Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Практические занятия по высшей математике. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

8.59 Mб

Скачать

☆

1 / 211 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

И. А. КАПЛАН

ПРАКТИЧЕСКИЕ

ЗАНЯТИЯ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

Ч а с т ь I

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

И В ПРОСТРАНСТВЕ

ИЗДАНИЕ 5-е, СТЕРЕОТИПНОЕ

ИЗДАТЕЛЬСТВО ХАРЬКОВСКОГО ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ

ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА имени А. М. ГОРЬКОГО

Х а р ь к о в

1 9 7 3

517

K2G

В настоящем учебном пособии содержатся разбор и подробное решение задач по аналитической геометрии на плоскости и в пространстве.

Каждому практическому занятию предпосылаются основные сведения из теории, справочные данные и фор мулы.

Книга рассчитана на студентов высших технических учебных заведений. Она может быть полезна также пре подавателям, ведущим практические занятия.

Ответственный редактор кандидат физико-математических наук доцент Д. 3. Гордевекай.

Илья Абрамович Каплан ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

Ч а с т ь 1

Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве

Редактор А. П, Гужва

Обложка художника Я. Ф. Криворучко Техредактор Л. Г. Момот Корректор Р. £. Дорф

Сдано в набор 8/1-1973 г. Подписано к печати 28/111-1973 г. БЦ 50129. Формат 60x90l/ie* Объем: 12,75 печ. л., 12,75 уел. печ. л., 12 уч.-изд. л. Бум. л. 6,375. Заказ 3-60. Тираж 72600. Цена 56 коп.

Типографская бумага № 3 Издательство Харьковского университета, Универ

ситетская, 16. Св. ТП. 1973 г. поз. 18.

Харьковская книжная фабрика «Коммунист» Республи канского производственного объединения «Полиграфкнига» Государственного комитета Совета Министров Украинской ССР по делам издательств, полиграфии и книжной тррговли. Харьков, ул. Энгельса, 11.

0223—103

КМ226(04)—73

Книга содержит практические занятия по аналитической геометрии на плоскости и в пространстве. Цель этой книги — помочь студенту научиться самостоятельно решать задачи -по ука занному разделу курса высшей математики в высших техничес ких учебных заведениях. Она рассчитана прежде всего на сту дентов, обучающихся заочно и по вечерней системе, но может быть полезной и студентам стационарных высших технических, учебных заведений, а также преподавателям, ведущим практи ческие занятия.

Книга написана в полном соответствии с новой программой по высшей математике.

Весь учебный материал разделен на отдельные практические занятия. Перед каждым занятием помещены основные сведения из теории, определения формулы и подробное решение типовых задач различной степени трудности с полным анализом решения, причем большое количество этих задач решается различными способами и целесообразность этих способов сравнивается. Каж дое практическое занятие содержит большое число задач для самостоятельного решения, многие из них снабжены методичес кими указаниями к решению и промежуточными результатами.

Такое построение книги предоставляет студенту широкие воз можности для активной самостоятельной работы и экономит его время. Студент, пользующийся этим способом, должен перед каж дым практическим занятием выучить относящийся к нему раздел теории, внимательно, с выполнением всех действий на бумаге, разобрать решение задачи и только после этого приступить к решению задач, предложенных для самостоятельного решения.

Для удобства пользования книгой дан указатель рекомендо ванных учебников и параграфов в них, которые должны быть изучены перед каждым практическим занятием.*

* Предисловие к 4-му изданию.

Книга написана так, что она допускает не только последо вательное проведение всех практических занятий, но и исполь зование их в выборочном порядке.

Автор приносит глубокую благодарность рецензенту этой книги доктору физико-математических наук профессору Г. М. Ба женову и ее ответственному редактору кандидату физико-ма тематических наук доценту Д. 3. Гордевскому, ценные советы и замечания которых, учтенные автором, способствовали значи тельному улучшению книги.

Автор признателен также сотрудникам кафедры высшей

математики Харьковского	инженерно-строительного	института
В. Г. Александрову, Э. Б.	Александровой, В. М.	Аветисовой,

И. М. Каневской, Ю. В. Князеву, 3. Ф. Паскаловой и Л. В. Олей ник, проверившим ответы к задачам, и Р. А. Ежовой за помощь в оформлении рукописи.

