книги / Термодинамика

Итак, развитие процесса представляется в следующем виде. На начальном участке трубы к движущемуся с небольшой скоростью потоку подводится теплота, вследствие чего скорость течения и число М начинают расти. Одно­

временно растет и температура, которая при М = 1/'|/гй достигает максимума. Последующий подвод теплоты в до­

звуковой области (1 /1 /^ < М < 1 ) сопровождается даль­ нейшим ростом числа М и скорости потока, но теперь уже при понижающейся температуре. После того как достигну­ то значение М =1, для увеличения скорости потока соглас­ но уравнению (16.36) теплоту следует уже не подводить, а отводить (dq<Z0).

Не вдаваясь в подробности, отмечаем, что в цилиндри­ ческой трубе ускорение потока с переходом от дозвуковых скоростей к сверхзвуковым достигается посредством по­ следовательного воздействия на поток внешним подводом и отводом теплоты. В связи с этим трубу, в которой осу­ ществляется такого рода процесс, уместно назвать тепло­

в ы м с о п л о м .

Согласно изложенному сопло Лаваля не является единственным инструментом перехода через звуковую ско­ рость. Такой же эффект может быть достигнут с помощью как механического, так и теплового сопла. При этом во всех случаях переход через состояние, соответствующее условию М=1, требует изменения знака внешнего воздей­ ствия, посредством которого вызывается увеличение ско­ рости потока.

Рассмотрим влияние последнего слагаемого в левой ча­ сти уравнения (16.32) — работы трения d/Tp. Как и в пре­ дыдущих случаях, примем, что влияние всех остальных воздействий исключено: dF=dq=^dtr=0. Получаем урав­ нение

согласно которому при дозвуковом течении (М<1) трение в цилиндрической трубе обусловливает увеличение скоро­ сти потока (dw>0). При этом, как следует из уравнения энергии

kj (k—1 )R dT = —wdw,

температура с ростом скорости падает и, следовательно,

уменьшается { скорость звука a=}fkRT. Таким образом, вниз по потоку число М растет, и при соответствующей длине трубы может быть достигнута звуковая скорость те­ чения (М =1), Однако в отличие от предыдущих случаев здесь выход в область сверхвузковых скоростей неосущест-

вим, так как величина d/Tp существенно положительна и, следовательно, изменение знака внешнего воздействия не­ возможно. Это означает, что условие М=1 может выпол­ няться только на выходном срезе трубы.

Нетрудно обнаружить, что при сверхзвуковых скоростях на входе в трубу наличие трения замедляет поток и приво­ дит к росту температуры. Очевидно, при этом число М па­

реализуем. Здесь необходимо оговориться, что уравнение (16.40) описывает непрерывные изменения скорости, тогда как в действительности торможение сверхзвукового потока происходит скачком с образованием ударной волны сжа­ тия. Впрочем, эффект удара не является неизбежным, по крайней мере с точки зрения термодинамики, однако обсуждение этого вопроса выходит за рамки рассматри­ ваемой темы.

Рассмотрим вопрос о влиянии трения на условия пере­ хода через критическую скорость для всех трех рассмо­ тренных ранее сопл: геометрического, механического и теп­ лового. Имеем соответственно

Согласно данному выше определению критические условия соответствуют ситуации, когда М=1, т. е. М2—1 = =0. Отсюда следует, что в уравнении (16.41) критические условия М=1 достигаются не в горле, а в расширяющейся

показывает, что при наличии трения процесс разгона дви­ жущейся среды до звуковой скорости затягивается на ту часть сопла, в которой при отсутствии трения наблюдал­ ся бы уже закритический режим.

Допустим теперь, что у нас имеется серия одинаковых во всех отношениях цилиндрических труб, различающихся только значениями коэффициента трения на внутренней поверхности (например, из-за различной шероховатости).

