книги / Статистические методы в строительной механике

Для вычислений может оказаться удобным несколько иное лредставление

■*/

с фунмцией распределения

Эти зависимости будут использованы в шестой главе для оцен­ ки долговечности конструкций, загруженных переменными си­ лами.

ПРИМЕНЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ

КЗАДАЧАМ УСТОЙЧИВОСТИ

36.Анализ понятия устойчивости в строительной механике

Настоящая глава будет целиком посвящена приложениям статистических методов к проблеме устойчивости равновесия конструкций. Поскольку эти приложения потребуют некоторого развития привычных представлений об устойчивости в строи­ тельной механике, мы начнем с анализа этих представлений.

Р. Веллман [13] охарактеризовал термин «устойчивость» как «сильно перегруженный термин с неустановившимся определе­ нием». Это замечание можно целиком отнести и к понятию ус­ тойчивости в строительной механике. Смысл, который инженерпроектировщик интуитивно вкладывает в понятие устойчивости проектируемой им конструкции, оказывается зачастую несовпа­ дающим с содержанием определений, приводимых в учебных курсах.

Идеализированная конструкция, проектируемая инженером, отличается от осуществляемой затем по этому проекту реаль­ ней конструкции. Это отличие обусловлено многочисленными более или менее мелкими отклонениями, дефектами и несовер­ шенствами. Инженеру необходима уверенность в том, что не­ смотря на наличие этих отклонений, реальная конструкция бу­ дет работать примерно так же, как и соответствующая ей иде­ ализированная конструкция. При отсутствии такой уверенно­ сти проектирование утратило бы смысл. Равновесие проекти­ руемой конструкции устойчиво, если малые несовершенства и дефекты вызовут соответственно малые отклонения от идеали­ зированных условий работы. Если же малые несовершенства вызывают непропорционально большие отклонения, то равнове­ сие является неустойчивым. Проектировщик должен выбрать размеры конструкции таким образом, чтобы при всех возмож­ ных комбинациях нагрузок равновесие конструкции оставалось устойчивым по отношению ко всем видам возмущений, которые

тойчивостью по отношению ко всем классам возмущений, от­ личающих ее от реальной конструкции. В этом смысле условия устойчивости более органически связаны с выбором расчетной схемы, чем условия прочности и жесткости. Так, если схема уточняется путем учета ряда факторов, отличающих идеализи­ рованную конструкцию от реальной, то некоторые условия ус­ тойчивости могут видоизмениться или отпасть вообще. Допу­ стим, что в качестве расчетной схемы взят идеально прямой центрально нагруженный и однородный стержень (рис. 36). На­ иболее важными классами возмущений, отличающих реальный

стержень от расчетной схемы, являются на­ чальное искривление и эксцентрицитеты сжимающей силы. Утверждение о том, что прямолинейная форма стержня (т. е. идеа­ лизированная схема реального стержня) устойчива по отношению к этим двум клас­ сам возмущений, эквивалентно утвержде­ нию, что, делая начальные искривления и эксцентрицитеты достаточно малыми, мы будем получать прогибы меньшие, чем лю­ бая наперед заданная величина. Если сжи­ мающая сила Р меньше эйлерова значения Рв, то прямолинейная форма устойчива. Напротив, при Р>Р3 даже сколь угодно малые возмущения приводят к конечной ве­ личине прогиба (рис' 37).

Представим себе теперь, что величина начальной кривизны и эксцентрицитета за­ даны и что расчет ведется по схеме искрив­ ленного и внецентренно нагруженного стержня. В такой постановке во­

прос об устойчивости прямолинейной формы стержня по отношению к возмущениям этого класса немедленно снима­ ется и заменяется отысканием напряженного и деформиро­ ванного состояния по уточненной расчетной схеме. При этом, правда, может возникнуть новая задача об устойчивости этого состояния по отношению к некоторому новому классу возмуще­ ний. Аналогичные примеры можно было бы привести, рассмат­ ривая задачи, в которых потеря устойчивости сопровождается скачкообразным изменением напряженного и деформированно­ го состояний.