Указатель учебников и параграфов, которые должны быть изучены перед каждым практическим занятием

Номер прак тического за нятия

8 и 9

Из учебника И. И. Привалова «Аналитическая геометрия»

Гл. I, § 1—5

Гл. I, § 6, 10

Гл. II, § 1—4

Гл. III, § 1—6, 14, 15 Гл. III, § 7—13

И.з гл, III повторить все ра нее изученные параграфы

Гл. III § 16

Гл. I, § 11; гл. II, § 16 Повторить из гл. I § 11

ииз гл. II § 1—6 Гл. IV, § 1, 2, 3, 8

Гл. IV, § 4, 5, 9, 10, 17 Гл. V, § 1, 2, 6, п. 3 Гл. V, § 3, 6, п. 2

Разобрать страницы 29, 33 по книге «Высшая математика. Ме тодические указания и контроль ные задания» 1959 г.

Гл. VI, § 1—8

Ч. II, гл. I, § 1—4

игл. II, § 1— 15

Ч. II, гл. III, § 1—3

игл. IV, § 1—10

Ч.И, гл. V, § 1—5

Ч.II, гл. V, § 6—10

Ч.II, гл. III, § 4 - 6 , гл. VI, § 1 -12

Из учебника Н. В. Ефимова «Краткий курс аналитической геометрии»

§	1,	2,	3,	5
§	6,	7		16,	17,	19,	20,	22
§	11—13,

§18, 23 Повторить § 6—23

§22

§4, § 11-15

Повторить § 4 и § Ч —15

§24, 25, 26

§14, 30—32, 35, 36

§10, 43, 45

§10, 45

То же самое

Приложение, § 1—0 § 46—61

§ 62, 66, 67, 68, 71

§69—71

§64, 65, 72—76

ПЕРВОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ

С о д е р ж а н и е : Координаты точки на плоскости. Расстояние между двумя точками.

На первых двух практических занятиях мы будем решать задачи, связанные с применением первоначальных формул ана литической геометрии на плоскости. Сюда относятся такие задачи:

1) определение расстояния между двумя точками на пло скости;

2)деление отрезка прямой в заданном отношении;

3)определение площади треугольника по координатам его вершин.

На этом и последующих практических занятиях по анали тической геометрии будут применяться только две системы коор динат: прямоугольная система на плоскости и в пространстве и полярная.

Когда в условии задачи будет сказано «дана точка», то это значит, что координаты точки известны. Если же в задаче будет поставлено требование «найти точку», то это означает, что сле дует определить ее координаты.

Фраза «дан отрезок прямой» означает,

что координаты

концов

этого отрезка

известны. Если

известны

координаты

концов

от

резка

прямой,

то тем самым

положение

отрезка

на

плоскости

вполне определено.

Координаты точки

записываются

скобках

рядом с названием точки,

причем всегда на первом

месте в

пря

моугольной системе

координат записывается абсцисса точки,

на втором — ее ордината.

Например, если

хх— абсцисса

точки

А, а у, — ее ордината, то это

записывается

так: А (хи уг).

У точки,

лежащей на

оси

абсцисс,

ордината

равна

нулю;

у точки, лежащей на оси

ординат, абсцисса равна

нулю.

Обе

координаты начала координат равны нулю.

B(x2,y J

пло

Расстояние d между

точками

А(хъ

скости

определяется

по формуле

Задача 1,1.	d = V(x* — *i)2 + (Уг— Уif-				(1,1)
	Построить точку С (2,4).
Р е ш е н и е .	Абсцисса точки С равна 2, а ее ордината равна 4.
Выберем единицу масштаба и возьмем на плоскости			прямоуголь
ную систему координат. Отложим на		оси Ох вправо		от	начала
координат О о-греЗок ОА длиною в 2		ед. масштаба,	а	по	оси Оу
вверх от начала	Координат — отрезок	ОВ длиною 4 ед.		масштаба.
Из точки А восстановим перпендикуляр к оси Ох,			а	из	точки

В — перпендикуляр к оси Оу. Пересечение этих перпендикуляров и определит искомую точку С (фиг. 1,1).

