книги / Оптимизация процессов технологии металлов методами планирования экспериментов

Т а б л и ц а 3.27. Способ построения насыщенных планов

Рехтшафнера

251

в табл, 3.29 они сравниваются между собой по приведенной ве­

личине определителя | М-11, минимум которого имеет место для идеальных D -оптимальных планов [28].

планов на кубе. Эти планы выбирают из множеств точек, указан­ ных в табл. 3.30.

Значения %и р для планов разных размерностей Бокс и Дрей­

пер получили из критерия D -оптимальности, максимизируя опре­ делитель информационной матрицы | ХТХ |. Полученные величины

252

тельные матрицы для расчета коэффициентов). Планы для двух и трех факторов практически совпадают с планами Бокса и Дрей­

Расчет коэффициентов моделей после реализации насыщенных D -оптимальных планов в общем случае ведут по формуле (2.16).

В заключение приведем пример применения плана Хартли. Изучали влияние режимов термомагнитной обработки на магнит­ ные свойства магнитомягкого никельмолибденового сплава 68НМП. Особенностью сплава является наличие у него прямо­ угольной петли гистерезиса. Прямоугольность петли связана с кристаллографической текстурой и обеспечивается специальной технологией прокатки и термической обработки ленты. После прокатки, проведенной во всех случаях по одинаковому режиму, ленту толщиной 0,10 мм подвергали термической обработке, вклю-

263

чающей два отжига. Первый отжиг проводили в атмосфере водо­ рода, второй — в магнитном поле. Факторами являлись темпе­ ратура первого отжига (Хх), напряженность магнитного поля во время второго отжига (Х2), температура (Х3) и время (Х4) второго отжига.

От сплава требовался комплекс магнитных свойств. Поэтому после каждого режима обработки измеряли разнообразные ма­ гнитные свойства, а затем по методике, описанной в п. 1.1.2, составляли комплексный показатель качества — обобщенную функ­ цию желательности, включающую коэффициент прямоугольности петли гистерезиса, магнитную проницаемость и индукцию насы­ щения. Эта функция желательности D и служила в данном слу­ чае зависимой переменной у . Напомним, комплекс свойств тем

выше, чем больше D. Выбранные факторы и уровни их варьирова­ ния указаны в табл. 3.33.

Было решено провести эксперимент вблизи известного режима термической обработки сплава 68НМП. Именно этот режим, по данным [69], и выбрали в качестве основного уровня (табл. 3.33). В связи с этим следовало ожидать нелинейного характера функции отклика в изучаемой области факторного пространства. Поэтому решили строить сразу квадратичную модель (3.3) и воспользо­ ваться для этого почти насыщенным планом Хартли. Выбрали план Хартли на кубе (план 5, табл. 3.25) со звездным плечом а — ± 1 . В этом случае требовалось варьировать факторы на трех

уровнях (0; ^-1). План Хартли на сфере (например, план 3, табл. 3.25) имеет а = ZL2, а следовательно, требует пяти уровней

варьирования факторов (0; =£1; ^ 2).-В данной задаче иметь много уровней факторов с технологической точки зрения было не­ удобно. Этим, собственно, и объяснялся выбор плана на кубе.

Ядром выбранного плана Хартли является полуреплика 24-1 с определяющим контрастом 1 = хгх2х9. Поэтому оценки коэф­ фициентов Ьъ Ь2, b3f b12, Ь13, Ь23 модели (3.3) будут закоррелированы между собой. Оценки коэффициентов Ь4, Ь14, Ь%4 и Ьи будут

264

оцениваться независимо не только друг от друга, но и от осталь­ ных коэффициентов. Коэффициенты bQ и Ьи также коррелируют

между собой. Матрица выбранного плана приведена в табл. 3.34. Заданные планом опыты были выполнены. Кроме варьируемых факторов, все остальные поддерживали на постоянных уровнях. В частности, скорость охлаждения образцов после первого от­ жига всегда выдерживали 100—200°С/ч до температуры 600° С, а затем 400° С/ч; после второго отжига — до температуры 200° С

По результатам опытов коэффициенты регрессии считали следующим образом. Оценки коэффициентов Ь0 и Ьи получили по

формулам (3.65):

оценки коэффициентов для фактора х4, не входящего в трех­ буквенный определяющий контраст, по формулам (3.66):

Ь4 = —0,041; Ьи = —0,004; Ь2А = 0,024; Ьи = 0,011;

265

оценки коэффициентов для факторов х ъ х 2, х 3, образующих трех­ буквенный определяющий контраст, по формулам (3.67):

