книги / Статистические методы в строительной механике
..pdfТаким образом может быть учтено влияние неточностей изго товления, дефектов материала, начальных напряжений и т. д. Влияние рассеяния внешней нагрузки, дополнительных сил, под чиняющихся статистическим закономерностям, и других анало гичных статистических факторов также легко учитывается. Ра зумеется, увеличение числа определяющих параметров резко увеличивает размер вычислительной работы. Однако эти вычис ления могут быть приспособлены для современных быстродей ствующих математических машин. В тех случаях, когда подго товительные операции (т. е. решение соответствующих уравне ний детерминистической задачи) производится на математиче ских машинах, целесообразно в программу включать вычисле ние статистических характеристик с тем, чтобы получать эти ха рактеристики на выходе машины как окончательный результат.
До сих пор рассматривались задачи о квазистатическом мо нотонном нагружении. Следует заметить, что имеются такие за дачи устойчивости конструкций, которые не допускают квазистатической трактовки даже при самом медленном нагружении. Пусть, например, оболочка при фиксированных внешних силах имеет более двух устойчивых форм равновесия. Тогда при дости жении значения <7* снизу может осуществиться любое из двух устойчивых положений. Выбор между ними не может быть сде лан на основании квазистатических соображений. Неопределен ность устраняется, если рассмотреть, например, нагружение с конечной (хотя и малой) скоростью и ввести в рассмотрение на чальные условия. Решив детерминистическую задачу, можно за тем применить квазистатический метод.
Метод применяется и для решения некоторых динамических задач устойчивости. Прежде всего легко может быть рассмотрен случай одиночных (практически — весьма редких) толчков, ха рактеризуемых начальными скоростями различных точек обо лочки. Скорости здесь просто включаются в число определяю щих параметров, а область безопасных состояний ограничивает ся соответствующей сепаратрисой. Другой случай — это воздей ствие нестационарных внешних сил, которые представляются в виде детерминированных функций времени, зависящих от конеч ного числа случайных параметров.
В качестве примера рассмотрим задачу о динамическом «хлопке» пологой цилиндрической панели (см. рис. 58) под дей ствием нормальной импульсивной нагрузки q(t)=0{t<0) и q(t) =q0e~ct (7> 0). Соответствующая детерминистическая зада ча решена группой авторов [24]; на рис. 59 показана область не устойчивости на плоскости сл, qo- Пусть с и <7о — случайные ве личины. Тогда вероятность «хлопка» может быть вычислена по формуле
а (-)
Некоторые результаты для случая равномерного распределения параметров с и qo приведены на рис. 60.
В качестве другого |
примера можно указать на задачу о ди |
|||||||
V |
|
|
|
намическом «хлопке» |
ци- |
|||
|
|
|
линдрическои панели |
при |
||||
Ч. |
|
|
|
|||||
|
|
|
осевом сжатии нагрузкой, |
|||||
|
|
|
|
возрастающей со |
случай |
|||
V |
|
|
|
ной, но постоянной в про |
||||
|
|
|
цессе нагружения |
скоро |
||||
|
|
Sî(-) |
|
стью с |
от |
нуля |
до |
|
|
|
|
некоторого |
|
значения |
|||
|
|
|
|
|
||||
0.В |
Л-Ч\Х |
|
р(-) |
|
|
|
|
|
|
|
Я(+) |
|
|
|
|
||
лУ |
|
0,15 |
сл'*\Т |
Т Л |
|
|||
ол |
|
|
|
0,50 |
|
|
|
|
/ |
|
|
|
0,25 |
Ц |
^Л З |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ï |
|
|
|
|
у! |
|
|
|
Г |
1,0 |
2.0 |
З.о |
с ТС |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Рис. 59 |
|
|
Рнс. |
60 |
|
|
q>qB. На рис. 61 приведены результаты решения детерминисти ческой задачи [24]. Получив детерминистическую зависимость
максимальных прогибов отах, достигаемых сразу же после «хлоп ка», от скорости с и используя формулы типа (4.5), нетрудно вы
числить плотность вероятности p(vmax) и т. д. Результаты вы числений для случая нормального распределения показаны на рис. 62.
Следует подчеркнуть, что рассмотренные нагрузки представ ляют собой вырожденные (в смысле Бартлетта 191) случайные процессы. Имеется в виду, что реализации этих процессов выра жаются через детерминистические функции, зависящие от ко нечного (практически — весьма небольшого) числа случайных параметров. Многие нагрузки, действующие на конструкции (на пример, нагрузки от атмосферной турбулентности, от давления волн и т. д.), не могут быть удовлетворительно описаны таким образом. Здесь требуется привлечение методов теории случай ных процессов.