292

раметры на входе (Ро, v0) идентичны, одинаков также рас­ ход через трубы 0 • Очевидно, что согласно уравнению сплошности в этих условиях для всех труб

GiF = w /v= const;

отсюда ясно, что значения ш и v взаимио-однозначно свя­ заны. Очевидно, чем больше трение, тем больший перепад давления необходимо приложить к трубе, чтобы протолк­

объемному расходу, можно заключить, что для данной се­ рии труб скорость на выходе определяется уровнем их ше­ роховатости. При этом каждому уровню шероховатости соответствует вполне определенная комбинация параметров состояния на выходе, т. е- определенная точка i, s-диаграм­ ме. Геометрическое место таких точек (рис. 16.7) называ­ ется кривой Фанно по имени автора, впервые получившего их в 1904 г.

Выведем дифференциальное уравнение, определяющее вид кривой Фанно в i, s-диаграмме. Для этого обратимся

Согласно (6.13) производим здесь замену (dp/ds) = —р2(дТ/др)а, кроме того, имеем (dpjdp)s= a2. Наконец на основе сопоставления уравнения энергии di-\-wdw=0 и за­ писанного для условия F=const уравнения сплошности dplp-\-dw Iw = 0 получаем dp—p (dityw2) . Подставив ука­ занные величины в (16.45), найдем

293

В Заклк)ченке более подробно остановимся hà вбпробё

в двух вариантах: заданы граничные условия — параметры потока на входе в сопло и выходе из него и режимный па­ раметр-расход, подлежат определению размера сопла; заданы параметры потока на входе и выходе и размеры сопла, подлежит определению расход. Первый вариант принято называть прямой задачей, второй — обратной.

Будем полагать, что на входе заданными всегда явля­ ются давление ро и удельный объем Vo (для идеального газа температура Т0). В выходном сечении сопла задаем ра— конечное давление или Яа — приведенную скорость. Параметры на входе в сопло и выходе из него вместе с рас­ ходом составляют краевые условия, т. е. условия, доста­ точные для получения единственного решения первого ва­ рианта задачи. Краевыми условиями во втором варианте являются параметры на входе и выходе и геометрия сопла.

Исследование изменения параметров в процессе истече­ ния начнем с рассмотрения удельного объема. Из формул (16.23) и (16.29) получим (обозначим Р=р/Ро):

VI П0= [ 1—Ч (1—Э^А*-1)) ] / р;

Здесь и далее для наглядности выводов используется уравнение адиабаты pyft=const, однако такой подход не обязателен, и на практике для идеальных газов расчеты истечения выполняются часто с помощью прямого построе­ ния соответствующих процессов на i, 5-диаграмме.

С помощью формул (16.8), (16.27) и (16.20) предста­ вим действительную скорость потока так:

X | / 1 -

где ф — коэффициент скорости. Подставив полученные со­ отношения в уравнение G=Fwjw, найдем

1 /(Ар—1)

(16.48)

0 = f / - 5r / 2 ^ ( r b )

где q — безразмерная величина, которая в зависимости от того, каким образом заданы краевые условия, может быть

Выражена через ра или ка. Имеем соответствен^ ^ + iy/№-D

Расчеты по этим формулам можно существенно упро­ стить, если ввести хорошо известную газодинамическую функцию

„Р)=(‘4'У,,*“Yî±|ГKÎHF-\)Пг

или в другом представлении

По своему физическому смыслу эта функция представ­ ляет собой отношение удельного расхода (плотности тока рдо) в текущем сечении к его критическому значению. Вме­ сте с тем по отношению к функции q уравнений (16.49), (16.50) она является предельным случаем течения без по­ терь (г|=1). В дальнейшем будем помечать эту функцию индексом «ид» — в отличие от q(%a, т|) или <7(ра, г|).

Формула (16.49) легко приводится к виду

равным образом (16.50) преобразуется к виду

Значения г/„„ и тид следует определять по таблицам га­ зодинамических функций, принимая в качестве аргумента Х„д=Х,а/ф или р.

296

Графики на рис. 16.8 позволяют наглядно представить ход решения прямой и обратной задач для сопла Лаваля. Как и ранее, везде полагаем, что вдоль каждой кривой q=f($) значение КПД не меняется. По отношению к реальной ситуации это является упрощением, особенно,

для диффузорной части сопла. Нетрудно увидеть, что из­ менение За или Ха вызывает перемещение выходного сече* ния сопла вдоль кривой l/q. Каждое значение q в интер­ вале qa—<7мдкс поток проходит дважды: один раз при до­ звуковой скорости, второй — при сверхзвуковой, что соот­ ветствует двум корням уравнений (16.49) или (16.50), при решении его относительно q.

Таким образом, точки каждой кривой, с одной сторо­ ны, соответствуют параметрам потока в последовательно расположенных сечениях данного сопла, характеризуемого только некоторым постоянным значением т]. Выбор значе­ ния Ха( Р а ) определяет выходное сечение — выделяет реа­ лизуемое в данном сопле течение. С другой стороны, каж­ дая кривая определяет для множества сопл, характеризуе­ мых данным значением т], изменение ца в зависимости от значения параметров (X или {$) в выходном сечении.

Кривая 1 представляет течение без потерь (т]=1), для кривых 2 и 3 значения КПД составляют т]2 и т|з, соответ­ ственно, причем т|3<Ст]2* На рис. 16.8,6 относительное дав­ ление р= р/р0 изменяется от 1 до 0. При этом <р-Я) соот­ ветствует истечение в абсолютный вакуум (/?->0), a fl-M отвечает отсутствию движения потока (р->Ро)- Величина 1jq пропорциональна относительной площади проходного сечения канала. При р = 0 и ($=1 эта площадь стремит­ ся к бесконечности. Для течения без потерь (кривая 1) минимальное значение площади, т. е. максимум функции

2S7

щей из формул (16.28). При наличии потерь Рмакс<1, при­ чем, как показывают подробные расчеты, которые здесь не приведены, изменение <7макс практически пропорциональ­ но КПД процесса.

Функцию 1 /.<7 на рис. 16.8 можно понимать как отобра­ жение в некотором масштабе криволинейного обвода соп­ ла Лаваля, поток в котором направлен слева направо, истечение безотрывное и происходит в абсолютный ва­ куум, а горлу соответствует значение q = q Mauc Видно, что с ростом потерь (например, из-за роста шероховатости стенок канала) площадь, потребная для пропуска задан­ ного расхода (заметим, что массовые расходы во всех сравниваемых случаях одинаковы) возрастает; возрастает также давление в горле.

Рассмотрим несколько подробнее влияние потерь на изменение параметров потока в горле сопла. Условимся отмечать индексами: г — параметры в горле, * — парамет­ ры в критическом состоянии, -|---- параметры в горле при максимальном расходе через сопло. В случае отсутствия потерь, очевидно, однородные величины, отмеченные тре­

рг='Р+>'Р.; рг= р +>р*; Я.Г=Х < 1 . Значение С м ож ет быть определено из условия d q / d \ = 0, где q рассчитывается по формуле (16.50). Выполнив необходимые преобразования, найдем

дит к тривиальному результату À+= l . Значение р+ (а зна­ чит и р+) можно найти из (16.29) после подстановки А,=Я,+. Из (16.51) видно, чем больше потери, тем меньше К+. При этом влияние потерь усиливается с ростом пока­ зателя адиабаты k. Хорошо известно, что при наличии потерь критические условия (т. е. совпадение скорости потока с местной скоростью звука) достигаются за гор­ лом— в расширяющейся части сопла Лаваля — это отчет­ ливо видно на рис. 16.8,а. Таким образом, получена пол­ ная иллюстрация соображений, высказанных ранее при обсуждении формулы (16.41).

Среди всех возможных режимов течения выделяется расчетный режим. Его отличительные признаки: совпаде­ ние давления р0 в выходном сечении сопла с давлением

298