В отличие от обобщенного понятия устойчивости по Ля­ пунову, тесно связанного с теорией устойчивости движения, в строительной механике обычно рассматривается устойчивость по отношению к «пробным нагрузкам». Равновесие системы на­ зывается устойчивым, если система после удаления небольшой дополнительной нагрузки возвращается к первоначальному равновесию. Данное определение является, очевидно, частным

случаем общего определения устойчивости. При этом в его ос­ нове лежит весьма частный класс возмущений, не имеющий в большинстве практических задач существенного значения.

Для упругих систем, нагруженных потенциальными силами, метод «пробных нагрузок» всегда дает правильный ответ об устойчивости по Ляпунову. Равновесие, устойчивое по отноше­ нию к «пробным нагрузкам», оказывается устойчивым и по от­ ношению ко всем практически важным классам возмущений. Положение существенным образом меняется в задачах неупру-

гой устойчивости. В результате необоснованного распростране­ ния концепции «пробных нагрузок» на эти задачи в течение не­ скольких десятилетий считалось, что так называемая приве- денно-модульная нагрузка является критической нагрузкой для центрально сжатых упруго-пластических стержней. Лишь впо­ следствии было показано, что действительная критическая сила для таких стержней существенно зависит от класса возмуще­ ний и самого их изменения в процессе роста нагрузки. В зави­ симости от характера нагружения и характера изменения воз­ мущений, сопровождающих процесс нагружения, критическая сила может принимать различные значения от касательно-мо­ дульной до приведенно-модульной нагрузки.

37. Об учете случайных возмущений

Подход, основанный на соображениях устойчивости, позво­ ляет значительно упростить расчетную схему и расчеты в це­ лом. Вместо того, чтобы вести расчет по уточненной схеме с учетом возможных возмущений, оказывается достаточным рас­

считать систему по схеме, в которой эти возмущения отсутст­ вуют. Вслед за этим необходимо убедиться в том, что уточнен­ ная схема будет сколь угодно близка к упрощенной схеме, если

рукциях, являются конечными и не всегда очень малыми. По­ этому установление того факта, что в определенном диапазоне нагрузок невозмущенная форма равновесия обладает устойчи­ востью по отношению к определенному классу возмущений, да­ леко' не всегда оказывается достаточным для практических це­ лей. Можно привести немало примеров, подтверждающих это положение. Благодаря наличию конечных, хотя и малых на­ чальных искривлений и малых эксцентрицитетов предельное состояние сжатых стержней достигается при нагрузках, мень­ ших, чем критические силы для центрально сжатых стержней. В качестве другого примера укажем на задачи об устойчивости тонких упругих оболочек. Во многих из этих задач сравнитель­ но малые возмущения (например, малые начальные прогибы) оказывают весьма существенное влияние на величину предель­ ных нагрузок. Это заставляет идти на уточнение расчетной схе­ мы: вместо задачи об устойчивости равновесия идеальной обо­ лочки приходится рассматривать гораздо более сложную зада­ чу о формах равновесия оболочки с конечными начальными прогибами и другими несовершенствами.

Возмущения, имеющие место в реальных конструкциях, не являются вполне детерминированными. Скорее, они имеют слу­ чайный характер и подчиняются некоторым статистическим зако­ номерностям, для изучения которых необходимо накапливать опытный материал, относящийся к испытаниям и измерениям в однородных условиях. Ввиду этого поведение конструкции при наличии возмущений должно исследоваться методами теории вероятностей и математической статистики. Основная задача

Нетрудно видеть, что такое статистическое рассмотрение со­ держит в себе как частный случай обычную трактовку устойчи­ вости. При этом устойчивой форме равновесия будет соответст­ вовать максимум вероятности ее реализации, неустойчивым — ■минимум вероятности. Значение параметра нагрузки, при кото­ ром рассматриваемому равновесию перестает соответствовать максимум вероятности, представляет собой не что иное, как критичеокое значение в теории упругой или неупругой устойчи­

вости. Вместе с тем статистическое рассмотрение позволяет описать поведение конструкции по отношению к различным классам возмущений более полно, чем это возможно в рамка» обычных представлений об устойчивости.

В ряде задач, где учет возмущений является безусловно не­ обходимым, расчет ведется по максимальным или, точнее, по некоторым маловероятным максимальным значениям возмущенин. Типичным примером является расчет сжатых стержней на продольный изгиб. Начальные искривления и эксцентрицитеты

распределены по случайному закону. Тем не менее нормы рас­ чета составляются в предположении, что начальная кривизна /о и эксцентрицитет е составляют вполне определенную долю от длины стержня 7 и ядрового расстояния г, например [117]:

Эта и аналогичные рекомендации, носящие внешне детермини­ стический характер, содержат вместе с тем элементы наивного статистического подхода: они соответствуют некоторым доста­ точно маловероятным значениям возмущений (рис 38).