КОЛЕБАНИЯ КОНСТРУКЦИЙ ПОД ДЕЙСТВИЕМ СЛУЧАЙНЫХ СИЛ
46. Предварительные замечания
За исключением п. 45, до сих пор в книге полагалось, что действующие на конструкцию случайные нагрузки являются статическими. Разумеется, что тем самым не предполагалась их неизменность во времени: имелось в виду лишь, что время, в те чение которого нагрузки изменяются на заметную величину, до статочно велико по сравнению с периодами собственных колеба ний конструкции. В этом случг.е, как хорошо известно, ускоре ниями точек конструкции можно пренебречь, трактуя внешние нагрузки как статические силы или рассматривая время t просто как параметр.
В ряде приложений случайная нагрузка изменяется во вре мени достаточно быстро, так что ее характерные периоды 1 ока зываются сопоставимыми с периодами собственных колебаний конструкции. При таких условиях необходимо исследовать ко лебания с учетом инерционных и диссипативных сил под дей ствием нагрузок, случайным образом изменяющихся во времени, или. как говорят, представляющих собой случайный процесс.
Примером такой нагрузки может служить давление от по рывистого ветра. Помимо статической составляющей скорость ветра содержит переменную составляющую, которая имеет бес порядочный, нерегулярный характер (рис. 63). В течение ин тервала времени, достаточно большого по сравнению с преоб ладающим периодом пульсаций, статистические свойства этих пульсаций можно считать практически неизменными. Это по зволяет трактовать ветровую нагрузку как стационарную слу чайную нагрузку. В качестве другого примера можно указать на силы, которые возникают при действии волн на конструк ции судов и на ограждающие конструкции. Известно, что волны
< То есть интервалы времени, в течение которых нагрузки изменяются на заметную -величину.
не обладают правильной периодической структурой как во вре мени, так и в пространстве. Поэтому правильное описание воз действия волн на конструкции должно базироваться на их пред ставлении в виде стационарного случайного процесса. В отличие от двух указанных примеров сейсмическое воздействие, характеризуемое ускорением грунта a(t), носит ярко выражен ный нестационарный характер (рис. 64) и может служить при мером нестационарного случайного процесса.
Теория случайных процессов, основы которой были заложе ны в работах А. Н. Колмогорова и А. Я. Хинчина, получила
v(t}
Рис. 63
эффективное применение в теории автоматического регулирова ния и в теории связи [72, 85, 1061. Особенно подробно оказалась разработанной теория стационарных случайных процессов. В последнее время был опубликован ряд работ, посвященных при ложению теории стационарных случайных процессов к расчету конструкций на действие случайных сил. Важнейшим типом стационарных нагрузок являются нагрузки, обусловленные ат мосферной турбулентностью, а также нагрузки, возникающие в аэродинамическом следу. Задачи, связанные с этим типом на грузок, рассматривались в работах (70, 118, 119,193].
Другой интенсивно изучаемый в настоящее время тип ста ционарных случайных нагрузок представляют собой нагрузки, вызываемые действием сильного акустического излучения от работающих реактивных двигателей [168, 1691. Нагрузки, дей ствующие на строительные конструкции, рассматривались в ра боте [10]. Некоторые более общие вопросы изучались в работах [118, 1461.
Настоящая глава целиком посвящена исследованию колеба ний упругих конструкций под действием стационарных случай ных сил. Задача ставится следующим образом: зная параметры статистического распределения случайных нагрузок, найти соот ветствующие параметры для величин, описывающих поведение конструкции (т. е. для перемещений, напряжений и т. п.). Воп
рос об оценке прочности конструкции на основе полученных па раметров в данной главе не затрагивается; этот вопрос тесно связан с проблемой накопления повреждений, которая рассмат ривается в следующей, шестой главе. Равным образом не затра гиваются вопросы действия. на конструкции нестационарных (в частности, сейсмических и взрывных) случайных нагрузок. Эти вопросы отнесены к седьмой главе книги.
47. Случайные процессы и их характеристики
Функции, значения которых при фиксированных значениях аргументов являются случайными величинами, называются случайными функциями. В прикладных задачах аргументом случайных функций часто является время t; случайные функции времени называют обычно случайными процессами. Пульсации скорости и давления в турбулентном потоке, шум реактивного двигателя, толчки, испытываемые транспортным средством при движении по неровному пути, представляют собой случайные процессы.
