книги / Термодинамика
..pdfясно, что чем большая часть перепада давления расходу ется на преодоление трения, тем меньше возрастает кине тическая энергия. Вместе с тем из уравнения (16.1) видно,, что любое изменение кинетической энергии сопровождается соответствующим изменением энтальпии. В полном согла сии с этим рассуждением из уравнений (16.1) и (16.2) получим
vdp—di—dlTр,
откуда следует, что чем больше трение, тем меньше при данном перепаде давления перепад энтальпии. В связи с этим естественно назвать КПД процесса отношение дей
ствительного |
перепада |
энтальпии |
к перепаду энтальпии, |
|||
который имел бы место |
при |
том |
же перепаде давления |
|||
в идеальном |
(т. е. без |
трения) |
процессе, ? |
|
||
|
|
|
О— I |
|
М |
(16.7) |
|
|
1 о |
Ыд |
ДЫд |
||
|
|
|
Наряду с КПД в технических расчетах применяют так же следующие коэффициенты: £ — коэффициент потерь и Ф — коэффициент скорости, причем
С = |
(' - '.« )/('» - |
'ид) = 1 — 1); |
9 = |
w/wm = V T , |
(1 6 .8 ) |
где а/ид = |
)/г2 (i0— /нд) . |
Поскольку |
все |
три величины |
С, <р, |
г) однозначно связаны друг с другом, они в равной мере могут служить характеристикой эффективности канала.
На практике расчетные задачи обычно возникают в та кой постановке, что заданными можно считать начальные параметры и давление на выходе (точка 0 и давление р на рис. 16.1). При этих граничных условиях реальный про
цесс |
вдоль линии 0— 1 рассматриваем как |
суперпозицию |
двух |
простых процессов: изоэнтропийного |
расширения |
О—1' |
и изобарного сжатия 1'—1. Рассмотрим процесс |
|
О—1' |
Изоэнтропийная скорость при давлении р может быть |
найдена из уравнения (16.2), в котором следует положить ditр=0. Тогда уравнение (16.2) упрощается до равенства
d(w\J2) = — vdp.
из которого получаем
(16.9)
• = - j 'vdpPO
Чтобы представить решение в замкнутом виде, необхо димо располагать аналитической зависимостью v= f(p)s.
Для идеальных газов такая зависимость дается формулой pvk= const, подстановка которой в подынтегральное выра жение дает
® и д = / < + 2 г = т л ° 011 ~ (Р !р У к~1 тI • (16л0)
Формула (16.10) получена в идеально-газовом прибли жении, т. е. она является точной для рабочих тел, удовлет воряющих условию pv=RT или, что то же самое, характе ризующихся условием 2=1 (где z= pv/R T — коэффициент сжимаемости). Однако область применения формулы {16.10) может быть расширена и на неидеальные газы в тех случаях, когда они удовлетворяют следующим двум усло виям: во-первых, адиабатное расширение может быть опре делено уравнением вида pvk= const и, во-вторых, коэффи циент сжимаемости газа может рассматриваться как функ ция одной только энтропии z= f(s). Последнее означает, что для изоэнтропийного процесса такого неидеального газа произведение zR получает смысл своего рода «локаль ной газовой постоянной» R'—zR, так что в пределах каж дой изоэнтропы удовлетворяется условие pv=R'T.
Анализ обширного экспериментального материала по казывает, что условие z= f(s) практически во многих слу чаях выполняется достаточно точно. Однако следует иметь в виду, что рабочее тело, которое в известном интервале параметров хорошо удовлетворяет этому условию, при других параметрах может ему совершенно не удовлетво рять. Отсюда следует, что использованию формулы (16.10), равно как и других формул аналогичного характера, дол жен предшествовать соответствующий анализ физических свойств рабочего тела, и если эти формулы неприменимы, скорости необходимо определять, непосредственно считы вая энтальпии при соответствующих давлениях с i, s-диа граммы.
Очень существенно, что применительно к перегретому пару при реальных для современной энергетики парамет рах условие z=f(s) выполняется с хорошим приближени ем, так что адиабатные процессы перегретого пара доста точно надежно определяются уравнением (16.10). При этом, чтобы не усложнять расчет уточнением локальных значений R', в расчетах перегретого пара в формуле <16.10) целесообразно сохранять произведение p0vо.