Существенный шаг вперед был сделан А. Р. Ржаницыным [90], который применил к задаче о продольном изгибе расчет­ ную методику, описанную в п. 22. Пусть s0 — осевое напряжение в сжато-изогнутом стержне, sa— эйлерово напряжение, а и р — безразмерный начальный прогиб и безразмерный эксцентрици-

тет соответственно. Тогда условие того, что краевые напряжения не превысят предела текучести # т

Ч1 + 7 3

\S3

может быть записано как условие неотрицательности функции

Ч?:

подчиняющимися гауссовскому распределению. Кроме того, пред.

полагается, что а = р=0. Линеаризируя функцию (4.1) и при­ меняя формулу (2.23), найдем приближенное выражение для коэффициента изменчивости

(D(a)-D({»)]

Я (Ят) + D (s0) +

( ■ - 5

Лг — s0

■Правую часть формулы (4.2) нетрудно выразить через гиб­ кость X и через коэффициент

т— _ ♦

RT

который можно трактовать как аналог коэффициента продоль­ ного изгиба. С другой стороны, коэффициент изменчивости w связан с характеристикой безопасности

1

1 ~ wv

и, следовательно, с вероятностью наступления опасного состоя­ ния Я(—). Задаваясь вероятностью Р (—), нетрудно вычислить соответствующие значения <р, зависящие от гибкости X. Таким образом были получены семейства кривых, каждая из которых соответствует некоторой установленной вероятности нарушения неравенства (4.1).

В качестве другого примера укажем на задачи устойчивости безмоментного состояния тонких оболочек. Хорошо известно [18, 39, 40], что критические силы для таких оболочек весьма чувствительны к малым искривлениям, эксцентрицитетам и дру­ гим возмущениям, отличающим условия работы реальной обо­ лочки от идеального безмоментного состояния. Поэтому опыты нередко обнаруживают весьма большой разброс критических

сил. На рис. 39 сведены многочисленные опытные результаты,

напряжения s от отношения r/Л кривые, соответствующие 90 и 99% надежности.

На связь между задачами устойчивости механических си­ стем и вероятностными понятиями указывалось и ранее [2]. Не-

5

Рис. 39

обходимость привлечения статистических методов к задачам устойчивости оболочек отмечалась, в частности, А. С. Вольмиром [39]. В обзорной работе Лангхаара [69] эта мысль была распро­ странена на теорию упругой устойчивости в целом.

В нашей работе [18] статистические методы были впервые применены к задачам нелинейной теории упругих оболочек. Развитые в этой работе методы полностью применимы и в дру­ гих задачах упругой (и неупругой) устойчивости. Настоящая глава содержит развитие этих методов.

38. Некоторые общие соображения

Предположения, на которых основана излагаемая ниже тео­ рия, сводятся « следующему. Предполагается, что возмущенное состояние может быть охарактеризовано конечным числом па­ раметров vu v2, va, а причины, вызывающие отклонение

(k = 1, 2, . . n).

В число аргументов включен параметр нагрузки q, если внеш­ ние силы изменяются пропорционально одному дараметру. В более общем случае

ющие механические свойства материала. Наконец, предполага­

Я

\ I /

как в ряде случаев явление неустойчивости тесно связано с мно­ гозначностью решений.

Рассмотрим диаграмму на рис. 40, которую можно истолко­ вать «ак построенный в первом приближении график зависимо­ сти нормального прогиба v от нагрузки q для пологой арки (рис. 41). При фиксированном значении нагрузки q=q\ имеется три решения CD, CD' и CD". Однако решение CD", как и во­ обще ветвь АВ, должно быть сразу отброшено как неустойчивое ло отношению к малым возмущениям, т. е. как физически не­ осуществимое. Остаются два решения, из которых при подходе к нагрузке q\ снизу осуществляется CD, а при подходе-сверху— CD'. Если же по условиям задачи на загруженную арку дей­

остается однозначной: если нагрузка q монотонно возрастает и Av<DD", то осуществляется решение CD, если Av>DD",торе-