книги / Статистические методы в строительной механике

В монографии систематически излагаются вопросы применения теории вероятностей и математической ста­ тистики к различным проблемам меха-ники материалов и конструкций. Наряду с традиционными проблемами, рас­ смотрен ряд новых вопросов, представляющих интерес в. связи с расчетами на прочность строительных конструк­ ций, а также с расчетами на прочность в машинострое­ нии, авиации и других областях современной техники. В частности, большое внимание уделено проблеме колеба­ ний и устойчивости упругих систем при наличии случай­ ных возмущений и проблеме накопления повреждений в конструкциях. Эффективное решение этих проблем может быть получено только при использовании стати­ стических методов.

Книга рассчитана на инженеров-проектировщиков, научных работников, аспирантов и студентов старших курсов, специализирующихся в области строительства, машиностроения и авиации, а также в других областях, требующих повышенных знаний по вопросам прочности материалов и конструкций.

ПР Е Д И С Л О В И Е

Внастоящей книге, которая является переработанным и существенно дополненным изданием одноименной монографии, системэтически излагается применение методов теории вероят­ ностей и 'математической статистики к различным проблемам строительной механики и прочности. Наряду с традиционными проблемами в книге рассмотрен ряд новых вопросов, эффек­ тивное решение которых может быть получено только прн ис­ пользовании статистических методов.

иматематической статистики к вопросам механики материалов,

иконструкций появился ряд новых работ, а также наметились некоторые новые направления. Это сделало целесообразным включение во второе издание нового материала. При этом объ­

ем книги увеличился в полтора .раза.

Книга состоит из введения и семи глав. В первой главе излагаются начальные сведения из теории вероятностей и ма­ тематической статистики (читатель, знакомый с этими раздела­ ми математики, может первую главу пропустить). Вторая гла­ ва целиком посвящена вопросам, связанным с исследованиями надежности конструкций и статистической природы коэффициен­ тов запаса. (В третьей главе излагаются современные статистиче­ ские теории хрупкого и усталостного .разрушений. В четвертой главе рассматриваются вопросы .исследования устойчивости конструкций П1ри наличии случайных возмущений. Пятая глава посвящена колебаниям упругих систем под действием случай­ ных сил. В шестой главе исследуется проблема накопления по­ вреждений © конструкциях при случайных нагрузках. Послед­ няя, седьмая глава содержит изложение статистической теории сейсмостойкости сооружений. Как видно из этого краткого об­ зора, главы обладают известной самостоятельностью.

Результаты, полученные автором, сосредоточены в третьей— седьмой главах. Некоторые из них публикуются впервые. В тех

вующие ссылки. Список литературы, который приведен в конце книги, помимо работ, использованных при ее написании, со­ держит также известные автору работы, непосредственно или косвенно связанные с применением статистических методов в строительной механике. Ссылки на некоторые из них в тексте могут отсутствовать.

В настоящем издании сильнее подчеркнута связь между приложениями статистических методов в строительной механи­ ке, с одной стороны, и теорией надежности— с другой; вклю­ чены дополнительные разделы, касающиеся обобщения стати­ стической теории хрупкого разрушения и расчета накопления усталостных повреждений .при процессе изменения напряжений, содержащем несимметричные и -сложные циклы ; дана новая редакция статистической теории кривой усталости; приведены некоторые дополнительные материалы по приложениям стати­ стической теории устойчивости упругих оболочек; дана общая характеристика методе® статистической динамики; более под­ робно изложена теория колебаний упругих систем при нагруз­ ке, представляющей собой пространственно-временной случай- •ный процесс, изложен метод интегральных оценок для случая татр узок, обладающих широким спектром; приведены сведения то применению теории марковских процессов в строительной механике; даны некоторые новые приложения статистической теории сейсмостойкости. Существенно дополнен список лите­ ратуры. Кроме того, внесен ,ряд других мелких методических и редакционных изменений и дополнений.

На стиле настоящей книги отразились два обстоятельства: во-первых, то, что она рассчитана в первую очередь на лиц, имеющих математическую подготовку в объеме втуза (учебные планы большинства втузов, как известно, не предусматривают подготовки по теории вероятностей), и, во-вторых, необходи­ мость уложиться в небольшой объем. По этим причинам мно­ гие математические положения даны без доказательства; в дру­ гих случаях доказательства заменены наводящими указания­ ми. Вместе с тем, ряд чисто прикладных вопросов пришлось из­ ложить -более лаконично, чем это хотелось бы сделать.

