книги / Статистические методы в строительной механике
..pdfсебя как |
— ljî. При ц= 0 интеграл (3.44) может быть |
также представлен в виде
/= Г (1+!/«!),
иформула превращается в формулу (3.11), описывающую мас штабный эффект при наличии одних объемных дефектов. В об щем случае
R = S» + »с. |
Г (1 + 1/0!,) Ф («„ |»), |
где
Ф = + 2 |
< |
*-i |
|
При изменении а2 в пределах |
0 < аа^ аг |
функция Ф |
меняет- |
|
ся в пределах |
|
|
|
|
е~* < Ф < |
|
|
||
|
|
0 + ц )1/а‘ |
|
|
Мы предположили ©ьгше, что а2< а ь |
Если а2> а ь |
то соот |
||
ветствующие формулы получим заменой обозначений |
|
|||
R = s0-\- sCl |
‘ |
г (1 + 1/«а) Ф («a. «t. Ri). |
|
|
где
Если ai = аг— а, то интеграл в 'формуле (3.44) выражается непосредственно через гамма-функцию, и мы приходим к фор муле
График для функции Ф (аь а2, |
р) |
при |
ai =6 и различных |
|||
значениях |
«2^ a i |
показан на рис. |
32. |
За |
исключением |
случая |
р.-* О (т. е. |
случая |
очень высокой |
средней |
поверхностной |
проч |
|
ности), средний предел прочности оказывается ниже, чем вы численный по обычной статистической теории.
33. Статистические теории усталостного разрушения. Усталостное разрушение как случайный процесс марковского типа
Согласно современным представлениям механизм усталост ного разрушения состоит в следующем. Под действием прило женной нагрузки вначале происходит упрочнение наиболее сла бых и наиболее напряженных зерен материала. Затем в этих зернах появляются линии сдвига. При повторных нагружениях число этих линий всегда увеличивается и постепенно они сли ваются, образуя полосы скольжения и субмикроскопические трещины. Тем самым подготавливаются условия для прогресси рующей микроскопической трещины1, развитие которой закан чивается макроскопическим разрушением. Продолжительность первой (подготовительной или инкубационной) стадии состав ляет обычно 60—90% от общей долговечности конструкции. Вторая стадия, состоящая в прогрессирующем развитии тре щины, занимает, таким образом, меньшую часть общей долго вечности.
От появления первых пластических деформаций в слабей ших зернах и до момента полного разрушения усталостное пов реждение представляет собой случайный процесс. Необратимые изменения возникают в первую очередь в наиболее слабых и наиболее напряженных зернах, число и свойства которых в об щей совокупности можно охарактеризовать лишь при помощи некоторого распределения вероятностей. Дальнейшее развитие •сдвигов и трещин при каждом следующем нагружении также подчиняется некоторому распределению вероятности и зависит
1 Т. е. трещины, видимые в обычной металлографический микроскоп.
от распределения вероятностей, достигаемого в результате пре
дыдущих нагружений. От временных эффектов, которые при не слишком широких диапазонах частот изменения нагрузки не играют существенной роли, можно в первом приближении от влечься. В силу этого процесс накопления усталостных по вреждений можно трактовать как случайный процесс марков ского типа с непрерывным множеством состояний и дискретным временем. Вероятностные характеристики такого процесса к концу (А-Н)-го цикла нагружения могут быть выражены через характеристики k-ro цикла и некоторые переходные вероятно сти, зависящие от механизма про
цесса и от нагрузки (k+ 1)-го цикла. Простейшей моделью процесса накопления усталостных поврежде ний может служить стержневая си стема, изображенная на рис. 33 и находящаяся под действием повтор ных нагрузок. Механические свой ства ее первичных элементов (моду ли упругости и упрочнения, предел текучести, сопротивление отрыву и т. д.) предполагаются случайными величинами, что позволяет модели ровать случайную структуру поликристаллического материала. При
первом нагружении пластические деформации возникают в наи более слабых и наиболее повреждаемых элементах, а после сня тия нагрузки возникает система остаточных напряжений. По вторные нагружения изменяют эту картину: в отдельных элемен тах происходит процесс упрочнения, пока местное напряжение не достигнет величины сопротивления отрыву для данного элемен та. Разрыв единичных элементов соответствует появлению суб микроскопических трещин при усталостном разрушении. Про цесс выхода из строя одного элемента за другим моделирует процесс развития прогрессирующей усталостной трещины. Наи большее значение периодической нагрузки (при заданном режи ме ее изменения), при котором еще имеет место упруго-пласти ческая приспособляемость системы, соответствует пределу выно сливости для поликристаллического тела. Таким образом, мо дель передает наиболее существенные черты усталостного раз рушения.
