ньютона являются основными и применимы почти во всех случаях интерполирования, но, вообще говоря, они сходятся не так быстро, как формула Бесселя.
Пусть необходимо вычислить значение , где . Выражение для вычисления по формуле Бесселя будет следующее:
+ , (5)
где .
Следует подчеркнуть, что существует один и только один интерполяционный многочлен при заданном наборе узлов интерполяции. Формулы Ньютона, Бесселя и др. порождают один и тот же полином (при условии, что вычисления проводятся точно). Разница лишь в алгоритме их построения. Выбор способа интерполяции определяется различными соображениями: точностью, временем вычислений, погрешностями округлений и др.
Пример
Результаты эксперимента – исследование термодинамических свойств воды и водяного пара в состоянии насыщения - представлены в табл. 2.
Рассчитать промежуточное, по отношению к табличному, значение давления насыщенного пара P при температуре T=24 oС, используя интерполяционные формулы Ньютона. Вычисления проводить с четырьмя разрядами.
Сравнить полученные результаты.
Таблица 2
Термодинамические свойства воды и водяного пара в состоянии насыщения
-
i
Температура воды T, oС
Давление насыщенного пара P, кПа
Удельная теплота испарения Q, кДж/кГ
0
10
1,227
2477,4
1
30
4,242
2430,2
2
50
12,335
2382,5
3
70
31,161
2333,8
4
90
70,108
2283,4
Решение.
1. Функция рассчитывается для значения аргумента T = 24, принадлежащего левой половине рассматриваемого отрезка [10, 90], поэтому основная формула – (3).
2. Рассчитаем вспомогательные величины.
Максимальная степень интерполяционного полинома n должна быть на единицу меньше числа узловых точек. В нашем случае узловых точек k = 5, а степень полинома n = 4.
Величины q - n + 1 = q – 4 + 1 = q – 3, .
При T = 24 имеем .
3. Результаты расчетов конечных разностей функции y (в нашем случае это давление насыщенного пара P) представим в табличном виде (см. табл. 3).
Таблица 3
i |
T, oС |
y |
|
|
|
|
0 |
10 |
1,227 |
3,015 |
5,078 |
5,655 |
3,733 |
1 |
30 |
4,242 |
8,093 |
10,733 |
9,388 |
|
2 |
50 |
12,335 |
18,826 |
20,121 |
|
|
3 |
70 |
31,161 |
38,947 |
|
|
|
4 |
90 |
70,108 |
|
|
|
|
Каждая последующая конечная разность получается путем вычитания в предыдущей колонке верхней строки из нижней.
4. Исходная формула (3) в нашем случае (n = 4) будет иметь вид:
Используя ее, выполним расчеты:
5. Для сравнения проведем аналогичные вычисления по формуле (4), которая будет иметь вид:
В этом случае .
Тогда
Выводы:
Искомое промежуточное, по отношению к табличному, значение давления насыщенного пара P при температуре T= 24 oС, рассчитанное по
первой интерполяционной формуле Ньютона, равно P(24 oС) = 2,964 кПа,
второй интерполяционной формуле Ньютона, равно P(24 oС) = 2,964 кПа.
Как видим, результаты с точностью округлений совпадают.