Автор выражает благодарность М. Ф. Димеитбергу, В. Н. Мо­

ческого института, внимательно прочитавшим книгу и про­ верившим все выкладки, а также всем читателям, сообщив­ шим автору свои замечания и пожелания но первому изданию книги.

с более или менее редкими .перегрузками. Случайный характер имеют и механические характеристики материала. Марка ма­ териала назначается1 проектировщиком; однако хорошо из­ вестно, что материал одной и той же марки, изготовленный в одинаковых условиях, может иметь различные механические свойства. В гораздо меньшей мере проявляется изменчивость геометрических размеров и формы элементов конструкции. Тем не менее в ряде случаев эта изменчивость играет существенную роль, заметно влияя на несущую способность элементов (на­ пример, для сжатых стержней, пластин и оболочек).

Случайный характер основных расчетных величин учиты­ вается при выборе коэффициента запаса, выяснению статисти­ ческой niDироды которого способствовали работы М. Майера [177], Н. Ф. Хоциалова [121—122], H. С. Стрелецкого [109--116] и А. Р. Ржаницына [87—94]. В более явной форме этот случай­ ный характер отражен в ныне действующих нормах расчета строительных конструкций, надлежащее обоснование которых без статистического анализа изменчивости нагрузок и сопротив­ ления материала оказалось бы невозможным {7, 58]. Помимо этой наиболее простой и вместе с тем ставшей классической области 'применения статистических методов имеются другие проблемы, разрешение которых 'возможно лишь на основе ис­ пользования методов теории вероятностей и .математической статистики. Остановимся на некоторых из них.

Важнейшей областью применения вероятностных методов, несомненно, является создание общей теории прочности и де­ формирования твердого тела. Хорошо известно, что 'Прочность реальных тел зависит от сложного взаимодействия таких слу­ чайных факторов, как прочность и анизотропия отдельных кри­ сталлитов, зерен и агрегатов, прочность межзеренных образо­ ваний, распределение дислокаций и других дефектов в зернах и т. п. Наука еще ждет создания теории прочности и деформи­ рования твердых тел, .которая в единых рамках дала бы стати­

ползучесть и т. п. Такая теория позволила бы гораздо глубже подойти к этим явлениям, для которых в настоящее время мы имеем практически лишь феноменологические соотношения, в лучшем случае дающие согласие с тем или иным ограничен­ ным кругам экспериментальных данных. Поликристаллическое или зернистое тело представляет собой гораздо более сложный для изучения объект, чем объекты статистической физики. Не­ удивительно, что в создании статистической теории прочности и деформирования твердых тел сделаны лишь первые шаги. Наибольший пропреос достигнут в теории хрупкого и усталост­ ного разрушения; в связи с этим в первую очередь должны быть упомянуты .работы В. Вейбулла [207—209], Я. И. Френке-

б

ля и Т. А. Конторовой [61—63], H. Н. Афанасьева [3—6] и А. Фрейденталя [152—il53].

Другой важной областью приложения статистических мето­ дов является теория упругой и неупругой устойчивости. Само понятие «устойчивость» или «неустойчивость» характеризует реакцию системы на действие возмущений, стремящихся от­ клонить ее от рассматриваемого положения равновесия. По­ скольку эти возмущения носят случайный характер, то стати­ стический подход является дальнейшим шагом вперед в раз­ витии теории упругой и неупругой устойчивости. Важнейшим приложением в этой области, несомненно, является статисти­ ческий анализ явлений неустойчивости тонких упругих оболо­ чек [18].

Колебания упругих систем под действием случайных сил

также должны изучаться с привлечением методов теории .веро­ ятностей. Наиболее простой и вместе с тем типичной задачей является задача о воздействии на упругую систему случайных сил, представляющих собой стационарный случайный процесс. Сходные задачи широко обсуждались в теории автоматического регулирования и ,в теории .связи. В .последнее время появилось много .работ, в которых методы, подробно разработанные в связи с упомянутыми выше задачами, переносятся без суще­ ственных изменений на задачи о колебаниях упругих систем. Однако в задачах такого ;рода могут возникнуть специфические вопросы, связанные со статистическим взаимодействием раз­ личных степеней свободы, пространственной корреляцией на­ грузок я др.