ки

Задача

1,2

(Для самостоятельного

решения).

Построить

точ

А (—2,

4);

В (2,

3);

С(—1,

—2);

D (0,

- 5 ) ;

£ ( —3,

(фиг. 1,2).

точке

А (х, у)

Задача 1,3. Построить точку, симметричную

относительно: а) оси Ох, б) оси Оу, в) начала

координат.

Р е ш е н и е . Две точки

Mt и М2

называются

симметричными

относительно

прямой,

если

отрезок MtM2 перпендикулярен этой

прямой, причем его средина лежит на этой

прямой.

Две точки

Мх и М2 называются симметричными относительно

точки

О, если точка

О является

срединой

отрезка

МгМ2. Эти

определения

следует

иметь в

виду

при

решении

задач

1,3

и 1,4.

у)

относительно

оси

Ох,

а) Точка В, симметричная с точкой А (х.

имеет

абсциссу такую же, как

и точка А, а ординату, равную

по абсолютной величине ординате точки А,

но

противоположную

ей

по

знаку.

Значит, точка В имеет координаты

—у:

В (х, —у) (фиг.

1,3).

у)

относител ьно

оси

б)

Точка С,

симметричная с точкой А (х,

Оу, будет

иметь ординату такую

же,

как

точка А,

абсцисса

точки С будет по абсолютной величине

равна абсциссе точки А,

но противоположна ей по знаку. Значит,

точка

С имеет коорди

наты

—х и у: С (—х,

у) (фиг.

1,3).

относительно

начала

в)

Точка D,

симметричная точке А (х, у)

координат,-будет

иметь

абсциссу и

ординату,

равные по

абсо

лютной величине

абсциссе и

ординате точки А, но про

тивоположные им

по

знаку,

т. е. координаты точки D

будут

равны

—х

—у:

D (~ х,

—у) (фиг.

1,3).

Задача 1,4

(для самосто

ятельного

решения).

Дана

точка А (3, —4). Построить

точки,

симметричные

ей

от

носительно: а)

оси абсцисс,

б) оси ординат, в) начала

координат.

а)

(3,

4);

О т в е т ,

б)

С ( - 3,

- 4 ) ;

в)

D (—3,

+4).

Задача 1,5. Какое соотношение существует

между

координа

тами точки, если она лежит:

а) на

биссектрисе первого

тре

тьего

координатных

углов;

б) на биссектрисе второго и

четвертого

координатных

углов.

Ре ш е н и е. а) Биссектри

са первого

и третьего

коор

динатных

углов

делит

эти

углы пополам

и с. положи

тельным направлением оси Ох

составляет

угол

45°.

Если

из любой точки А (х, у) этой

Ох,

биссектрисы опустить перпендикуляр

на ось

то треугольник

ОАВ будет равнобедренным прямоугольным треугольником, и

потому его катеты ОВ и АВ между собою			равны	(фиг. 1,4 а).
Так как	катет ОВ есть абсцисса точки	А, а катет		А В _ее ор
дината*,	то заключение состоит в том,	что	абсцисса	и ордината
любой точки этой биссектрисы между		собою равны,		причем это

верно независимо от того, находится ли точка А в первом коор динатном углу или в третьем, так как в каждом из них абсцисса

* Координатами точки могут быть не только числа, но и отрезки, изме ренные единицей масштаба.

и ордината точки имеют один и тот же знак. Итак, для координат точек этой биссектрисы имеет место равенство х = у.

б) Для точек биссектрисы второго и четвертого координатных
углов мы, рассуждая так же, придем к заключению,	что абсцисса
и ордината любой точки на этой биссектрисе также	равны между

собою по абсолютной величине,	но противоположны	по	знаку,
что следует из таблицы знаков	абсциссы и ординаты	во	второй
и четвертой четвертях:

Четверти II IV

X_ь

У*т —

Таким образом, для координат точек, лежащих на этой биссек трисе, выполняется равенство

х = — у.

Задача 1,6. Точка А (а, в) находится внутри первого коорди

натного угла.

