книги / Решение нелинейных задач теории оболочек на ЭВМ

22.193я73

Г83

УДК 517,9(07)

Решение нелинейных задач теории оболочек на ЭВМ. Григоренко Я. Мм Мукоед А. П. — Киев} Вища школа. Головное изд-во, 1983.— 286 с.

Изложены методы решения на ЭВМ нелинейных краевых задач для систем обыкновенных дифферен­ циальных уравнений и дифференциальных уравне­ ний в частных производных применительно к исследованию деформации гибких пластин и оболо­ чек. Приведены основные сведения о напряженнодеформированном состоянии оболочек в геомет­ рически нелинейной постановке. Рассмотрены некоторые методы решения одномерных и двумер­ ных задач: сведения к задачам Коши и системе нелинейных алгебраических уравнений, линеариза­ ции, продолжения решения по параметру, асимптотического интегрирования; вариационные, сведения к одномерным задачам, конечных разно­ стей и конечных элементов. Освещаются вопросы реализации этих методов на ЭВМ и приводятся примеры решения конкретных задач.

Учебное пособие для студентов вузов, обучаю­ щихся по специальностям «Прикладная математика» и «Механика». Может быть использовано специа­ листами, занимающимися расчетами оболочечных конструкций.

Ил. 89. Табл. 32. Библиогр.: 86 назв.

Рецензенты: д-р техн. наук В. И. Гуляев (Киевский инженерно-строительный институт), д-р техн. наук Я. П. Флейшман (Львовский государственный университет).

Редакция литературы по кибернетике» электро­ нике и энергетике.

Зав. редакцией М, С. Хойнацкий

f 1502000000—239 ?6_ 8о М211(04)—83

Издательское объединение «Вища школа», 1983

ПРЕДИСЛОВИЕ

Вучебном пособии излагаются методы решения нелинейных краевых задач теории оболочек и пластин, описываемых обык­ новенными дифференциальными уравнениями и дифференци­ альными уравнениями в частных производных.

Воснову пособия положен материал курса, который в тече­ ние ряда лет авторы читают в Киевском государственном уни­ верситете на факультете кибернетики для студентов, специали­ зирующихся по прикладной математике.

Внекотором отношении настоящее издание является продолжением и развитием книги авторов «Решение задач тео­

рии оболочек на ЭВМ» [30]. В нем предпринимается попытка систематизированно изложить некоторые численные методы ре­ шения нелинейных одномерных и двумерных задач, которые применяются для расчета оболочек и пластин. Как отмечалось в книге [30], авторы придерживаются того мнения, что изуче­ ние и освоение методов решения на ЭВМ нелинейных задач, применяемых в механике сплошной среды, в частности в теории оболочек, является во многом необходимым и обязательным для математика-прикладника..

Авторы стремились изложить методы решения наиболее сложных задач теории оболочек и осветить более детально те аспекты их решения, с которыми приходится сталкиваться при реализации того или иного подхода на ЭВМ. Для оценки до­ стоверности получаемых решений используются, как это приня­ то в прикладной математике и механике, различные индуктив­ ные приемы [6].

Отзывы по содержанию книги авторы просят направлять по адресу: 252054, Киев-54, Гоголевская, 7, Головное издательство издательского объединения «Вища школа».

Тонкие оболочки и пластины широко применяются в качестве конструктивных элементов во многих отраслях современной техники, в частности 'в машиностроении. При этом наряду с жесткими оболочками в ряде конструкций используются гибкие оболочечные элементы.

Если деформация жестких оболочек описывается линейной краевой задачей, то для описания напряженно-деформированно­ го состояния гибких оболочек формулируется нелинейная крае­ вая задача в обыкновенных дифференциальных уравнениях и уравнениях в частных производных.

Для решения нелинейных краевых задач теории оболочек применяются различные численные методы, реализуемые на ЭВМ. Ряд задач теории оболочек можно описать непосредствен­ но системами нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, более сложные задачи описываются системами'диф­ ференциальных уравнений в частных производных. Изложению некоторых подходов к решению указанных классов задач для гибких оболочек на основе численных методов и посвящена на­ стоящая книга. Проводится анализ методов решения нелиней­ ных задач, исследуются некоторые особенности реализации их на ЭВМ и дается оценка достоверности получаемых результа­ тов. Все это может быть использовано при решений численными методами на ЭВМ и других классов физических или технических задач.