■Весьма важной проблемой является проблема накопления повреждений в конструкциях при случайных перегрузках. По­ скольку все конструкции ,в течение срока эксплуатации испыты­ вают более или менее частые перегрузки, то проблема накоп­ ления повреждений приобретает весьма универсальный харак­ тер. В частности, теория расчета конструкций по предельному состоянию может рассматриваться как частный вопрос более общей и сложной проблемы накопления повреждений. Хотя от­ дельные вопросы теории накопления повреждений при случай­ ных перегрузках рассматривались и ранее, систематическое изучение этой проблемы было начато, по-видимому, в работах автора [22, 25—08].

В настоящее время являетая 0|бщшрнзнанным, что сейсми­ ческое воздействие носит ярко выраженный случайный харак­ тер. Эта точка зрения высказывалась Г. Хаузнерам [159] и дру­ гими авторами. С одной стороны, землетрясение представляет собой случайный акт высвобождения энергии в некотором пункте земной коры. С другой стороны, движение трунта в каж ­ дом пункте земной поверхности благодаря .многократной ди­ фракции и интерференции сейсмических волн является неста-

дионарным случайным процессом {45]. Статистическая теория сейсмостойкости, основавшая на .представлении ускорений грунта в виде (нестационарного случайного процесса, -была пред­ ложена в работах [20, 21].

Применение статистических методов в строительной меха­ нике тесно связано с теорией надежности. Теория надежности стала усиленно разрабатываться в последнее десятилетие глав­ ным образом в связи с проблемой повышения надежности ра­ диоэлектронной аппаратуры, цифровых вычислительных машин я т. п. [14, 128]. Однако впервые вопросы надежности возникли именно в связи с механической прочностью конструкций. Задол­

го до того, как проблема надежности возникла в радиоэлектро­ нике, инженеры, по существу, пользовались понятиями и мето­ дами теории надежности при механическом расчете конструк­ ций. Многие основные понятия теории надежности давно уже сформировались в строительной механике. Таковы понятие от­ каза (выхода конструкции из строя, достижения предельного состояния в широком смысле этого слова), понятие меры на­ дежности (вероятности безотказной работы в течение установ­ ленного времени эксплуатации). Такая мера повышения надеж­ ности, как резервирование, широко применяется при проектиро­ вании ’конструкций в виде использования статически неопреде­ лимых систем и т. п. В некоторых вопросах разработка теории надежности механических систем ушла дальше, чем в радио­ электронике. Так, теория накопления усталости при случайных нагрузках содержит, по существу, теорию надежности систем с накапливающимися повреждениями. Статистическая теория хрупкого разрушения тел, по существу, является теорией надеж­ ности систем, составленных из весьма большого числа элемен­ тов, и т. п. Хотя в настоящей книге мы не будем проводить сис­

Методы теории вероятностей и математической статистики могут иметь разнообразные и вместе с тем плодотворные ‘При­ ложения к различным проблемам строительной механики. Од­ нако необходимо весьма четко представлять себе границы при­ менения статистических методов. Этот вопрос имеет важное принципиальное значение, и поэтому точка зрения на него должна быть высказана с предельной ясностью. Здесь сущест­ вуют две опасности: опасность переоценки роли статистических методов для строительной механики в целом или в отдельных приложениях и опасность их недооценки. Поскольку недооцен­ ка статистических методов может возникнуть как нежелательная реакция на их чрезмерную переоценку и на их использование за границами применимости, то обе крайности должны быть рассмотрены совместно.

Случайные явления служат 'предметом изучения двух род­ ственных наук: математической статистики и теории вероятно­ стей. Математическая статистика предоставляет методы обра­ ботки данных, получаемых в результате массовых наблюдений над случайными явлениями. Для применения .методов матема­ тической статистики весьма важным является возможность многократного осуществления случайного события в практи­ чески однородных условиях. Такое событие называется массо­ вым. Только для массовых событий статистическая обработка становится возможной и ее результаты приобретают смысл. Теория вероятностей дает обоснование правил действия над ве­ роятностями, которые являются объективной мерой возмож­ ности осуществления случайного события. Связь между мате­ матической статистикой и теорией вероятностей создается бла­ годаря статистическому истолкованию вероятности: вероятность определяется как некоторое теоретическое значение, около ко­ торого колеблется эмпирическая частота случайного события. За исключением элементарных задач, когда вероятность может быть найдена из рассмотрения числа равновозможных случаев или из комбинационных соображений, единственным источни­ ком для .получения исходных вероятностей является статисти­ ческая обработка результатов наблюдений. Поэтому теория вероятностей, как и математическая статистика, .практически является математической теорией массовых случайных явлений.