Теплоемкости идеальных газов зависят от температу ры, однако возможны ситуации, когда в пределах рассма триваемого процесса их допустимо считать постоянными.
272
Соответственно возможны два варианта постановки расчета: при k=f(T) и при Æ=const. Формула (16.10) применима в обоих случаях, причем при k=* =f(T) значение k следует брать как некоторое среднее на интервале от 0 до 1' При этом часто используются формулы
k= f (Тср)> где Гср=0,5 (Уо- +Гид), и k=\g(po/p)J\g(vmiJvo).
Первая формула дает некоторую погрешность, поскольку обычно k является нелинейной функцией 7, вторая обес печивает точное решение уравнения (16.10). Обратим вни мание, что при k ^ l формула (16.10) неприменима. (Си туация, когда А ^1, может возникнуть, например, при рас чете равновесных изменений состояния влажного пара.)
Если рассматривается истечение, формула (16.10) при
нимает вид |
|
« w =Y2r h P*v* <1 - |
Р № _ ,,/‘ ) |
где р=р/РоХарактер зависимости |
шид= /(р ) показан на |
рис. 16.2, из которого видно, что при уменьшении р в ин тервале между р=0,8 и р=0,2 скорость растет почти ли нейно; при больших и меньших р возрастание скорости идет быстрее. Интересно заметить, что если конечное дав
ление приближается к нулю |
(р— >-0), то скорость |
отнюдь |
не возрастает неограниченно, а стремится к пределу |
||
^ид.макс== У 2 |
P°V° |
(16.12) |
Этот результат можно интерпретировать так, что при истечении в совершенный вакуум в самом крайнем случае можно исчерпать хаотическое молекулярное движение, на цело превратив его энергию в кинетическую энергию на правленного движения, но не больше. Такое истолкование становится особенно наглядным, если обратиться к случаю идеального газа, для которого в связи с тем, что poVQ= =/?То, формула (16.12) может быть представлена так:
“ 'ид. макс = V 2 k h RTo= V W * >
отсюда непосредственно видно, что максимальная скорость полностью определяется начальной температурой 70, кото-
18—3038 |
273 |
рая является мерой начальной внутренней энергии истека ющего идеального газа (т. е. энергии теплового движения его молекул). Отметим, что для достижения максимальной скорости температура газа должна была бы упасть до абсолютного нуля. Однако в действительности развитие процесса до такого конечного состояния физически невоз можно, так как при достаточном понижении температуры
отклонения от идеально-газовой модели |
будут возрастать |
|
и в некоторый момент любой газ сконденсируется. |
||
Рассмотрим теперь изобарное сжатие вдоль линии V— 1 |
||
(рис. 16.1). Очевидно, |
действительная |
скорость потока |
в точке 1 может быть |
найдена по формуле ад=фО>ид, где |
Ф — коэффициент скорости, значение которого принимаем по опытным данным, полученным ранее при исследовании аналогичных объектов.
Коэффициент скорости может принимать любые значе ния в интервале от 0 до 1, причем чем больше <р, тем мень ше потери трения. Условие ф=1 соответствует рассмотрен ному выше случаю истечения без потерь, т. е. случаю, ког да кинетическая энергия потока достигает максимально возможного для данного перепада давления значения.
Условие ф = 0 следует понимать как другой предельный случай истечения, когда кинетическая энергия среды на выходе из канала равна нулю, хотя перепад давлений в ка нале существует. Разъясняя физический смысл этой ситу ации, обратимся к уравнению (16.2), с помощью которого для рассматриваемого случая (ау^доог^) получим
Ро
Отсюда следует, что располагаемая работа здесь полно стью расходуется на преодоление трения. Нетрудно видеть,
что |
подобная ситуация соответствует |
описанному выше |
(§ |
7.6) процессу дросселирования. На |
рис. 16.1 дроссели |
рование от состояния, характеризуемого точкой 0, до дав ления р изображается линией 0—2. В рассматриваемом случае скорости на входе в канал и выходе из него равны нулю, поэтому и расход в процессе 0—2 равен нулю. В ка честве примера дросселирования при нулевых скоростях потока можно указать на диффузию среды через установ ленную в канале пористую перегородку или мембрану.
