книги / Оптимизация процессов технологии металлов методами планирования экспериментов

от нуля. Поэтому исключение любого из этих коэффициентов требует пересчета остальных в данной группе. Новые значения коэффициентов 60, Ьи и их дисперсий теперь уже следует считать

по формуле (2.16).

Проверка адекватности полученного уравнения регрессии про­ водится по методике, описанной в разделе 2.4.

Рассмотрим пример применения симметричного композицион­ ного ротатабельного униформ-плана второго порядка.

Для одного из жаропрочных никелевых сплавов требовалось выбрать температуры закалки (Хх), старения (Х2) и время ста­ рения (X s), обеспечивающие возможно более длительное время до разрушения (у) при температуре 850° С и напряжений 0,49 ГПа

(50 кгс/мм2). Выбранные факторы, их интервалы варьирования

иустановленные уровни указаны в табл. 3.10.

Та б л и ц а 3.10. Уровни варьирования факторов

Прежде всего реализован полный факторный эксперимент 23, состоящий из восьми опытов (табл. 3.11, опыты 1—8). Эти опыты не дублировали, а для оценки дисперсии опыта выполнили и 6 раз повторили опыт в центре плана (табл. 3.11, опыты 15—20). Число дублей центрального опыта выбрали с учетом возможного в дальнейшем перехода к планированию второго порядка для построения модели (3.3). Результаты определения времени до разрушения для разных вариантов термической обработки при­ ведены также в табл. 3.11.

По результатам опытов на основном уровне (табл. 3.11, опыты 15—20) по формуле (2.69) оценили дисперсию опыта. Оказалось,

Дисперсия в определении этих коэффициентов, рассчитанная по формуле (2.28), 5^ =* S*/N ** 0,58/8 * 0,0725, соответственно,

221

Т а б л и ц а 3.11. Симметричный композиционный ротатабельный униформплан второго порядка

Sb. = 0,2693. При а = 0,05 и — 5 табличное значение /-кри­ терия /о,05; s — 2,57, поэтому по формуле (2.90) А*,. = 2,57 X

X 0,2693 = 0,6921. Следовательно, статистически незначимым является лишь коэффициент Ь123.

Значимость коэффициентов Ь12, Ь13 и Ь23 при квадратичных членах хгх2, xtx3 и х2х3 уже свидетельствует о необходимости по­

строения в данном случае модели, более сложной, чем линейная.

222

Тем не менее, проверили адекватность линейной части полученного уравнения. Делали это по ^-критерию, оценив значимость разли­ чия между Ь0 и средним результатам опыта в центре плана. В дан­ ном случае у 0 — 29,0; Ь0 = 19,525; N — 8; Sy — 0,76. Поэтому

по формуле (2.93)

^расч_ 119,525 — 29,01V 8 _20

модели неадекватна, коэффициенты при квадратичных членах xj должны значимо отличаться от нуля.

В этой ситуации было принято решение построить модель второго порядка, для чего перейти к центральному композицион­ ному ротатабельному униформ-плану второго порядка.

Так как уже были выполнены опыты ядра плана (23) и в центре (п0 = 6), осталось реализовать опыты в звездных точках. Звездное плечо в данном случае а = ±1,682 (см. табл. 3.8), звездные точки указаны в табл. 3.11 (опыты 9— 14), и вся эта таблица теперь представляет собой матрицу центрального композиционного ротатабельного плана второго порядка с N — 23 + 2-3 + 6 = 20

опытами.

По результатам всех реализованных опытов, пользуясь кон­ стантами с,, приведенными в табл. 3.9, последовательно рассчи­ тали вначале все коэффициенты модели (3.3) по формулам (3.56),

223

Таким образом, при 5%-ном уровне значимости все коэффи­ циенты можно признать статистически значимыми.

Окончательно модель второго порядка имеет вид

у = 29,0 + 7,34*1 -|- 4,92*2 — 1,21*а

+ 4,30*,* 2 - 6,78*,*3 + 2,05*2*3 “ 1>80*i - 3,99*2 - 3,59х*, (3.58)

где x t — в кодированном масштабе, связанные с натуральными значениями факторов X t соотношениями (1.24):

Адекватность модели (3.58) проверяли по /^-критерию. По­ скольку дублировали только один опыт (в центре), сумму ква­ дратов, связанную с дисперсией неадекватности (5Slieafl), счи­ тали по формуле (2.101), которая в данном случае имеет вид

а число степеней свободы f — N — k’ — 1, так как для подсчета

— 20 — 10 — 1 = 9 и по формуле (2.96) 5£еад = 6,86/9 — 0,76. Расчетное значение F-критерия (по 2.95) Ерасч = 0,76/0,58 = = 1,31, что меньше табличного при 5%-ном уровне значимости

(FoT.ao65a 9; 5 = 4,78) и свидетельствует об адекватности полученной

модели. Анализ модели приведен в разделе 3.8.