Первая глава содержит основные сведения по геометрически нелинейной теории упругости и теории тонких оболочек. В ней излагаются основные понятия, положения и уравнения, рас­ сматриваются некоторые варианты геометрически нелинейной теории тонких однослойных и слоистых анизотропных оболо­ чек переменной жесткости, указываются общие подходы к по­ становке и решению задач.

Во второй главе приводятся некоторые точные решения нелинейных задач теории гибких пластин и оболочек, получен­ ные различными аналитическими методами с использованием на отдельных этапах численной реализации. Эти решения име­ ют и самостоятельный интерес, и могут быть использованы в качестве эталонных для апробации различных численных ме­ тодов,

решения алгебраических систем уравнений применяются итера­ ционные методы. Сходимость итерационных процессов иллюст­ рируется конкретными примерами.

Девятая глава посвящена применению метода конечных элементов (МКЭ) к расчету тонкостенных конструкций, состав­ ленных из гибких пластин и оболочек. Показано, что для расчета гибких прямоугольных пластин используется совместный тре­ угольный элемент с 36 степенями свободы, а для расчета оболо­ чек вращения — криволинейный элемент. Перемещения в таком элементе представляются в виде рядов Фурье по окружной коор­ динате, коэффициенты рядов аппроксимируются полиномами первой степени относительно меридиональной координаты для тангенциальных перемещений и третьей степени — для прогиба. Излагается также подход, основанный на идее последовательных нагружений. Приводятся методы решения нелинейных алгебраи­ ческих систем. Указываются особенности применения этих мето­ дов, их преимущества и недостатки, Материал иллюстрируется конкретными примерами.

ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК

1.ИСХОДНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ

ИУРАВНЕНИЯ ДЕФОРМАЦИИ УПРУГИХ ТЕЛ

Основной задачей теории упругости является определение де­ формаций и напряжений, возникающих в идеально упругих сплош­ ных твердых телах под действием заданных внешних усилий и при определенных условиях закрепления [50, 51, 57, 59].

Под свойством идеальной упругости деформируемого тела по­ нимают следующее: после удаления приложенных внешних сил тело возвращается в исходное Состояние, которое называется его естественным состоянием. При этом тело возвращает полностью» всю работу, затраченную на его деформацию. Под свойством сплошности тела понимают способность заполнить весь объем, за­ нимаемый материалом тела, без всяких пустот.

Линейная классическая теория упругости базируется на пред­ положении о линейной зависимости между всеми искомыми вели­ чинами: перемещениями, деформациями, напряжениями и их про­ изводными, а также на предположении о том, что точки тела получают весьма малые перемещения по сравнению с его разме­ рами. Если хотя бы одна зависимость между указанными вели­ чинами нелинейна, то теория упругости называется нелинейной теорией. Различают геометрически нелинейную теорию, по кото­ рой соотношения между деформациями и перемещениями нелилинейны, и физически нелинейную теорию, по которой соотно­ шения между напряжениями и деформациями нелинейны. Ниже будем рассматривать только геометрически нелинейные задачи.

Как известно, однородным называют тело, упругие свойства материала которого одинаковы бо всех его точках. Тело, не об­ ладающее этим свойством, называется неоднородным. Соответст­ венно, изотропным называют тело, упругие свойства которого в каждой точке не зависят от направления. В противном случае тело называют анизотропным.

Запишем основные уравнения деформации упругих тел в кри­ волинейных ортогональных координатах, но прежде приведем не­ которые сведения о последних.

Положение произвольной точки М в пространстве трех из­ мерений может быть определено с помощью трех чисел, которые при определенных условиях могут рассматриваться как ее про­ странственные координаты а, (3, -р Частным случаем являются прямолинейные ортогональные декартовы координаты х, у, г.

э

отдельных особых точек, также имеют место обратные зависимости:

z f

Рис. 1.1

Через каждую точку пространства проходит по одной поверхно­ сти каждого семейства (рис. 1.1). Координатные поверхности пе­

линией второго семейства лишь в одной точке, то говорят, что на поверхности задана координатная сеть. Пусть линии первого семейства, образующие координатную сеть, определяются значе­