Процесс дросселирования можно осуществить также в ситуации, когда скорость потока на входе в канал не равна нулю. При этом в соответствии с определением дрос селирования как процесса, в итоге которого кинетическая
274
âHèprttn не И зм ен яем а, скорость потока на выходе из ка нала должна равняться WQ. (На практике это может быть обеспечено соответствующим подбором проходных площа дей на входе в канал и на выходе из него.) При скоростях
потока, отличных от нуля, из уравнения |
(16.2) |
получаем |
р» |
вновь |
приходим |
Таким образом, поскольку ад=ш0, мы |
квыводу, что при дросселировании располагаемая работа
иработа трения равны. На практике процесс дросселиро вания при ненулевых скоростях на входе реализуется в ча стично открытых клапанах, вентилях, задвижках и других регулирующих и запорных устройствах.
Обратим внимание, что формула (16.11) в частном слу чае потока несжимаемой жидкости (po=p=const) упроща ется до известной формулы гидравлики
w = Y 28/>/р, |
(16.13) |
где бр/р — скоростной напор. Действительно, |
представив |
величину р в виде р=р/р0= (Ро—àp)Jpo— 1 —ôp/po, получим
ft-l |
|
к—I |
|
к—l |
dp |
к—I |
|
|
||
ft |
* |
\ |
____ SP_\ |
к _ |
, |
1 |
/ |
|||
P |
|
Po ) |
— |
l |
к |
~пГ~' |
к |
2й |
[ |
dp \*
P , ) — '
Если ô p / p o < C l , то, отбрасывая |
члены, |
содержащие |
ô p / p o в степенях выше единицы, из |
уравнения |
( 1 6 . 1 1 ) по |
лучаем формулу |
|
|
® = / 2 F=7fA».nr-^- |
= \ / * Ï Ï P > |
которая в связи с тем, что и0=и=1/р, равнозначна (16.13). Сопоставим значения кинетической энергии, соответст вующие изоэнтропийиому и реальному истечению при оди наковом изменении давления. На основании уравнений
(16.2) и (16.9) имеем
Ро |
Ро |
Производя почленно вычитание, получаем
р
^ к .т р = ^К.ид |
'•= ^тр |
J (^ид |
v ) d p * |
( 1 6 . 1 4 ) |
Ро
где ÉfK.Tp — потерянная кинетическая энергия. |
Интеграл, |
||
стоящий в правой |
части, всегда положителен, |
так |
как |
dp< 0 и и1Щ—ü<0. |
Поэтому ^к.тр</тр, т. е. потерянная |
из- |
за внутренних сопротивлений энергия меньше работы, за траченной на преодоление этих сопротивлений. Соответст вующий процесс можно представить следующим образом: адиабатный поток, преодолевая внутренние сопротивления, совершает работу /тр. При этом теплота qTр, остающаяся в потоке, частично восстанавливает кинетическую энергию, затраченную сначала в количестве, эквивалентном /тр. Ко
|
личественной |
мерой |
этого |
эф |
||||
|
фекта |
является |
интеграл |
в |
||||
|
уравнении |
(16.14). И лишь ос |
||||||
|
тавшаяся |
часть |
^тр |
не |
может |
|||
|
быть |
использована |
для |
созда |
||||
|
ния скорости в связи с относи |
|||||||
|
тельным возрастанием работы |
|||||||
|
вытеснения и внутренней энер |
|||||||
|
гии в выходном сечении. |
|
|
|||||
|
Графическая интерпретация |
|||||||
|
процесса |
дана |
на |
рис. |
16.3, |
|||
Рис. 16.3 |
который |
представляет |
собой |
|||||
|
отображение |
в |
плоскости |
р, |
||||
V участка i, s-диаграммы, показанного на |
рис. |
16.1. |
На |
|||||
рис. 16.3 площади |
представляют собой: mOlqm — распола |
гаемую работу, затраченную На создание кинетической энергии ек и на работу трения в действительном процессе; тОГ'пт — располагаемую работу, затраченную в идеаль ном (без трения) процессе на создание той же кинетиче ской энергии (вдоль линии 11" соблюдается условие i= =const). Следовательно, разность этих площадей, т. е. площадь фигуры OlqnV'O, представляет собой полную ра боту трения. Но часть этой площади, а именно площадь фигуры 01ГО, соответствует интегралу в уравнении (16.14), т. е. определяет работу Трения, идущую на восста новление кинетической энергии. И, значит, только площадь l"rqnl" характеризует «чистую» потерю.
Выше было показано, что при адиабатном расширении трение сдерживает возрастание Кинетической энергии. На против, при восстановлении Деления посредством адиа батного сжатия наличие трения» как в этом нетрудно убе диться, построив соответствующий процесс в i, s-диаграмме, вызывает необходимость в больИюм падении кинетической энергии для одинакового повышения давления в обоих — изоэнтропийном и действительном — процессах.
16.2. Критическая скорость и приведенные параметры
Исследование задач термодинамики потока примени тельно к вопросу об изменении состояния движущейся сре ды приводит к соотношениям, которыми значения искомых переменных определяются через заданные значения пара метров начального состояния /?о, Т0, ^о, являющиеся отли чительными признаками рассматриваемого частного слу чая. Получаемым соотношениям можно придать обобщен ный характер, если перейти от абсолютных значений пере менных ру T, V к относительным р/ро, Т/Т0, V/VQ, т . е. выра зить искомые значения в долях от заданных. В этом слу чае известные по условию задачи параметры начального состояния получают смысл характерных масштабов. При мером такого рода относительных переменных может слу жить уже знакомая нам величина р=р/р0, и мы в состоя нии оценить преимущества, создаваемые ее применением.
Значительно сложнее складываются условия в отноше нии скорости течения среды, причем возникающие здесь трудности ни в какой мере не связаны с необходимостью учитывать ее начальное значение (которое, кстати говоря, при изучении широкого круга вопросов, относящихся к про цессу истечения, а именно им мы будем главным образом заниматься, вообще не вводится в рассмотрение). Суть в том, что для процессов движения среды помимо основной переменной — скорости движения элементов самой среды существенной является и другая величина, также пред ставляющая собой скорость, но характеризующая эффект совершенно иной физической природы — скорость распро странения малых возмущений (звуковых колебаний). Именно эта величина есть та скорость, с которой распро страняется в движущейся среде возмущение (изменение давления), возникшее по тем или иным причинам в неко тором месте потока. Скорость распространения звука в данной точке движущейся среды полностью определяет ся ее локальными упругими свойствами и, следовательно, изменяется в зависимости от термодинамических парамет ров состояния, но совершенно не зависит от скорости тече ния и характера процесса.
Таким образом, каждый элемент среды характеризует ся двумя значениями скорости: скоростью его собственного движения и локальной скоростью (относительной для дан ного движущегося элемента) распространения звука. Эти две абсолютные характеристики могут быть сведены к од ной относительной, если построить ее в виде отношения первой из них ко второй. В этом случае масштабом (пере-
менйым) служит Локальная скорость збука. ВозмоЖёй й другой вариант, когда в качестве масштаба выбирается скорость звука в некотором, характерном для процесса со стоянии среды. Остановимся на рассматриваемом вопросе подробнее.
Известно (это было установлено еще Лапласом), что скорость распространения малых возмущений (скорость звука) в упругой среде определяется уравнением
a = V {dpidp)s = Jf - v ^ d p /d v l, |
(16.15) |
где ip=lfv — плотность. Индекс 5 означает, что рассматри ваемые малые деформации в данной точке среды сопро вождаются адиабатными и изоэнтропийными (так как фа ктически /Тр=0) изменениями местных параметров состо яния.
Для идеального газа отношение (dp/dv)8 легко нахо дится из дифференциального уравнения адиабаты k(dv/v)-\-(dp/p)= 0. В итоге получаем простые формулы
a = Ykp/p = Y k p u = \fk R T , |
(16.16) |
причем с учетом комментариев к формуле (16.10) можно утверждать, что первые два равенства (16.16) справедли вы также для перегретого пара.
Согласно третьему равенству (16.16) для идеального газа скорость звука зависит только от температуры и с ее ростом увеличивается. Кроме того, чем меньше относи тельная молекулярная масса, тем больше газовая постоян ная (см. § 3.2). Поэтому легкие газы характеризуются вы сокой скоростью звука, так, при 0°С для воздуха а= =332 м/с, для водорода а=1270 м/с.
