книги / Статистические методы в строительной механике

79. Пример

Рассмотрим задачу о поведении простейшей одномассовой системы при .сейсмическом воздействии, которое описывается выражением

ционной функции второго порядка К 99 (ti—т^) — К W(T) возьмем (выражение

где Ко — некоторая константа, которая выбирается так, чтобы выполнялось условие (7.10), б — 'преобладающая частота зем­ летрясения, а — величина, характеризующая степень корреля­ ции. Чем меньше значение а, тем сильнее корреляция, т. е. тем ;£же диапазон частот, в котором заключена большая часть энер-

гии сейсмического воздействия. Последнее видно из формулы для спектральной плотности энергии

а также из ,рис. 120.

Обработка акселерограмм землетрясений дает следующие пределы изменения параметров: с=0,3-*-0,7 \}сек, 0 = 10-î- -î-40 1/сек.

Наибольший интерес представляют значения корреляцион­ ной функции t), поскольку они равны среднему квадра­ ту обобщенной координаты конструкции при сейсмическом -воз­ действии. Выведем формулы для вычисления #//(** 0- Подста­ вим выражения (7.13) в формулу (7.12) при j —k и U—tz (ин­ декс k всюду опущен). Учитывая, что

получим

tt

лr»

j Jexp IPK + XJS) — <х|тд — TjJJX

X sin Q (h — “ÎI) sin 2 (t2— т2) cos 0(xi — x2) dxt dx2. (7.15)

Здесь p=ie— с. Формулу (7.15) можно также представить после элементарных преобразований в виде

где

где

Форм-улу (7Л8) .можно также записать в виде

(7.20)

где

АУКо

(7.21)

Q Y2Q | р |

Чтобы оценить влияние расположения максимума спектраль­ ной плотности на поведение среднего квадрата обобщенной ко­ ординаты f, были произведены вычисления для трех случаев: п= 1,1, п=1,2 и л=1,3. При этом было принято, что а='2,0 1/сек (следует отметить, что, по предварительным данным, реальные акселерограммы имеют более слабую корреляцию). Соответ­ ствующие кривые, сглаженные относительно малых колебаний высокой частоты, показаны на рис. 121. Приближение «преоб­ ладающей» частоты 6 к собственной частоте системы й, как и следовало ожидать, вызывает увеличение максимальных значе­ ний среднего квадрата обобщенного перемещения. Вместе с тем, максимальные значения достигаются в более поздние мо­ менты времени и, чтоособенно важно, удерживаются в течение более продолжительного времени. Последнее обстоятельство имеет, как мы увидим позднее, существенное значение для оцен­ ки вероятности разрушения при сейсмическом воздействии..

На рис. 122 представлены кривые для трех различных значе­ ний константы а, характеризующей корреляцию ускорений в различные моменты времени. При этом взято постоянное отно­ шение частотn=il,il.

80. Случай многокомпонентного сейсмического воздействия

Будем называть сейсмичеокое воздействие многокомпонент­ ным, если оно описывается в общем случае тремя линейными смещениями и тремя вращениями основания по отношению к трем ортогональным осям. В этом разделе будет показана воз­ можность приложения развитой выше теории к многокомпо­ нентным сейсмическим воздействиям [135].

Рассмотрим сооружение, отнесенное к декартовой системе координат хи х2, х3 (рис. 123). Допустим, что сооружение яв­ ляется линейно-упругим телом. Обозначим компоненты объем­

ных сил через Xj(xu х г , Х з ) , а компоненты вектора упругих .пе­ ремещений— через Uj- (хи х2, x3t t). Пусть перемещения точек тела под действием статических внешних сил определяются из системы трех линейных дифференциальных уравнений

( /= 1., 2, 3).

Явную форму этих уравнений здесь не выписываем.

Предположим, что основание .сооружения является абсолют­ но твердым телом, движение которого задано в стохастическом смысле. Свяжем систему координат с основанием сооружения. Пусть a j(t) — линейные ускорения начала координат, $j{t) — угловые ускорения при вращении относительно координатных осей (/='!, 2, 3). Пренебрегая перемещениями Uj по сравнению с характерными размерами сооружения, найдем переносные ус­ корения a*j (хи Хз, хз, t) в произвольной точке:

Эта формула может быть записана в форме

(7.29)

о»Ю “ - 2 * / » « у ( о - 2 х'* р'<о. /=х /“1

где

*Jh = I l J

P ( *?îft + <?2ft + “fft ) dV

(7.30)

Чтобы упорядочить множество точек системы, выберем путь об­ хода элементов и введем координату s, измеряемую вдоль оси элементов от некоторой начальной точки. Вместо собственных

Силы внутреннего и внешнего трения до сих пор не учиты­ вались. Эти силы, как обычно, можно формально учесть путем добавления в уравнения (7.28) членов, содержащих обобщен­ ные скорости. Пренебрегая диссипативными связями между формами колебаний, придем к рассмотренным ранее уравнени­ ям в форме (7.2). При этом вместо я*(0 в правые части под­ ставляются обобщенные силы, определяемые по формулам

(7.29), (7.30) и (7.31). Дальнейшие выкладки остаются без су­ щественных изменений. Так, для получения корреляционной функции обобщенных координат имеем формулу

_________ it ft

МММ**) = J JA yft-M M **— с*) Qj('i)Qb{4) d4 d.Xb(7.32)

Способ апециализации сейсмического воздействия в форме (7.7) легко может быть распространен на многокомпонентные воздействия:

фу (^)— стационарные случайные функции. Простейшая форма аат1роксима1Ц'ии имеет вид

A J = A f ) e - cj t ; 9 .(t,)ь (t2) = К}e*J1,1 " ,г 1cosду(tг- /2), (7.35)

где Л|0), Су, /Су, ау и 0у— случайные числа ((параметры) земле­

трясения. Аналогичное представление может быть введено для угловых уокорений р/(<)• Подсгавим формулы (7.33), (7.34) » (7.35) в формулу (7.32). Тогда интеграл, стоящий в правой час­ ти, может быть выражен через элементарные функции. Даль­ нейшие вычисления производятся методом, развитым в п. 79.

81. Оценка вероятности разрушения и ожидаемого срока

службы

Основной задачей теории являются вычисление ожидаемого срока службы сооружения и разработка методов проектирова­ ния таких сооружений, вероятность разрушения которых в те­ чение установленного срока службы будет не больше установ­ ленного значения. Определение системы корреляционных функ­ ций служит лишь первым шагом на пути решения проблемы.