Математическое описание процесса усталостного разруше ния состоит в следующем. Допустим, что механическое состоя ние первичного элемента может быть охарактеризовано конеч ным числом параметров. Эти параметры являются случайными величинами. Кроме того, случайной величиной является и об щее число элементов, которое уменьшается после того, как на пряжение в одном из элементов достигнет сопротивления отры
ву. Состояние системы оудем считать заданным, если известна совместная плотность вероятности для перечисленных случай ных параметров, которые мы будем обозначать через хи х2, ... хп.
Допустим, что известна плотность вероятности |
рк (*ь х2....хп) |
для состояния, наступающего лосле k-ro цикла |
нагружения. |
Плотности вероятности для (Аг+1)-го и &-го циклов связаны между собой соотношением
X p*(îx,î1, |
6я)АМ5а |
• &п. |
(3.46) |
Здесь Р (хь х2,....; хп\%г Ç2, |
qk*-\) — ядро, характеризующее |
||
распределение переходных вероятностей. Оно должно, очевидно, зависеть от параметра нагрузки (&+1)-го цикла, обозначенного через <7*+i. Уравнение (3.46) можно рассматривать как резуль тат обобщения формулы полной вероятности (1.27).
Уравнение (3.46) есть не что иное, как «кинетическое урав нение», описывающее необратимый процесс накопления уста лостных повреждений. Основная трудность состоит в построе нии ядра Р (хь х2, .. .хп\ $2,--Лп’, ÿA4-i).Некоторые частные воп росы могут быть, однако, качественно освещены при помощи более упрощенных или формальных подходов.
34. Статистическая теория предела выносливости
Согласно статистической теории усталостное разрушениеимеет место лишь при условии нахождения рядом достаточно большо го числа зерен, сопротивление отрыву которых меньше, чем осредненные напряжения в данной точке материала./Если при нять эту точку зрения, то окажется, что величина предела вы носливости может быть получена из рассмотрения вероятности обнаружить некоторую дефектную совокупность зерен.
Рассмотрим макроскопически одородное напряженное со стояние с напряжением S. Допустим, что трещина прогресси рует, если разрушено k расположенных рядом зерен. Назовем эту совокупность зерен первичным элементом. Среднее число первичных элементов в единице объема обозначим через п, а
функцию |
распределения их средних пределов прочности — че |
рез F0(S). |
При этом, исходя из физических соображений, мож |
но принять, что JFO(S) =0, если |
50, где S0 — некоторое мини |
мальное значение для прочности первичных элементов. |
|
Развитие усталостной трещины |
будет иметь место лишь в |
том случае, если произойдет разрушение слабейшего из nV пер вичных элементов. В случае однородного напряженного состо яния мы получаем следующее распределение вероятностей для пределов выносливости R/.
F(R,)= 1 - [ 1 - М Я / ) Г |
(3.47) |
Мы пришли, таким образом, к задаче, которая формально совпадает с задачей о хрупком разрушении при однократной нагрузке (п. 28). При весьма большом nV распределение (3.47) может быть заменено асимптотическим распределением
F (jRf) = 1 — exp [ - enV (Rf - S0)“] , |
(3.48) |
где с и а — константы, зависящие от поведения функции рас
пределения F0(S) при S - у 5р, т. е. от свойств слабейших пер |
||
вичных элементов. В дальнейшем удобно |
ввести обозначение |
|
1 |
|
|
сп = ---------- |
|
|
VcSj/e |
|
|
где Vo— эталонный объем. Формула (3.48) |
принимает вид |
|
(-& = & )Г ]. |
(3.49) |
|
Вероятность обнаружить предел выносливости, равный |
So, рав |
|
на, очевидно, нулю. Вероятность обнаружить предел выносли
вости меньший, чем So+ Sc, при |
V=V0 будет равна |
|
|||
F (S0 + Sc) = 1 — — » 0,632. |
|
(3.50) |
|||
|
|
|
е |
|
|
Таким образом, напряжение, |
равное S0+ 'S C, |
является |
некото |
||
рым «представительным» пределом выносливости. |
|
||||
Используя аналогию с задачей о хрупком разрушении, мо |
|||||
жно выписать формулы для |
среднего .предела выносливости |
||||
Rf и коэффициента изменчивости wRf: |
|
|
|||
Rf — S0 + Sc |
|
у /а Г(1 + 1/а), |
|
||
Sc { ~ у а |
/Г (1 |
-h 2 /а )-Г З (1 + |
I/*) |
(3.51) |
|
î / = |
S c |
/ l'o V/a |
|
|
|
S0 + |
— |
Г(1+«) |
|
|
|
Эти формулы могут быть использованы и для неоднородною поля напряжений, если минимальная прочность S0=0. В этом случае вместо V в формулы (3.51) нужно подставлять приве денный объем (3.14). Заметим, что усталостные трещины за рождаются обычно на поверхности тела со. Нетрудно провести предыдущие рассуждения, заменив в них объем тела V поверх ностью и. Например, вместо формулы (3.49) получим
F (Rf) = 1 — exp |
«д |
/ R/ —S |
(3.52) |
||
ao |
\ |
Sc |
|||
|
|
||||
где ©о— некоторая эталонная площадь. |
Двойственный харак |
||||
тер дефектов можно учесть, как это сделано в п. 32. |
|
||||
Полученные формулы позволяют рассмотреть вопрос о рас пределении пределов выносливости, о влиянии абсолютных раз меров и концентрации напряжений, о связи между пределами выносливости при различных полях напряжений, о связи между масштабным эффектом и разбросом пределов выносливости и т. п. Результаты, вытекающие из теории И. Н. Афанасьева [3,6] и В. Вейбулла [208], могут быть получены из этих формул как частные случаи. Следует отметить, однако, что математи ческое обоснование формул в указанных работах не свободно от некоторых противоречий.
