3.3 Лемма Лоренца. Теорема взаимности

П

(29)

усть в линейной изотропной среде имеются две независимые группы источников, одна из которых характеризуется сторонними электрическими токами с плотностью, а вторая - токами с плотностью Первая группа источников создает монохроматическое электромагнитное поле удовлетворяющее уравнениям

(30)

а

(31)

вторая - полепричем

(32)

У

(33)

множим уравнение (29) скалярно на вектор а (31) на H₁, и почленно вычтем второе равенство из первого:

А

(34)

налогично (31) умножим скалярно на вектор и почленно вычтем из полученного результата равенство (30), скалярно умноженное на вектор

П

(35)

рименяя к левым частям формул (33) и (34) известное тождество и вычитая затем почленно (34) из (33), получаем

Равенство (35) называют леммой Лоренца. На основе леммы Лоренца доказывается теорема взаимности, имеющая фундаментальное значение. Предположим, что источники первой группысосредоточены в конечном объеме , а источники второй группы - в конечном объеме Области ипространственно разделены (не пересекаются друг с другом).

И

(36)

нтегрируя равенство (35) по произвольной областивключающей в себя и (рис. 49), и применяя теорему Остроградского-Гаусса, получаем

Рис.49

где S - поверхность, ограничивающая объем V.

Соотношение (46) является интегральной формулировкой леммы Лоренца.

Распространим интегрирование в уравнении (46) на все пространство. При этом поверхность S уйдет в бесконечность. Не нарушая общности рассуждений, можно считать, что амплитуды векторов убывают с увеличением расстояния от источников быстрее, чем(см. теорему единственности). Тогда при левая часть уравнения (36) обратится в нуль. Учитывая, кроме того, что по предположению вектор плотности сторонних токовотличен от нуля только в объемеа вектор-только в объемеполучаем

(37)

В полученном выражении -вектор напряженности электрического поля, создаваемого в точках объематокамираспределенными в объеме, а- напряженность электрического поля, создаваемого в точках объематоками, протекающими в объеме

Соотношение (37) является одной из наиболее общих математических формулировок теоремы взаимности.

Выясним некоторые следствия, вытекающие из этой теоремы. Предположим, что объемы и и распределение токов в них совершенно одинаковы. В этом случае векторытакже будут одинаковыми. Например, пусть имеются две одинаковые антенны 1 и 2 с одинаковым распределением токов. Тогда вне зависимости от того, является ли разделяющее антенны пространство однородным или неоднородным, можно утверждать, что антенна 1 создает у антенны 2 такое же поле, какое антенна 2 создает у антенны 1.

На основе теоремы взаимности можно также доказать, что диаграмма направленности приемной антенны имеет такую же форму, какую она имела бы, если бы антенна работала в качестве передающей. Применение теоремы взаимности в ряде случаев позволяет существенно упростить решение электродинамических задач.

При доказательстве теоремы взаимности предполагалось, что среда, заполняющая рассматриваемое пространство, является линейной и изотропной. Предположим теперь, что среда, оставаясь линейной, является анизотропной. В этом случае параметры (оба или по крайней мере один из них) будут тензорами.

Тогда вместо уравнения (35).получаем

Теорема взаимности будет верна только в том случае, если выполняются равенства

Для этого необходимо, чтобыбылисимметричными тензорами Это условие выполняется для большинства кристаллических сред. Однако в случае гиротропных сред (например, ферритов) тензор является антисимметричным и разностьоказывается отличной от нуля. Поэтому для гиротропных сред теорема взаимности несправедлива.