книги / Практические занятия по высшей математике. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве

где а

и ГЬ— координаты

центра окружности, а г — радиус ок­

ружности.

Если

же центр окружности находится в начале координат,

то ее

Уравнение имеет вид

+ Уг =

г \

(Ю, 2>

2.

Эллипс. Эллипсом

называется

геометрическое место

точек,

*2 , У_г _

,

(10,3)

а2"Г 6г ~

1’

где с — большая

полуось эллипса,

b — малая

полуось эллипса.

то между а,

Ь и с (если

Если

2с — расстояние между фокусами,

а > Ь)

существует

соотношение

а2 — Ьг = с2.

(10,4)

Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния

между фокусами этого эллипса к длине его большой

оси

е = 1а•

(10,5)

У эллипса эксцентриситет е < 1

(так

как с <

а), а его фокусы

лежат на большой оси.

окружности

с центром в

Задача

10,

1.

Написать уравнение

точке С (2, —3) и радиусом, равным 6.

в нем а = 2, b —

Р ешен ие .

По уравнению (10,1),

полагая

= —3, г = 6, сразу имеем (х — 2)а +

{у -f- З)2=

36, или

Задача

10,

2

х2 + у2— 4х + 6у — 23 = 0.

(для самостоятельного решения). Написать урав­

нение окружности с центром в точке

(—4,7)

и радиусом, рав­

ным 7.

(х +

4)2+

(у — 7)2= 49,

О т в е т ,

или

х2

у2-{“ 8х — 14t/

16 = 0,

Задача

10, 3.

Показать, что

х2+ у2+ 4х — 6у —3 = 0

есть уравнение Окружности. Найти ее центр и радиус.

Р е ш е н и е .

Заданное уравнение

преобразуем к

виду (10,1).

Выпишем

члены,

содержащие только

х, и

члены,

содержащие

только у. Легко

проверить (сделайте

это!),

что

х2+ 4х = (х + 2)2— 4,

У2— 6у = (у — З)2— 9.

Левая часть уравнения

(у— З)2 — 9 — 3 = 0

(х + 2)2 — 4 +

х2 + 4х

у 2—6у

или отсюда

(i/ ■—З)2= 16.

(А)

(•* + 2)а +

Соберем члены, содержащие только х

и только у:

У2 + 2у = (У + I)2— 1.

Заданное уравнение перепишется

в виде

или

х2— х

уг + 2у

( * - т ) 2 + ( г / + 1 ) 2 - т = 0’

и окончательно в

виде

— т )г+ ^ + 1)2= Т »

Следовательно, из сравнения с уравнением (10, 1) заключаем,

что

центр окружности находится

в точке ^ , —1j , а радиус ра-

вен

3

Задача 10, 5 (для самостоятельного решения). Найти коорди­

наты центра и радиус окружности

х2 + у2+ Зх — 7у —

== 0.

Ответ. ( —

т ) ’ г = 4.

Задача 10, 6 (для самостоятельного решения). Найти коорди­

наты центра и радиус окружности

х2 + у2 + х — у = 0.

Ответ. ( —4

» т ) . '■= НГ*

Задача 10,

7. Найти точки пересечения окружности (х — 1)2+

-f (у — 2)2= 4

и прямой у = 2х.

Р е ш е н и е .

Координаты точек пересечения должны удовле­

творять обоим

указанным уравнениям, так как эти точки нахо:

( х - 1 ) 2 + ( у - 2 ) 2 = 4\

У = 2х

Г

Подставляя в первое уравнение 2х вместо у и раскрывая скобки,

получим

х2— 2х +

1 -f 4х2— 8х + 4 = 4,

или

5л;2 — Юл: -f- 1 = 0,

а отсюда

2 V 5"

5 — 2 V~5

Х1 = - ^ ~ В----- , *2=

------5----- .

у = 2л:, получим

Подставляя

эти

значения

во второе

уравнение

1 0 ^ 4 /Т

10 — 4 / 1

У \ —

5

> Уг —

5

Искомыми точками пересечения будут А (хг ,Ут),

В {хг, г/л),

А

i » ± f O ) „

» = j £ l ) .

Задача

10, 8. Написать уравнение окружности,

проходящей

через три точки: (0, 1); (2, 0);

3 ,—1).

Р е ш е н и е . Искомое уравнение имеет вид (д: — а)а + (у — b)2=

= г2. Поскольку

окружность

проходит

через указанные точки,

координаты

каждой из

этих

точек

удовлетворяют

уравнению

окружности. Подставляя

поочередно

в

искомое уравнение коор­

динаты данных точек, получим три уравнения

для

определения

а, Ь и г. Вот эти уравнения:

а2+ (1 — Ь)2 = г2

-I

(2— а)2 -{-Ь2 — г2

a2 (1 — Ь)2 = (2 — а)2+

b2

i

а2+ (1 — Ь)2 = ( 3 а)2+ (—1

—b)2 j*

3

9

эти

значения

а

и & в

Отсюда а = — j ,

6 = —у . Подставляя

первое из уравнений системы, получим г1 — у .