Определить координаты точки В, симметричной

с точкой

относительно

биссектрисы

этого

координатного

угла.

как точка

симметрична точке

А относи

Р е ш е н и е . Так

тельно биссектрисы первого

координатного

угла, то

она

лежит

сточкой

А на

перпендикуляре

ОС и

АС = СВ

(фиг.

1,5).

Учитывая

это,

а также то,

что

треугольниках

ОАС

и ОСВ

катет ОС— общий,

заключаем,

что эти прямоугольные

треуголь

ники .между собою

равны (фиг.

1,5).

мы

придем к

Рассмотрев

теперь треугольники

ОБЕ и OAD,

заключению, что и они равны, так как, будучи прямоугольными они имеют равные гипотенузы и равные острые углы AOD и ОБЕ. Почему?

Из	равенства треугольников			ОБЕ и		OAD заключаем, что
OD =	BE, a AD = 0Е. Так как			по условию абсцисса				0D точки
А равна а, а ее ордината			AD = в, то		мы	приходим	к	заключе
нию,	что точка В	имеет	абсциссу		ОЕ — AD = в,		а	ординату
BE = OD = а. Итак,		координатами точки				В служат	числа в и а:
В (в, а).

Задача 1,7 (для самостоятельного решения). Найти коорди наты точки В, симметричной точке А (—12, 4) относительно биссектрисы третьего координатного угла.

О т в е т . В (4, —12).

Задача

1,8

(для самостоятельного решения). Найти коорди

наты

точки В,

симметричной точке А (2, 4) относительно

биссек

трисы

второго

четвертого координатных углов.

О т в е т . В(—4, —2).

и В(х, у) лежат на

прямой, па

Задача

1,9.

Точки Л (—4, 2)

раллельной

оси

Ох,

У\

причем расстояние меж

ду ними равно 2 ед.

масштаба.

Определить

1“

координаты

точки В.

Р е ш е н и е .

Задача

-7-6-5 -6 -3-2-1 0 .

допускает два решения:

Фиг.

1,6.

точка В может нахо-

диться как слева, так и

справа

от точки А. Так как в

каждом

из этих случаев точка В лежит

на

прямой, параллельной

оси

Ох, то ордината ее у

обоих

случаях

будет

равна

ординате

точки

А,

т. е.

у = 2.

Абсцисса

же

ее

в том

случае,

когда

она

находится

слева

от точки

А,

бу

дет

равна

—6,

когда

она

на-

хбдится

справа

от А,

будет

рав

на

—2.

Итак,

В (—6,

2),

Вх(—2, 2) (фиг. 1,6).

Задача

1,10 (для самостоятель

*~х

ного решения). Точки А (—5,2) и

В (х, у)

лежат

на прямой,

парал

лельной оси Оу. Найти коорди

Фиг. 1,7.

наты точки В,

если она

находит

ся от точки А на расстоянии 6 ед. масштаба. Построить чертеж.

О т в е т .

В-х (—5,

и В2(—5,

—4).

лежат

на

биссектрисе

Задача

1,11. Точки

Л (5, 5) и В (х,

у)

первого координатного угла. Расстояние между ними

равно 4 ед.

масштаба. Найти координаты

точки В.

на

биссектрисе

первого

Р е ш е н и е .

Так

как точка В

лежит

координатного

угла,

то ее абсцисса

ордината

между

собою

равны (задача

1,5). В равнобедренном

прямоугольном

треуголь

нике АВС (фиг. 1,7) гипотенуза

АВ =

АС = ВС.

Тогда по

теореме Пифагора

АС2+

ВС2 =

АВ2 и 2ЛС2 = 16,

АС2 =

АС =

ВС =

2 / 2 .

Таким

образом, абсцисса

искомой точки

(а

значит,

ее ор

дината) получится из абсциссы точки Л,

если

ней

сначала

прибавить,

потом

из

нее

вычесть

2 У 2,

задача

имеет два

решения:

Б(5 + 2 / 2 , 5 + 2 / 2 )

и ^ ( 5

— 2 / 2 ,

5 — 2 / 2 ) .

1 / 211 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги