книги / Оптимизация процессов технологии металлов методами планирования экспериментов

В случае поверхностей первого класса после постановки опы­ тов в центре (минимуме или максимуме) соответствующей фигуры и получения экспериментальных данных, близких к расчетным, решение задачи заканчивается.

Сложнее ситуация, когда поверхность отклика относится ко второму и третьему классам. Здесь приходится искать условный экстремум, причем либо в той области факторного пространства, где проводились эксперименты, либо при некоторой разумной экстраполяции (см. примеры ниже).

Расчеты по каноническому анализу квадратичного уравнения обычно выполняют на ЭВМ, но для задач с двумя-четырьмя фак­ торами их можно проводить и с помощью ЭКВМ.

Процедура канонического преобразования модели (3.3) со­ стоит из следующих этапов.

1 . Определение координат центра поверхности второго порядка (xls, x2s, x iSf ...» xks) решением системы линейных уравнений, получающихся после приравнивания нулю первой производной у

В последнем случае новый центр помещают либо в старое начало координат, либо в точку с лучшим значением отклика.

2. Определение значения отклика в новом центре (ys) — полу­

чение свободного члена канонического уравнения. Для этого рас­

ния (3.72). Проверку правильности расчетов осуществляют по

261

Xk = COS 0)1X | - |- COS (02 X 2 + * * • + COS<Of. X t- - ) - • • • + COS <*>AX A-|-AAs,

где ЬЧ= Ь И.

Система (3.77) является системой однородных линейных урав­ нений. В случае, когда ее главный определитель не равен нулю, все неизвестные системы (//, mh ..., uh ..., v£) равны нулю. По­

этому, чтобы получить решение системы (3.77), значением одной из неизвестных следует задаться произвольно. Тогда в си­ стеме (3.77) останется на одну неизвестную меньше при том же числе уравнений. Такую оставшуюся систему следует решать по формуле (2.16).

Правильность вычислений при определении направляющих косинусов можно проверить по формуле

cos2 а / -f cos2 Р/ 4- • •. 4 - cos2 v£- + . • • + cos2 (o£= 1. (3.78)

Рассмотрим несколько примеров.

263

В разделе 3.5 было получено уравнение (3.63), связывающее разгаростойкость ферритных высокопрочных чугунов с их соста­ вом:

у = 850 + 75xj — 156,Зх2 — 106,З*3 + 100*2 х3 — 62,5** —

- 75* 2 - 75х3.

Это уравнение привели к каноническому виду.

Взяли частные производные функции (3.63) по независимым переменным и приравняли их нулю. В результате получили си­

не равен нулю, следовательно, изучаемая поверхность отклика имеет центр. Решили систему с помощью определителей и нашли координаты центра:

Подстановка xis в (3.63) дала значение свободного члена кано­ нической формы: у6 — 1219,8.

264

Таким образом, в канонической форме уравнение(З.бЗ) имеет вид

чем максимум, так как канонические коэффициенты отрицательны. Координаты центра в натуральном масштабе (см. табл. 3.18)

Чугун указанного состава должен иметь максимальную разгаростойкость. Он был приготовлен, причем фосфора было меньше 0,03%. Пуансоном из такого чугуна удалось отпрессовать 1750 стеклоизделий, пока на пуансоне не появилась сетка разгара.

В разделе 3.2 было получено уравнение (3.40), связывающее предел прочности одного из алюминиевых деформируемых спла­ вов с его составом и режимом термической обработки:

у = 27,93 — 1,91*2 + 3,75* х* 2 — 1,75*^ — 6,5*2 r3 + 3,21**.

Это уравнение также привели к каноническому виду. Взяли частные производные у по независимым переменным и

приравняли их нулю, т. е. составили систему (3.71):

265

Главный определитель этой системы не равен нулю, следова­ тельно, поверхность отклика имеет центр. Из решения системы нашли координаты центра: х и = —0,12; лг2, = 0,03; x 3s = —0,36. После подстановки x is в (3.40) получили y s = 27,90.

Составили характеристическое уравнение (3.72):

Поскольку коэффициенты имеют равные знаки, поверхность от­ клика — гиперболоид, а ее центр — минимакс.

Далее нашли уравнения, связывающие новые координаты Х { со старыми х£. Составили системы (3.74) и (3.75):

.

xx = cosaiXj -f- cosa2X2+ cosa3X3+ „vls; x2 — cosPiXj -f cosp2x2+ cosp3X3 -1- x.2s; x3 = cosy1X1-j- cosy.,X2+ cosy3X3 + x3s.

Ц

Величины llt тъ пг определили из системы (3.77):

( (frj.i — Bvx) lx 0,5612mi -f- 0y5bi3rii = 0; 0,5ft21/i -f (bi2 — BL1) mx + 0,5b23nx = 0; | 0,5fc31/x + 0t^b32mx -f- (fc33 — BXi)nx — 0 .

Г(3,21 + 3,33) Л + 1,875mx - 0,875nx= 0;

266

Приняли пх = 1, тогда

' 6,54/i + 1,875/7?! = 0,875;

- 1,875/! + 3,33/п^ 3,25;

. 0,875/i + 3,25/ni = 3,33.

Затем по формулам (3.76) подсчитали направляющие косинусы::

Правильность вычислений проверили по (3.78). Например, (—0,1176)2 + (0.7263)2 + (0,6772)г = 1 и т. д.