Искомое

уравне­

ние имеет вид

(х + т )2 + (у + 1 )

65

2 ’

или после упрощений х2-f- у2+ Зх + 9у — 10 = 0.

Задача

10, 9. Найти

уравнение окруж­

ности,

касающейся

оси

Ох в

начале

координат и пересекающей ось Оу в

точке А (0, 10) (фиг. 10,

1).

диаметр

Р е ш е н и е .

Известно, что

окружности, проведенный в точку ка­

сания,

перпендикулярен

касательной.

Это значит, что

диаметр

ОА окружно­

сти направлен по оси Оу,

центр

окруж­

ности

находится

в

точке

С(0,5), а

радиус окружности г = 5. Искомое урав­

нение имеет вид

х2+

(у — 5)2= 25, или х2+ у2— 10у = 0.

Задача 10, 10

(для самостоятельного

решения).

Найти

уравне­

ние окружности,

касающейся оси Оу в начале координат

и пере­

секающей ось

Ох в точке (—12, 0).

что:

а) полуоси его

а — 6, 6 =

4;

б)

расстояние между фокусами

2с =

10,

а большая

ось 2а = 16;

в)

малая полуось 6=

4, и

рас­

стояние между фокусами 2с =

10; г) большая

полуось

а =

12, a

эксцентриситет е =

0,5; д) малая полуось 6 =

8, а эксцентриситет

е = 0,6; е) сумма

полуосей, а +

6 =

12, а расстояние между фоку­

сами 2с = 6

2.

Р е ш е н и е ,

а). Простейшее

уравнение эллипса

имеет вид

^ +

fa =

1- Подставляя сюда а =

6,

b = 4, получим

Х_ ,

Г

1.

36

16

б) У

нас

2с =

10;

с = 5;

2а =

16;

а — 8.

Чтобы написать уравнение эллипса, следует найти малую по­

луось 6. Между

величинами а, 6 и с у эллипса существует зави­

симость

а2— 62= с2,

или 62= а2— с2. В нашем случае 62 = 64 —

— 25 =

39,

и уравнение эллипса будет иметь вид

в)

Решите самостоятельно.

у2

|.2

Ответ- 4 Г + Т £ =

!•

г)

а =

12;

е =

0,5;

известно, что е =

в этой

формуле не­

известно с. Для

его определения получаем уравнение

0,5 =

отсюда с = 6.

Теперь, зная,

что а =

12, с =

6, пользуясь соотношением а2—

— с2= 62,

найдем, что 62=

144 — 36 = 108;

а2=

144.

Уравнение будет щ +

щ

=

1-

д)

6=

8; е =

0,6; е =

^

; отсюда-^- — 0,6,

с = 0,6а.

Напишем

соотношение

а2— с2 =Ь2 и подставим в него

с = 0,6а; 6 = 8.

Получим

а2 — 0,36а2 = 64;

0,64а2 =

64; а2= 100.

Уравнение эллипса будет иметь вид

у2

i

у2

= 1

I

±

-

100 ~

64

е)

а +

6 =

12, 2(7= 61^2.

и 6. Нам

Для определения

уравнения

эллипса надо знать а

известно,

что с = 3|^2; с2= 18;

а2— Ь2 = с2.

сюда а 4- 6= 12,

Поэтому (а + 6) • (а — 6) =

18.

Подставляя

найдём, что а —6 =

1,5.

Решая

систему уравнений

12 |

а + b =

а — 6=

1,5J’

лучим.ЩГ + Tg = L

Значит, а — 6, 2а =

Отсюда заключаем, что а2=36, 62= 16.

= 12; 6 = 4; 26 = 8. Таким образом, длины

осей равны соответ­

ственно 12 и 8. Зная а и 6,

из

соотношения а2— с2 =

Ь2 най­

дем с. Подставим а = 6; 6= 4

и

получим,

что с = 2 У5.

Коор-

Решение .

У нас а = 5, а2 =25;

е = — = 1,4; с = 1,4а —

= 1,4- 5 = 7, с2 = 49; 62= с2— а2= 49 — 25 = 24, 62= 24;

иско­

мым уравнением

будет

Задача 11,3. Гипербола проходит

через

точки ^3, ~^ 15| и

(—21/5, 3). Найти уравнение гиперболы.

может быть

запи­

Р е ш е н и е .

Уравнение гиперболы

(11, 1)

сано так:

Ь2х2— а2у2 = а2Ь2.

(11. 8)

Зх2— 5у2 =

15.

Задача 11,4. Найти уравнение асимптот гиперболы

2х2— 3у2 = 6.

Решение . У гиперболы две

асимптоты, определяемые урав­

нениями (11,5). Следует найти

а

и Ь.

Приведем уравнение гиперболы к

простейшему виду, разде­

лив обе его части на б. Получим

f!

2

— 1

з

1

Отсюда заключаем, что а2 = 3,

а = 1/3;

Ъ2= 2, b = 1/2. Подстав­

ляя эти значения а и b в уравнения

асимптот (11,5), получаем