Чтобы охарактеризовать случайную функцию Х(/), недоста точно знать ее плотность вероятности р(х; t), зависящую от вре мени t как от параметра. Поскольку значения случайной вели чины в два различных момента времени U и t2статистически свя заны между собой, то существенное значение приобретает сов местная двухмерная плотность вероятности plx(tx), x(t2); tu t-г]. Для исчерпывающего описания случайного процесса необходи
мо знать |
совместные s-мерные плотности |
вероятности |
|
p[x{tx) ,... |
x(ts) |
./,] для всех значений s. |
предпочти |
По ряду причин |
в теории случайных процессов |
||
тельнее другой способ описания. Составляя произведения слу чайных значений в различные значения времени t и производя осреднение этих произведений по множеству реализаций, полу чим последовательность функций
ЩГ), ХЩХЩ, X(tx)X(t2)X(t3),
Первая из этих функций представляет собой, очевидно, мате матическое ожидание случайной функции X(t), зависящее от времени как от параметра. Вторая функция при tx = t2 = t обра
щается в средний квадратX2(t). Функции
Kxx{tx, t2)= X {tx)X{t2), |
) |
|
KxxxVu t2, t9) = X(tx)X (t2)X (t3), |
(5.1) |
|
описывают статистическую |
связь (корреляцию) |
между значе |
ниями в разные моменты |
времени и называются |
корреляцион- |
ними функциями>. Для задания случайного процесса необходи мо знать математическое ожидание и полную систему корреля ционных функций.
Связь между обоими способами описания дается формулами
F (Ô = j X(t)p(x; t)dx,
—ÛO
и т. д. Зная совместную s-мерную плотность вероятности, мож но вычислить корреляционные функции до порядка s включи тельно. Обратная задача связана с необходимостью решения бесконечной системы интегральных уравнений и, за исключе нием тех случаев, когда искомое распределение задано с точ ностью до нескольких параметров, представляет большие труд ности.
Остановившись в дальнейшем на способе описания случай ного процесса при помощи полной системы корреляционных функций, рассмотрим совокупность нескольких случайных функ ций Х2( / ) ,...Хп (t). Их корреляционные функции обра зуются по формулам:
(5.2)
К х > л . X f t < /„ t „ у = X f , ( у х * ( У . . . Х „ ( У .
Всего имеется п2 функций второго порядка, ns функций порядка s и т. д. Как и для случайных величин, здесь важнейшую роль играют математические ожидания и корреляционные функции второго порядка. Так, если положительные и отрицательные значения функций -Ki(Z), X2(t),...Xn(t) равновероятны и распре деление можно считать нормальным, то s-мерная плотность ве роятности находится по формуле
P(xi *2, .x s;t) =
V (2%r\K(t, t) I |
exp [~т |
2 2 |
(<• oW*l • |
(5.3) |
L |
/=1 |
J |
|
|
1 То, что для корреляционных функций используется обозначение |
(5.1), |
|||
аналогичное обозначению для корреляционных моментов (1.30), не должно приводить к недоразумениям. К тому же в приложениях обычно рассматри
ваются случайные функции, у которых математическое ожидание Л \0 = 0. При этом между корреляционными функциями случайного процесса и корре ляционными моментами двух и большего числа случайных величин устанав ливается полное соответствие.
Эта формула является обобщением формулы |
(1.31), причем |
||||
здесь использованы аналогичные обозначения. |
|
Так, если |
|||
Легко обобщаются и некоторые другие формулы. |
|||||
случайные функции Т, (/), У2(/),.. .Ym (t) |
получаются |
линейным |
|||
преобразованием случайных |
функций |
Xi(f), |
X2(f),.. .Xn(t) |
||
É=I |
|
|
|
|
|
( / = 1, |
2, . |
. т), |
|
|
|
то для корреляционных функций второго порядка получаем со отношение, аналогичное формуле (1.45):
о-l
В некоторых задачах необходимо вычисление корреляцион ных функций для производных от случайного процесса. Корре ляционные функции второго порядка для первых производных
Xj(t) и Xk(t) от дифференцируемых случайных |
функций |
||
Xj (t) и Xh(t) определяются из соотношений |
|
||
|
___________ |
&Kx .Xh (h,h) |
|
ft. « = |
( « x * ft> |
= — 'm,u, " • |
<5-5> |
48. Стационарные случайные процессы
Случайный процесс называется стационарным, если его ста тистические свойства не зависят от времени. Корреляционные функции для стационарных случайных процессов зависят лишь от интервалов t2—1\, t3—1\ и т. д. Так, корреляционные функции второго порядка принимают вид
Кх .ч |
Ю = Xj{t)Xk{t + *). |
(5.6) |
Как видно из формулы |
(5.6), корреляционные функции облада |
|
ют свойством симметрии |
|
|
|
= |
<5 J) |
При j —k корреляционные функции являются четными функция
ми т, причем, как видно из формулы (5.6), |
|
KXjXj (0) = X) (t). |
(5.8) |
Стационарные случайные процессы, которые встречаются в технике, обычно обладают свойством эргодичности. Важной осо бенностью эргодических случайных процессов является то, что при вычислении их характеристик имеется возможность замены осреднения по множеству реализаций осреднением по времени,
если продолжительность реализации достаточно велика. Напри мер, если статистические свойства атмосферных пульсаций (см. рис. 63) остаются неизменными на протяжении достаточно боль шого отрезка времени, то из достаточно длинной записи можно извлечь практически всю информацию, относящуюся к статисти ческим свойствам данного процесса. Вычисление средних значе ний, таким образом, производится по формулам типа
|
-TJ2 |
(5.9) |
|
Т/2 |
|
« х / , W = lim |
[ * , (0х ,(<;+ т)<#. |
|
Г—<» |
—Г/2 |
|
Здесь Т — продолжительность |
реализации эргодического ста |
|
ционарного случайного процесса. При обработке эксперимен тальных данных продолжительность Т выбирается с учетом не обходимой точности вычислений.
