книги / Оптимизация процессов технологии металлов методами планирования экспериментов

Для решения системы (3.82) необходимо задать значения X.

Их выбор определяется постановкой задачи. При поиске макси­ мума рекомендуется брать X больше максимального положитель­ ного канонического коэффициента. При поиске минимума X берут

меньше минимального отрицательного канонического коэффи­ циента.

При каждом выбранном значении X решением системы (3.82) на сфере радиуса R , описанной вокруг центра эксперимента, будет определяться точка с координатами x h в которой отклик

имеет условный экстремум. Радиус сферы можно рассчитать по формуле

Все или часть полученных условий опытов реализуются экс­ периментально.

Отметим, что особенностью указанного метода является воз­ можность применения его без приведения квадратичного урав­ нение к каноническому виду. Тогда X выбирают подбором.

Покажем использование ридж-анализа в рассматриваемом при­ мере. В данном случае система (3.82) имеет вид

рассчитывали величину отклика в некоторых опытах; с учетом значений уровней факторов (см. табл. 3.10) определяли, округ­ ляя, условия опытов в натуральном масштабе; по формуле (3.83) рассчитывали радиусы сфер. Все эти расчеты сведены в табл. 3.36.

Условия первого опыта физически абсурдны, так как темпе­ ратура закалки оказывается выше солидуса сплава, а время ста­ рения — отрицательной величиной. Второй опыт все еще слишком удален от той области, для которой построена модель. Опыты 5— 8

не представляют интереса, поскольку лежат в изученной области и для них ожидается значение отклика меньше уже достигнутого (см. табл. 3.11). Поэтому реализовали опыты 3 и 4. Режимы за­ калки и старения, использовавшиеся в этих опытах, позволили заметно повысить время до разрушения изученного никелевого

271

то xitxi либо находится вне зоны эксперимента, либо проходит через ее границы \ х £ \ = 1 .

Втабл. 3.88 указаны возможные решения при поиске экстре­ мума (x/ext) в зависимости от постановки задачи и соотношения знаков при коэффициентах модели.

Врезультате получается следующая схема оптимизации по квадратичной модели.

и Ъ£(при поиске максимума) или обратный (при поиске минимума).

Построить новую модель. Повторять этап до тех пор, пока указан­ ные в нем условия не перестанут выполняться.

Э т а п В. Для всех хь для которых из модели предыдущего этапа Ьи < 0 (при поиске максимума) или Ьи > 0 (при поиске минимума) и выполняется условие | Ь{| + 2 I Ьц | < 2 | Ьи |, под­

считать по формуле (3.87) x( ext и ввести его в модель. Записать но­ вую модель. Вновь повторять этапы Б, а затем этапы В, пока указанные в них условия не перестанут выполняться.

274

новые модели. Если указанная ситуация имеет место для не­ скольких *,-, имеет смысл проводить расщепление модели по каж­ дой переменной.

Если в моделях предыдущего этапа осталось более двух фак­ торов, для каждой из них последовательно повторить этапы А—Г. Делать это до тех пор, пока модель не станет двухили однофак­ торной.

Э т а п Д. Если последняя модель — двухфакторная, опти­ мальные значения x t можно искать графическим способом, по­

строив двумерные сечения поверхности отклика, но можно про­ должить процедуру до получения однофакторной. Для однофак­ торной модели решение по выбору оптимального значения фактора выбирают по схеме, указанной в табл. 3.37. По этой же схеме про­ водят анализ и в случае, когда двухфакторная модель не содержит парных взаимодействий. Если последняя модель линейна, то х £ =

=1 при поиске максимума и х £ — — 1 при поиске минимума.

Проиллюстрируем описанный способ примерами.

В разделе 3.4 было получено уравнение (3.62), связывающее содержание водорода в сплаве АЛ9 с условиями его дегазации* Далее, это уравнение проанализировали с целью поиска в изучен­ ной области условий дегазации, обеспечивающих возможно мень­ шее содержание водорода в сплаве. Поиск осуществляли по ука­ занной выше схеме.

+0,016халг5 — 0,091**.

Эт а п Б. Поскольку нужно найти минимум, рассмотрели *ь

276

Э т а п Г. Здесь необходимо выбрать xt с Ъи с 0, для которых

IM < 2 141-

Коэффициенты bh btl и суммы S I Ьц | для модели (3.90) по сравнению с исходной, кроме Ьъ Ьп и 2 I Ьц I. не изменились. Для Хх из модели (3.90):

Ьп = 0 и | &! | = 10,0361< 10,0611=

Следовательно, модель (3.90) необходимо расщепить и сделать это можно по любому из факторов. Расщепили (3.90) по фактору хг. При хг = — 1 модель имеет вид

у = 0,438 + 0,078х2 - 0,009*з - 0,012 *а +

Кроме того, на этапе Г расщепляли модель (3.90) и по другим факторам. Однако получавшиеся режимы не давали лучших ре­ зультатов, по сравнению с двумя выбранными по описанной схеме.