Рассматривая давление как некоторую функцию двух параметров, например р=/(и, Т), получаем для реальных
рабочих тел уравнение |
|
|
dp/dv= |
dTjdv + (dpldo)T. |
(*) |
Имея в виду, что звуковые колебания представляют собой изоэнтропический процесс, отнесем это уравнение к про цессу s=const. Получающуюся при этом производную (dTldv), найдем по правилу круговой перестановки
(dT/dv)a(d<vlds)T(dsldT)v= — \, или (àT/àvs)e= — (dsJâv)TX X(dTJàs)v, но (dTlàs)v=T/cv и (às/àv)т— {др/дТ) П о с л е подстановки в (*) окончательно получаем
{àp/àü)s= — - ^ (àp/àT ) \ {dp/dv)Tt |
(**) |
Используя это уравнение, получаем из (16.15) |
|
а*= оа[(Г /св) (dp/dTyv- ( d p ld v ) T]. |
(***) |
В случае идеального газа полученная зависимость упро щается до (16.16), поэтому величина di может быть пред ставлена в виде
й = с/ г = |
, / ( ^ |
) = |
^ (-£ ). |
|
отсюда, выполнив дифференцирование дроби, получим |
||||
ai — |
da* |
a* |
dk |
|
|
k ^ \ |
~k~‘ |
|
Подставляя полученный результат в уравнение энергии (16.1), находим
da* |
(16.17) |
|
k — \ |
||
|
Предыдущие выкладки относятся к идеальному газу, однако дополнительное условие постоянства теплоемкостей
пока не принималось. Если |
теперь это условие |
принять, |
т. е. положить, что Æ=const и dk—0, то второе |
слагаемое |
|
в уравнении (16.17) обратится в нуль, так что получим |
||
d |
О; |
|
это означает, что вдоль всего потока справедливо условие
■^Y+frZT-f=const. (16.18)
Применим условие (16.18) к сечению канала, где мест ная скорость потока совпадает со скоростью звука, т. е. w=a. Как мы убедимся в дальнейшем, в этом состоянии поток обладает особыми, важными для развития процесса свойствами. В связи с этим, выделяя параметры в этом се чении, будем именовать их критическими и отмечать ин дексом *. Итак, имеем wt = a i, и, следовательно,
до2 а2 л2# k + 1 |
(16.19) |
|
~Т+ Г ^ 1 = ~ |
||
|
Применим теперь условие (16.18) к входному сечению канала (индекс 0) и положим, что рассматривается исте чение (о>0= 0). Очевидно, a20=kp0vo, так что в силу урав нений (16,18) и (16.19) получим формулу
а* V 2 k + 1 |
* |
(16.20) |
|
которая при оговоренном выше условии Æ=const справед лива для идеальных газов и [по тем же соображениям, что и формула (16.10)] для перегретого пара. Для идеальных газов эту формулу можно представить в виде
a* = V 2 k h ^ ; |
(16-21) |
отсюда следует, что критическая скорость данного идеаль ного газа зависит исключительно от его начальной темпе ратуры.
Формулы (16.20) и (16.21) часто используются при !гфconst. В этом случае, как ясно из вывода формулы (16.16), игнорируется тот факт, что в формуле для скоро сти звука (16.16) фигурирует местное значение А, а в фор муле (16.16) показатель адиабаты понимается как средний на интервале. Возникающая от этого погрешность при не слишком больших перепадах температуры (во всяком слу чае, при дозвуковых скоростях) мала, однако о ней не следует забывать.
Рассмотрим противоположный истечению случай, когда первоначально движущийся с определенной скоростью газ полностью затормаживается. Эта ситуация соответствует, например, процессу, который происходит с воздухом, ока завшимся против центра лобовой части движущегося са молета. В этих условиях температура Г0 в формуле (16.21) получает смысл температуры торможения, т. е. температу ры, которая соответствует полному адиабатному торможе нию.
Очевидно, начальную температуру процесса адиабатно го истечения можно понимать как температуру торможе ния. Действительно, рассматривая рис. 16.1 применительно к истечению идеального газа, видим, что температура тор можения, определенная для любой точки действительного процесса 0В, равна начальной температуре Г0 (для иде ального газа линии 7=const и £=const совпадают). Изло женное хорошо иллюстрируется формулой
= |
(16-22> |
полученной из уравнения (16.19) после подстановки в него а» из формулы (16.21) и замены a?=kRT. Сопоставив фор мулы (16.22) и (16.4), убеждаемся, что соотношения (16.18), (16.19) и (16.22) суть не что иное, как выражения закона сохранения энергии в специфическом для идеаль ного (и с постоянно^ теплоемкостью) газа виде. Легко най ти, что для идеального газа формула (16.22) тождественна
280