Дисперсии, среднеквадратичные ошибки и ковариации опре­ деляли также для разных групп коэффициентов по формулам (3.68):

Рассчитанные затем по формуле (2.90) доверительные интер­

ниями коэффициентов регрессии показало, что многие из коэф­ фициентов статистически незначимы. Однако исключить из мо­ дели в данном случае можно только коэффициенты, связанные с фактором *4 (кроме Ь44). Только он не входит в определяющий контраст. Исключение остальных коэффициентов требует пере­ счета оставшихся. Поэтому из модели исключили только стати­

256

X 10-4/ 1 *10 4 = 3,44. Оно оказалось меньше табличного при

5%-ном уровне значимости /?оГо5?4 ;8 = 3,84. Таким образом, ги­

потеза об адекватности модели (3.69) не отвергается. Результаты оптимизации режима обработки сплава 6 8 НМП

приведены в разделе 3.8.

3.8. АНАЛИЗ МОДЕЛЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Планирование второго порядка заканчивается отысканием адекватного квадратичного уравнения типа (3.3):

у = Ьо~\~ bLXi + 2 J bijX[Xj "p \ j baxj.

Часть членов, признанных статистически незначимыми, может в этом уравнении отсутствовать. Естественно далее проанализи­ ровать полученную модель, т. е. представить себе характер из­ менения отклика в изученной области, а при решении экстремаль­ ной задачи — попытаться выяснить, существует ли экстремум, и если он есть, найти его координаты. Однако анализировать урав­ нение второй степени в форме (3.3) хотя и можно, но сложно. Обычно его преобразовывают к так называемому каноническому (стандартному) виду.

Каноническое преобразование заключается в выборе новой системы координат, в которой значительно облегчается геометри­ ческий анализ уравнения. Такого рода преобразование сводится к определению центра поверхности второго порядка (разумеется, если он существует), переносу начала координат в новый центр

где у5 — значение отклика в новом начале координат (свободный член канонического уравнения); X t — новые оси координат, по­

вернутые в факторном пространстве на некоторый угол относи­ тельно старых осей (х;) и линейно связанные с ними; Ви — коэф­

фициенты уравнения в канонической форме (их часто называют каноническими коэффициентами).

Удобство формы (3.70) для анализа и оптимизации определяется тем, что все Х ( входят в нее в квадратах. Следовательно,

изменение значений отклика зависит только от знака коэффици­ ента и не зависит от направления движения по оси X t от центра s.

В частности, у будет возрастать всегда, когда изменяется X h имеющий при себе коэффициент B it > 0, и уменьшаться в случае,

когда у Х ( стоит коэффициент В и < 0 .

ности s лежит в области эксперимента, то возможны следующие

2)все В п > 0, тогда движение в любую сторону от центра

увеличивает отклик;

3)часть Вн < 0, часть В п > 0, тогда для увеличения отклика

следует осуществлять движение из центра таким образом, чтобы

значения X t для коэффициентов с отрицательным знаком равня­ лись нулю, т. е. искать экстремум вдоль осей с В и > 0; наоборот,

для уменьшения параметра оптимизации следует двигаться только вдоль осей с В И < 0 .

Геометрический образ квадратичного уравнения в канониче­ ской форме можно представить себе в виде изолиний поверхности

+В22Х* могут представлять собой следующие фигуры:

Эл л и п с ы (рис. 3.1, а). Оба коэффициента В п и В22 имеют

одинаковые знаки. Центр эллипсов s является максимумом, если Вп и В22 отрицательны, и минимумом, если Вп и В22 положи­ тельны. Если В22 по абсолютной величине меньше В1Ъ то эллипсы

вытянуты по оси Х 2, и наоборот. Поверхность отклика является

эллиптическим параболоидом. В этом случае для поиска экстре­ мума достаточно поставить эксперименты в центре фигуры s и проверить, насколько хорошо значение отклика, предсказанное уравнением регрессии, совпадает с экспериментом.

Г и п е р б о л ы (рис. 3.1, б). Коэффициенты Вп и В22 имеют

разные знаки. Гиперболы вытянуты по той оси, которой соответ­ ствует меньшее по абсолютной величине значение коэффициента в каноническом уравнении. В этом случае значение отклика уве­ личивается при движении из центра фигуры по одной оси и умень­

268

ваться при движении из центра s в направлении + Х г и — Хг

и уменьшаться при движении в направлении + Х 2 и —Х 2. Центр 5 фигуры называется седлом или минимаксом. Поверхность от­

клика является гиперболическим параболоидом. Здесь направле­ ние движения выбирают в зависимости от того, чего необходимо достичь — максимума или минимума. Как и при крутом восхо­ ждении, можно наметить серию мысленных опытов, часть из ко­ торых можно реализовать.