Уже из Impнаеденного весьма .поверхностного очерка взаи­ моотношений между теорией вероятностей и математической статистикой, с одной стороны, и действительным миром — с другой, вытекает вывод, накладывающий ограничение на об­ ласть использования статистических .методов. Изучаемые слу­ чайные события должны носить массовый характер, допускаю­ щий многократную реализацию в практически однородных ус­ ловиях, а вероятности, над которыми производятся математиче­ ские операции, должны быть подкреплены надлежащим коли­ чеством .опытных данных.

Наиболее уязвимым местом в приложениях статистических методов к некоторым задачам строительной механики является

понятие случайного события, состоящего в разрушении кон-

струкции. Целью инженерного расчета является выбор такой конструкции, разрушение которой было бы весьма маловероят­ ным событием. Поэтому по существу своему разрушение кон­ струкции не может быть массовым событием, и статистическое истолкование вероятности утрачивает для него смысл. К тому же однородные условия для работы сооружения или конструк­ ции редко осуществимы. Исключение составляет разрушение конструкции при чрезвычайно сильных землетрясениях и при других аналогичных воздействиях. В связи с тем, что такие воз­ действия являются .редкими событиями, условная вероятность

разрушения конструкций тори этих воздействиях может быть принята достаточно большой.

Малые вероятности разрушения, если они найдены верно, все же сохраняют значение как некоторые объективные харак­ теристики возможности наступления случайного события. Они приобретают смысл при сравнении их между собой, позволяя сопоставить риск разрушения различных конструкций, или од­ ной и той же конструкции « разных условиях работы. Следова­ тельно, то обстоятельство, что разрушение конструкций в нор­ мальных условиях эксплуатации не может быть .массовым собы­ тием, не является, как некоторые считают, причиной, исклю­ чающей вовсе возможность применения статистических мето­ дов. Важно лишь, чтобы выводам, которые получаются при их использовании, не приписывалось абсолютное значение. При умелом использований статистические методы могут дать цен­ ные качественные и количественные результаты даже там, где статистическое истолкование вероятности утрачивает смысл.

При статистической оценке возможности наступления ред­ ких событий возникает и другая трудность. Чтобы с большей до­ стоверностью предсказать малые вероятности, необходимо, что­ бы исходные вероятности, определяемые в конечном счете путем статистической обработки результатов массовых наблюдений, были найдены достаточно точно, особенно в области малых вероятностей. С другой стороны, чем выше требования к точ­ ности, с которой определяются эмпирические частоты, тем боль­ ше должно быть число наблюдений. Поэтому при оценке ма-

.лых вероятностей нередко приходится прибегать к экстраполя­ ции данных, относящихся к немалым вероятностям, в область, где вероятности весьма малы. Для подобной экстрапо­ ляции необходимо было бы иметь сведения об асимптотических свойствах в области малых вероятностей, но они, как правило, отсутствуют. Вследствие этого имеется еще одно основание, чтобы не переоценивать результаты, которые получаются в тех приложениях статистнчеоких методов, где по характеру задачи приходится оперировать со слишком малыми вероятностями.

Там, где рассматриваемые вероятности не являются слиш­ ком малыми, обе указанные трудности либо отпадают вовсе, либо существенно смягчаются. Если вероятность события не мала, то это значит, что событие допускает многократное вос­ произведение и что для доверительной оценки этой вероятности •не требуется чрезмерно большого количества опытов. Имеется широкий «руг проблем строительной механики, применение статистнчеоких методов к которым вполне оправдано и, более того, для которых статистические методы являются наиболее адекватным средством исследования. Так, без применения ме­ тодов теории вероятностей и математической статистики нельзя представить себе создание теории деформирования и прочности