Таким образом, новые координаты X t через прежние х,- выра­

жаются с помощью следующих уравнений:

или, после раскрытия скобок с учетом значений x is:

* i = —0,1176x:i + 0,7263х2 + 0,6772х3 + 0,2079;

. * 2 = —0,7171x:i - 0,5350х2 + 0,4468х3 + 0,0908;

* 3 = 0,6968xi — 0,4256х2 + 0,5774х3 + 0,3042.

Соответственно старые координаты с новыми связаны выра­ жениями

xL= —-0,1176*^ — 0,7171* 2 + 0,6968*3 — 0,12;

. х2 = 0,7263*! — 0,5350*2 — 0,4256*3 + 0,03;

х3 = 0,6772^ + 0,4468*2 + 0,5774* 3 — 0,36.

.

После этого попытались найти условия опытов, обеспечиваю­ щие возможно более высокую прочность сплава. Поскольку в дан­ ном случае поверхность отклика имеет седловидный (минимакс­ ный) характер, а центр ее находится в области эксперимента, не­ обходимо искать условные экстремумы, двигаясь из центра по-

267

верхности только по каноническим осям Х 2 и Х 3 (требуется найти максимум, а коэффициенты В22 и В33 больше нуля, в то время, как Ви < 0). Чтобы осуществить такое движение, т. е. узнать,

как надо изменять х£при движении вдоль Х 2 и Х 3, следует Х 1 при­ равнять нулю, а Х 2 и Х 3 увеличивать или уменьшать на произ­

вольно выбранный для каждого из них шаг. Выбрали для Х 2 и Х 3

шаг А~ = 0,5. Получили следующую систему уравнений:

*

Х3 = 0,6968 (x L — x is) — 0,4256 (х 2 — x 2s) -f-

+0,5774 {х3 — x 3s) = 0,5.

Ее главный определитель равен единице.

Решение системы дает значения шагов Хх. (в кодовом масштабе) в изменении х ( от x is при перемещении в факторном пространстве

Следовательно, первый опыт в этом направлении можно про­

вести в точке Х 2 = Х 3 — 0,5, имеющей координаты (в кодовом мас­ штабе) хх — —0,12 — 0,01 = —0,13; хг = 0,03 — 0,49 = —0,46; х3 = —0,36 + 0,52 = 0,16;

А* г~ Лхз “ —0*5. Поменяются лишь их знаки. В то же время,

движение в любую сторону от центра по осям Х 2 и Х 3у в данном

случае, равноценно. Поэтому в табл. 3.35 записаны условия опы­ тов в кодовом и натуральном (цифры округлены) масштабах при

движении по осям Х 2 и Х 3 в обе стороны от центра. В указанных

здесь опытах ожидается повышение отклика.

Поскольку большинство опытов выходят за изученную экспе­ риментально область факторного пространства, сравнивать экс­ периментальные и расчетные значения отклика не имеет смысла. Здесь, как и в методе крутого восхождения, некоторые из «мыс­ ленных» опытов реализовали. Лучший результат был получен

268

в третьем выполненном опыте. Сплав с 1 % Li после старения при. температуре 140° С в течение 6,4 ч имел ав — 0,488 ГПа (49,8 кгс/мм2). Полученный уровень прочности удовлетворил ис­ следователей, и работа на этом была закончена.

В разделе 3.3 было получено уравнение (3.58), связывающее

— 6,78^ 3 + 2,05х2л;3 — 1 ,8 хг2 — 3,99x1 “ 3,59л:2.

Вновь это уравнение привели к каноническому виду. Приравняв нулю частные производные у по xh составили си­

стему уравнений (3.71):

-щ- = 7,34 - 3,6а:, |- 4,3*s - 6 ,7 8 * 3 = 0;

= 4,92 -|- 4,3л:, - 7,98л:2 + 2,05л:3 = 0 ;

= — 1 , 2 1 _ 6,78л:, + 2,05л:2 - 7,18*3 = 0.

Главный определитель ее оказался не равным нулю, следова­ тельно, изучаемая поверхность отклика относится к центральным..

269

Координаты центра нашли из решения системы: xls = 2,80; x2s= = —0,28; лг35 = 2,39.

Отметим сразу же, что центр поверхности лежит не в области эксперимента, причем достаточно далеко от нее.

Подстановка xis в (3.58) позволила определить свободный член канонического уравнения ys = —39,56. Столь невероятное,

с точки зрения физического смысла, значение отклика объясняется удаленностью центра от области эксперимента.

Для определения канонических коэффициентов составили ха­

По формуле (3.73) проверили правильность вычислений £ В и =

~~-ЦЬи = —9,38. Таким образом, канонической формой уравне­

ния (3.58) является

Коэффициенты канонической формы имеют разные знаки, сле­ довательно, поверхность отклика является гиперболоидом, а ее центр — минимаксом (седлом).

В данном случае особенности поиска режимов термической об­ работки, обеспечивающих возможно более высокий уровень жаро­ прочности изученного сплава, определяются существенным уда­ лением центра поверхности от области эксперимента. Это обстоя­ тельство не позволяет пользоваться приемами, аналогичными при­ менявшимся в предыдущем примере. В таких случаях можно искать условные экстремумы, лежащие на поверхности некоторой гиперсферы (или гиперкуба) с центром в центре плана, а не в центре поверхности. Меняя радиус ограничивающей сферы, находят ряд таких экстремумов и условия некоторых из получен­ ных точек проверяют экспериментально. Вычислительная про­ цедура такого анализа получила название «ридж-анализ» [106].

Ридж-анализ основан на методе неопределенных множителей Лагранжа. В этом случае составляют следующую систему уравне­ ний [104]:

270