П а р а л л е л ь н ы е п р я м ы е (рис. 3.1, в). Один из коэф­

фициентов канонического уравнения равен нулю, при этом нет одного центра с экстремальным значением отклика. Под определе­ ние центра здесь подходит любая точка на оси, соответствующей незначимому коэффициенту канонического уравнения. Поверх­ ность отклика является стационарным возвышением.

П а р а б о л ы (рис. 3.1, г). Один из коэффициентов канони­ ческого уравнения равен нулю, при этом центр фигуры находится в бесконечности. Поверхность отклика является возрастающим возвышением (гребнем). В этом случае можно поместить начало координат в какую-либо точку (обычно вблизи центра экспери­ мента) на оси, соответствующей незначимому коэффициенту ка­ нонического уравнения, и ^получить таким образом уравнение параболы. Например, если равен нулю В22, то выбрав новый

центр s', можно получить уравнение параболы у — yS' = ВиХ* +

+ В2Х 2, где В2 — коэффициент, определяющий крутизну наклона

возвышения, т. е. скорость увеличения параметра оптимизации по оси Х 2. В практических задачах часто центр фигуры s удален за

пределы той области, где проводился эксперимент, и тогда один

мироваться либо стационарным, либо возрастающим возвыше­ нием.

Аналогично можно проводить анализ канонических уравне-

ний типа у — ys = ВиХ{ + В22Х\ + ВгъХ\ при числе факторов к 3 (рис. 3.2). Например, если все коэффициенты имеют одина­

ковые знаки, поверхность отклика представляет собой эллипсоид вращения (рис. 3.2, а) и имеет экстремум в центре эллипсоида.

Если знак одного из коэффициентов противоположен знаку двух других, имеет место одноили двухполостной гиперболоид (соот­ ветственно рис. 3,2, б и б). При близости одного из коэффициентов

канонического уравнения к нулю поверхность отклика может быть либо эллиптическим цилиндром (рис. 3 .2 , г), если остальные

два коэффициента имеют одинаковые знаки, либо гиперболиче­ ским цилиндром (рис..3.2, д), если знаки оставшихся коэффициен­

тов разные. В случае эллиптического цилиндра ось, соответствую­ щая незначимому коэффициенту, является линией максимума, удаление от которой в любом направлении связано с уменьшением

k = 3

параметра оптимизации (стационарное возвышение). В этом же случае близости нулю одного из коэффициентов канонического уравнения поверхность отклика может также являться эллипти­ ческим или гиперболическим параболоидом (соответственно рис. 3.2, е и ж). В случае эллиптического параболоида (рис. 3.2, ё)

центр фигуры находится в бесконечности. Помещая начало коор­ динат в какую-либо новую точку s' на оси, соответствующей не­ значимому коэффициенту (например, если В22 — 0, то новый центр

выбирают на оси Х2), можно получить уравнение

У — Us' = В\\Х2\-f- 633X3 -f- 62X2,

коэффициент 6 2 которого является мерой наклона возрастающего

возвышения по оси Х2. Наконец, если два коэффициента канониче­ ского уравнения равны нулю, то поверхность отклика представ­ ляет собой либо серию параллельных плоскостей (рис. 3.2, з), причем одна из этих плоскостей отвечает наибольшей величине параметра оптимизации и с удалением от нее параметр снижается, либо имеет вид параболического цилиндра (рис. 3.2, и).

Итак, все многомерные поверхности отклика можно грубо раз­ бить на три класса:

1 ) поверхности, имеющие экстремум — максимум или мини­ мум (рис. 3.1, а\ 3,2, а)\ в этом случае все коэффициенты канони­

ческого уравнения имеют одинаковые знаки, центр фигуры на­ ходится вблизи центра эксперимента;

2)поверхности типа минимакса (рис. 3.1, б, 3.2, б, в)\ коэф­

фициенты канонического уравнения имеют разные знаки, центр фигуры находится вблизи центра эксперимента;

3)поверхности типа возрастающего возвышения или гребня (рис. 3.1, в, г; 3,2, г — и)\ часть коэффициентов канонического

уравнения близка к нулю, центр фигуры удален от центра экспе­ римента.

260