Итак, в изученной области факторного пространства есть, по крайней мере, два режима, которые должны обеспечивать малое

276

содержание водорода после дегазации сплава АЛ 19. Их коорди­ наты (в кодовом масштабе):

Оба эти режима уже были реализованы в матрице планирова­ ния (см. табл. 3.15, опыты соответственно 5 и 4). Режим II дей­ ствительно дал лучшие результаты. Очевидно, что в изученной области изменения факторов большей степени дегазации достичь нельзя.

В разделе 3.7 было получено уравнение (3.69), связывающее магнитные свойства сплава 6 8 НМП с условиями его термической

обработки. Покажем, как с помощью рассматриваемого метода искали режим обработки, обеспечивающий возможно более вы­ сокий комплексный показатель качества сплава по магнитным свойствам.

Выполнили этапы анализа в следующей последовательности. Э т а п А. Уравнение имеет вид

Требуемое условие выполняется только для фактора *1( и, поскольку Ьг — отрицательная величина, выбрали хг = — 1 .

После подстановки в модель получили новое уравнение:

у = о,329 - 0,041*2 - 0,009*3 - 0,041*4 - 0,004х2х3 +

+ 0,024*2*4 + 0,011ХзХ4 - 0,010*1 + 0,025*| - O.OlOxJ. (3.95)

Так как изменилось значение коэффициента Ьв и не стало коэффициента Ь13у для модели (3.95) еще раз проверили условие

поэтому перешли к этапу Г.

277

поэтому модель (3.95) расщепили на две по фактору х3. При х3 =

=2 |fc22|, поэтому выбрали х2 = — 1 .

Итак, анализ модели (3.69) показал, что в изученной области существуют, по крайней мере, два режима обработки, приводящие к высокому уровню магнитных свойств сплава 6 8 НМП. Оба ре­

жима предусматривают проведение первого отжига при темпера­ туре 1150° С (*! — — 1), второго отжига в магнитном поле напря­ женностью 1193,6 А/м (х2 = — 1) в течение 30 мин (л:4 = — 1).

Кроме того, по первому режиму температура отжига в магнитном поле должна быть 650° С, по второму 600° С. Обобщенная функ­ ция желательности в первом случае по расчету должна быть 0,424, во втором 0,456.

Первый режим уже был реализован в матрице планирования (опыт 8 в табл. 3.34) и действительно оказался лучшим (у = 0,43,

что очень близко к расчету). Второй режим проверили экспери-

2 7 8

Рис. 3.3. Зависимость твердо­ сти по Виккерсу поверхно­ стных слоев стали 40ХФА от температуры предварительного отжига (х 3) и азотирования (х 4)

у = 0,48 было лучшим из

всех проведенных опытов. Достаточно часто поль­ зуются графическими спо­ собами анализа получен­ ных моделей. Обычно строят двумерные сечения

поверхностей отклика, соответствующие^пересечению пространст­ венной фигуры с плоскостями X;=const. Для этого в уравнение под­ ставляют значения всех факторов, кроме любых двух, и по получен­ ным двухфакторным уравнениям вначале рассчитывают, а затем проводят изолинии равных значений отклика. Анализ серий сече­ ний дает наглядное представление о характере изменения отклика при варьировании факторов, позволяет находить компромиссные решения при наличии нескольких параметров оптимизации и т. д. (см., например, [37]).

Один из примеров такого анализа уже был приведен в 2.5.8. Рассмотрим еще один пример. В разделе 3.7 было получено урав­ нение (3.64), связывающее твердость поверхностных слоев стали 40ХФА с температурами предварительной термической обработки и азотирования:

у = 914,8 - 23,8л*4 - 25,8*8*4 - 22,2х\ - 41** - 33,2* 2 - 26,5*“.

Анализ модели показывает, что оптимальными температурами закалки и отпуска, обеспечивающими возможно более высокую твердость, являются значения этих факторов на основных уров­ нях (см. табл. 3.22): хг = 0; Х г — 900° С; * 2 = 0; Х2 = 650° С. Действительно, в модели (3.64) отсутствуют коэффициенты Ьх и b2j а также эффекты взаимодействий этих факторов как между

собой, так и с остальными. В то же время в модели есть коэффи­ циенты Ьп и 6 22, причем величины их отрицательные. Поэтому вве­ дение в модель значений факторов на уровнях *х — * 2 = ± 1

всегда будет приводить к снижению твердости, а отсюда их опти­ мальными уровнями являются = * 2 = 0 .

Уровни хг — * 2 = 0 ввели в модель (3.64). Получили уравне­

ние, связывающее твердость только с температурами стабилизи­ рующего отжига (*3) и азотирования (*4):

279