35. Статистическая теория кривой усталости
(Статистическая теория предела выносливости составляет часть проблемы обоснования так называемой кривой усталости, уста навливающей связь между действующим напряжением и чис лом циклов, необходимым для полного разрушения. Адекват ное решение этой проблемы возможно лишь, очевидно, на осно ве кинетической теории усталостного разрушения, контуры ко торой были намечены в п. 33. Практическое значение статистиче ской теории кривой усталости весьма .велико. Эта теория позво лит предсказывать усталостную прочность конструкций при низких уровнях напряжений на основании их прочности при высоких уровнях напряжений и, таким образом, явится теоре тической основой для разработки ускоренных методов испыта ния на усталость, методов предсказания долговечности реаль ных конструкций на основании относительно простых програм мных испытаний и т. п. До сих пор сделаны лишь первые шаги на пути решения этой проблемы.
Зависимость между напряжением 5 и разрушающим числом циклов N даже при самом строгом соблюдении однородных ус ловий испытаний имеет ярко выраженный случайный характер [100, 154]. Разброс пределов выносливости является примером этой случайной зависимости при N ->оо или при N=N\, где N1— база испытаний-
Из сказанного следует, что лишено смысла говорить о де терминистической связи S=S(N). Можно говорить лишь о свя зи между средними или наиболее вероятными значениями. На иболее общая формулировка свойств кривой усталости состоит в задании совместной функции распределения F(S, N), равной вероятности усталостного разрушения при числе циклов, мень шем, чем N, и напряжении, меньшем, чем 5. На плоскости S, N эта вероятностная зависимость может быть представлена -в ви де семейства кривых F(S, N) = const, каждая из которых соот ветствует некоторой одной и той же вероятности разрушения. Такое семейство представлено на рис. 34. Здесь S0 — наимень шее напряжение, при котором еще -возможно усталостное раз рушение, 5о+ Sc — значение напряжения, соответствующее ве-
роятности разрушения 0,632*. Функция распределения F(S, N) соответствует плотности вероятности
Вместо функции распределения F(S, N) может оказаться удобнее рассматривать соответствующие условные функции рас пределения /^(SlAO и F(N\S). Первая из них равна вероятно сти обнаружить разрушающее напряжение, меньшее чем 5, ес ли число циклов равно в точности N. Вторая функция распре деления равна вероятности разрушения при числе циклов, мень шем, чем N, если напряжение равно в точности 5. Обе кривые распределения получаются сечением поверхности F=F(S, N) соответствующими плоскостями (см. рис. 34). Вид плотностей условных вероятностей p{S\N) и p(NIS) показан на рис. 35.
Адекватная теория кривой усталости может быть основана лишь на статистическом описании механизма накопления пласти ческих сдвигов в зернах и механизма развития усталостной тре
щины. Здесь мы ограничимся простейшей моделью, которая яв ляется развитием представлений, изложенных в п. 33 и 34.
Как указывалось в п. 33, процесс усталостного разрушения может быть разбит на две качественно различные стадии. На первой стадии накопление повреждений происходит лишь в не которых слабейших зернах и носит, таким образом, локальный характер. На второй стадии усталостная трещина прогресси рует, захватывая все совокупности зерен, лежащие на ее пути. Следовательно, обе стадии имеют различные механизмы и
• См. формулу (3.50j.
должны описываться по-разному. Механизм первой стадии в некотором смысле оказывается проще. Вместе с тем, как подт верждают опыты, первая стадия составляет большую часть об щего времени до разрушения. Статистическая теория, позволяю
щая предсказать время до образования прогрессирующей |
тре |
|
щины, не лишена поэтому практического интереса. |
ха |
|
Предлагаемая модель |
носит лолуфеноменологический |
|
рактер. Как и в теории H. |
Н. Афанасьева, предполагается, |
что |
развитие усталостной трещины начнется после разрушения сла бейшей совокупности зерен, а также что каждая такая сово купность (первичный элемент) обладает индивидуальной кривой усталости. Кривые усталости для статистического ансамбля пер вичных элементов охарактеризуем функцией распределения Fo(SIN), значения которой равны вероятности обнаружить разрушающее напряжение для первичного элемента, наугад взятого, меньшее, чем S, при числе циклов, равном в точности N. Задача состоит в отыскании функции распределения F(S [ N) минимальных разрушающих напряжений для ансамбля из большого числа первичных элементов. Эта задача аналогична задачам, рассмотренным в пп. 28 и 34.