3.4. СИММЕТРИЧНЫЕ КОМПОЗИЦИОННЫЕ ПЛАНЫ ТИПА 5*

Выбор звездного плеча а и числа центральных опытов в рас­ смотренных выше планах определялся условиями ротатабельности или ортогональности. Эти критерии вполне разумны, но не являются единственно возможными. Как уже отмечалось в гл. 2, в современной математической теории эксперимента рассматри­ вается значительно большее число критериев оптимальности. Можно, например, потребовать, чтобы план обеспечивал получе­ ние наименьшего объема эллипсоида рассеяния оценок коэффи­ циентов (D-оптимальность); их минимальной средней дисперсии (А-оптимальность); минимума максимальной дисперсии оценок коэффициентов; минимума максимальной (G-оптимальность) или средней (Q-оптимальность) дисперсии предсказания значений отклика в заданной области факторного пространства; максималь­ ной точности оценки координат экстремума и др. Все эти крите-

224

рии определяются главным образом строением и свойствами

информационной матрицы М = 1/N ( \ ТХ) или, что то же самое,

матрицы М \

Одним из наиболее сильных был признан критерий D -оптималь­ ности [26, 146]. D -оптимальными являются планы, имеющие мак­ симальное значение определителя матрицы М или минимальное — матрицы 1VT1. Для выбора планов, отвечающих этому критерию, в работах [137— 139] было введено понятие н е п р ер ы в н о го п л а н а .

В этом случае рассматривается не дискретное распределение за­ данного числа опытов по отдельным экспериментальным точкам, а некоторая непрерывная функция, определяющая частоту наблю­ дений в точках плана. Поскольку эта частота может принимать любые значения между нулем и единицей, непрерывный план в общем случае не содержит конечного числа точек. По сути дела непрерывный план определяет непрерывное распределение «экспе­ риментальных усилий», принимаемых за единицу, по исследуемой области факторного пространства. Однако в дальнейшем было показано, что при некоторых ограничениях почти всегда можно составить непрерывные D -оптимальные планы с конечным числом точек. К сожалению, для того чтобы точно соблюсти требуемое D -оптимальностью распределение наблюдений по точкам плана, как правило, приходится назначать очень большое число опытов. В связи с этим были решены задачи аппроксимации непрерыв­ ных D -оптимальных планов точными планами, содержащими разумное число опытов и в то же время возможно меньше отли­ чающимися от непрерывных планов по D -оптимальности.

В частности, анализ непрерывных симметричных планов вто­ рого порядка [26] показал, что максимальное значение опреде­ лителя информационной матрицы (3.14), а потому и D -оптималь- ность, достигаются в том случае, когда моменты плана соответ­ ственно равны:

При этом оказалось, что условие (3.61) выполняется в том слу­ чае, когда план содержит только точки с координатами 0 и i l .

Так были составлены симметричные композиционные планы типа B k [9 3, состоящие, как и всякие композиционные планы,

из ядра и звездных точек, но звездные плечи которых, для выпол­ нения условия (3.61), были приняты а = 1,0. Опытов в центре такие планы не содержат. Их характеристики приведены в табл. 3.12. В этой же таблице по данным [76] указаны значения

так называемых приведенных определителей | М-11 для планов

8 Новик Ф. С ., Арсов Я. Б. 225

Т а б л и ц а 3.12. Симметричные композиционные планы типа Вк

.D-оптимальных и В к. Хорошо видно, что планы В к мало отли­ чаются от идеальных D -оптимальных.

После реализации планов типа В к, как и в случае любого сим­

метричного плана второго порядка, расчет коэффициентов модели (3.3) проводят по формулам (3.19) или (3.20), а расчет дисперсий коэффициентов и их ковариации — по формулам (3.21).

Для облегчения расчетов можно пользоваться и формулами (3.56) и (3.57). Вспомогательные константы cit входящие в эти

формулы, для рассматриваемых планов приведены в табл. 3.13.

формуле (2.90) доверительных интервалов для этих коэффициен­ тов и проверки по (2.91) их статистической значимости исключение

226

П р и м е ч а н и е . Во всех случаях с6 0,50

Рассмотрим пример применения симметричного композицион­ ного плана второго порядка типа B k,

Изучали содержание водорода (у) в сплаве АЛ9 во время рафи­

нирования его в плавильных печах. Дегазацию осуществляли введением в расплав гексахлорэтана с последующим пропуска­ нием постоянного электрического тока. Независимыми перемен­ ными служили количество вводимого гексахлорэтана (Х г), сила

тока, пропускаемого через расплав (Х2), время пропускания тока (Х3), температура обработки током (Х4), температура заливки (X5). Общее время дегазации составляло 40—50 мин. Содержание во­ дорода (в см3/100 г) определяли методом вакуумплавления при температуре 660° С. Продолжительность выделения и собирания газов не превышала 20 мин. По результатам параллельных изме­ рений в контрольных опытах установлено, что дисперсия опыта

На первом этапе реализовали план дробного факторного экспе­ римента 25_1с определяющим контрастом 1 = хгхгх3х^хъ (табл. 3.15,

опыты 1— 16). Опыты не дублировали, их результаты приведены также в табл. 3.15. Выбранная реплика позволяет оценить неза­ висимо друг от друга линейные эффекты и все парные эффекты взаимодействий. Расчеты по формуле (2.12) дали следующие оценки коэффициентов регрессии:

Дисперсия в определении этих коэффициентов, рассчитанная по формуле (2.28), = S 2y/N = 6,25* 10'4/16 = 3,906* 1(Г5, со­

ответственно Sbt = 6,25* 10"3. При а — 0,05 и = 9 табличное

228