49. Общие замечания о методах статистической динамики
Теория колебаний упругих систем при случайных нагрузках принадлежит, по существу, статистической динамике. Так назы вается область прикладной математики, предметом которой яв ляется изучение поведения механических, электрических, радио технических, кибернетических и тому подобных систем при слу чайных воздействиях. Центральной задачей статистической ди намики является нахождение статистических характеристик реакции системы — «выхода» при известных статистических характеристиках внешнего воздействия — «входа». В зависимо сти от того, какой способ описания случайных процессов при меняется, методы статистической динамики могут быть разбиты на две большие группы — корреляционные методы и методы кинетических уравнений. Каждый из этих методов имеет свои достоинства и недостатки, свою область применения. Эти обла сти могут перекрываться; однако, рассматривая каждую кон кретную задачу, можно найги основания для того, чтобы отдать предпочтение тому или иному методу.
Корреляционные методы основаны на использовании связи между корреляционными функциями «входных» параметров'(на пример, нагрузок) и «выходных» параметров (прогибов, внут ренних усилий, напряжений). Эти связи могут выражаться как при помощи дифференциальных и интегродифференциальных уравнений, так и, в простейших случаях, при помощи конечных соотношений. Спектральный метод, метод канонических разло жений и т. п. могут рассматриваться как модификации корреля ционных методов. Эти методы, теоретические основы которых
разработаны А. Н. Колмогоровым, А. Я. Хинчиным и Н. Вине ром, нашли широкое применение в современной физике и техни ке. В частности, корреляционные методы стали рабочим аппара том теории турбулентности, теории информации, статистической динамики систем автоматического регулирования и т.п. Область применения корреляционных методов — задачи, в которых внеш няя нагрузка представляет собой коррелированный случайный процесс. Методы оказываются особенно эффективными, если на грузка является гауссовским процессом, а система — линейной. Однако и для ряда нелинейных систем легко получить эффек тивное решение, привлекая методы нелинейной механики.
Вторая группа методов основана на рассмотрении дифферен циальных и интегродифференциальных уравнений, описываю щих эволюцию функций распределения случайных параметров во времени. Кинетическое уравнение Больцмана в теории газов и уравнение Смолуховского-Эйнштейна в теории броуновского движения являются типичными примерами уравнений такого ти па. Методы кинетических уравнений особенно подробно разрабо таны применительно к процессам без последействия (марков ским процессам). Поэтому область эффективного применения этих методов — задачи, в которых «выходные» величины можно трактовать как компоненты некоторого многомерного марков ского процесса. Основное преимущество методов, основанных на рассмотрении марковских процессов, состоит в возможности непосредственного получения функций распределения. Однако реализация этого преимущества может оказаться невыполнимой из-за трудностей отыскания решений кинетических уравнений. Сказанное особенно относится к нестационарным решениям.
Остальные разделы данной главы будут посвящены главным образом применению корреляционных методов и, в частности,, спектрального метода. В последнее время в теории упругих колебаний широко применяются методы, использующие аппарат теории марковских процессов [35, 41, 42, 47, 48, 53]. Из числа бо лее ранних работ следует указать на основополагающую статью А. А. Андронова, Л. С. Понтрягина и А. А. Витта [2]. Некоторые вопросы применения методов теории марковских процессов в статистической динамике упругих систем будут рассмотрены в
пп.58—60.
50.Спектральный метод описания стационарных
случайных процессов
Стационарный случайный процесс представляет собой режим беспорядочных пульсаций около некоторого среднего значения. Существенную роль для такого процесса играет распределение мощности процесса по частотам пульсаций. Спектральные ха рактеристики кладутся в основу спектрального метода описания стационарных случайных процессов.