Рассмотрим поставленную задачу для случая макроскопи чески однородного напряженного состояния и в предположе нии, что ответственными за начало развития трещины являются элементы, расположенные у поверхности тела о). Пустьп — сред нее число первичных элементов, приходящихся на единицу пло
щади. Повторяя рассуждения, аналогичные |
рассуждениям |
и. 34, получим функцию распределения F (S| N) : |
|
F(S\N)= 1— (1— F0(S\N)f° |
(3.53) |
Обозначив минимальное разрушающее напряжение для пер вичных элементов через So (АО, аппроксимируем функцию /^(SIN) для значений 5, близких к So, выражением
F0(S\N)^c(N) [ S - S 0(ЛОГ W . |
(3.54) |
Здесь c(N) и а(Л0 — некоторые функции числа циклов N. При больших числах пса для распределения (3.53) получим асимп тотическое выражение
F (S | ЛО « 1 — ехр { - с (N) т [S - S0 (N) Г (Ю}. |
(3.55) |
В дальнейшем введем эталонную площадь о>о, «представи тельное» напряжение S(N), а знак приближенного равенства в формуле (3.55) заменим на знак точного равенства. Формула (3.55) принимает вид
' ( S I * ) = 1 - “ Р { - .V |
<3'56> |
Таким образом, разрушающее напряжение S следует рас пределению Вейбулла. Распределение (3.52) для пределов вы-
носливости R, получим, полагая в (3.56) N |
S0(N) |
S0t |
Чтобы применять распределение (3.56) для расчетов, необ ходима специализация функций S0(N), Sc (N) и a(N). Такую специализацию можно ввести, беря определенное аналитиче ское выражение для кривой усталости первичных элементов. Параметры этой кривой будут случайными величинами.
Можно, например, принять, что индивидуальная кривая ус талости имеет вид
(3.59)
где N0, Nct S, и т — случайные константы с заданной совмест ной плотностью вероятности p{Nü,Nc, Si, m). Имея зависимость (3.59) и плотность вероятности p{Nо, Nc, Si, m), нетрудно най ти плотность распределения Р0(5|М).
Самое простое предположение состоит в том, что параметры А'о, Nc и т детерминированы, а параметр Si имеет функцию распределения / ’i(5j). Тогда
Пусть при малых Si имеет место |
приближенное |
равенство |
^ i(S i)» c S “, где с и а — константы. |
Вместо (3.54) |
получаем в |
этом случае |
|
|
Распределение (3.56) принимает вид
где р = а /т . Заметим, что распределение (3.60) было предложе но также Фрейденталем и Гумбелом [153], которые, по сущест ву, постулировали распределение Вейбулла для предельного числа циклов N*.
■Используя формулу (3.60), нетрудно получить семейство кривых усталости, соответствующих равной вероятности разру шения. Положив F(S\N)—p, легко найдем уравнение этих кри вых
* Для статистической обработки результатов испытаний на усталость ус пешно применяются и другие распределения, например, логарифмически нор мальное распределение [100].
Итак,
где
г = — In (1 — р).
Обратная зависимость имеет вид
/ М 1* |
( s‘ \ |
(3.61) |
Vш/ |
Vs— s0 ) |
|
Для математического ожидания и стандарта разрушающего напряжения и разрушающего числа циклов аналогично полу чим формулы:
Эти формулы устанавливают связь между масштабным эф фектом, с одной стороны, и разбросом результатов испытания на усталость, с другой. Они могут быть использованы для полу чения различных теоретических и практических выводов (по добно тому, как это было сделано в пп. 28—32 применительно к явлению хрупкого разрушения). На этих выводах мы здесь ос танавливаться не будем.
Пусть N1— база испытаний. Под пределом выносливости Rf будем понимать разрушающее напряжение при N\ циклах. От сюда для параметра г получаем выражение
ГШ.l/p (/ |
Ыf) \1/WP (/ |
R /j— S„p \m N —N9 |
U |
I [ |
Sc J Nc |
и формула (3.61) принимает вид
(3.64)
Эта формула содержит единственную случайную величину Rf, имеющую распределение вероятностей
Здесь S0 + $с — предел выносливости, вероятность превышения которого для эталонного образца с поверхностью ©о равна Че— = 0,368.
too