книги / Практические занятия по высшей математике. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве

х — 5 _у

1 __ г — 4

~

~~“

““

6 “

составляет с

координатными

осями.

в них т — 2, п = 3 ,

Р е ш е н и е . По формулам

(18,2), полагая

р = б,

будем

иметь

cos а =

± .

2

2

cos а =

2

+ 3a +

=

±

- 7=

,

И Л И

±

-у- ;

] / >

6а

У 49

7

0

^

3

cosf =

, 6

cosp =

± y ;

± y .

Проверьте, что

cos® а +

cos2р +

cos27 = 1.

•

осями,

Острые углы, составляемые

прямой с

координатными

равны: а = 73°24';

р = 64°37';

7 = ЗГ1'

(эти значения определены

по таблицам тригонометрических функций).

Задача 18, 2. Общие уравнения

прямой

х + Зу — 42 + 5 = 01

2х—

у +

2— 4 = 0 )

(Л)

преобразовать к каноническому виду (18,1).

(А)

исклю­

Наметим такой

план решения

задачи:

из системы

чим сначала у и выразим z через х, потом исключим

х

и выра­

зим z теперь уже через у.

из системы

(Л)

исключить

у,

умножим

1)

Для того,

чтобы

второе

из уравнений

системы (Л)

на 3 и сложим его почленно

с первым. Получим, что 1х — z — 7 = 0, откуда z = 7х — 7,

Z

=

X— 1

2)

Умножая

первое

уравнение

из (Л)

на

—2 и складывая

почленно со

вторым,

получим,

исключая

х

из

системы

(Л),

откуда

—7у + 9г — 14 = 0,

9г = 7у+ 14;

^

.7.СУ +

2)

или

У±

2

Z =

9_

'

7

Сравнивая найденные значения

г, получаем

уравнения прямой

в каноническом виде

г =

JC— 1

у + 2

f_

х — \

у +

2

г — 0

или

I

9

1

•

*— i _ у + 2

z— 0

,

1

9

7

•

В учебнике

Привалова

указан

и другой

способ преобразова­

ния

общих

уравнений

прямой

(18,5)

к каноническому виду

(стр.

250).

Рекомендуем внимательно изучить этот способ. В связи с тем,

что в учебнике не указаны

окончательные результаты,

приведем

их здесь.

прямой

записываются

в виде

(18,5)

Если общие уравнения

А±х +

Вгу -f- Cxz +

=

0 1

А2х

В2У4“ C2z

D2 =

0J *

то уравнения

прямой с направляющими

коэффициентами

имеют

вид

х — х0 _ у — у0 __ г — z0

( 18, 11)

IfiiCil

IС1А1 \~

\A1B1 \J

j ^2^2I

|^2^2|

J>4

2^2I

где х0,

у0 и z0— координаты одной из

точек,

через которую про­

ходит

прямая

(18, 5).

что направляющие

коэф­

Из

уравнений (18,11) усматриваем,

фициенты прямой т, п и р определяются по формулам

т =

Вг

Сг

п --

Сг Аг

• t;

р =

Аг

Вг

U (18,12)

В2

С2 • tу

Сг Л2

л 2

в г

* +

3# + 5 = 01

2х —

у — 4 = 0 ] ’

или

х -J- Зу =

—5 |

2х— у —

4 J ’

из которой х — 1; у — —2. Итак,

одна из точек, через которую

(18,12),

в которых

взято t =

1, составляем матрицу из коэффи­

циентов

уравнений

системы

(Л):

х — 2у + 32 — 4 = 0,

2х -f- 3у — 4z -{- 5 = 0.

О т в е т .

Один из

возможных

видов канонических уравнений

прямой

2

13

*

- Т

У + Т

2 - о

— 1*

“

10

7

•

Задача

18,5 (для

самостоятельного

решения). Преобразовать

к каноническому

виду

уравнения прямой

2* + Зу +

2г +

8 =

01

х — у — z — 9 = 0{’

Ответ.

Один из возможных

видов канонических уравнений

прямой

Л* — 4 _£/ + 6

2 — 1

— 1

~

4

“

— 5

е

Задача

18,6

(для

самостоятельного

решения). Найти углы,

которые прямая

5л; + 3у — 4г + 2 = 0

Х +

У +

2 —

1 =

0

(Л)

образует с

координатными

осями.

О т в ет .

c o s a = ±

0,60470;

cosр =

У 0,77747;

cos у = ± 0,17277.

cos2у =

1.

К о н т р о л ь :

cos2a + cos2р +

Задача 18,7. Найти уравнения плоскостей, проектирующих

прямую

Зх — 4у + 52 +

7 = 01

х -f- 2у -{- 32 + 11 = 0 }

на координатные

плоскости.

(Л)

Чтобы найти

уравнение плоскости,

проектирующей

прямую

на

плоскость

хОу, надо из системы

(А) исключить

коорди­

нату z.

Умножая

первое

уравнение этой системы

на —3, а вто­

рое

на

5 и

складывая

полученные уравнения,

будем

иметь

—Ах +

22у +

34 = 0, а сокращая на —2,

получим искомое урав­

Ах — 3у — 3 = 0.

Задача 18,9. Определить следы прямой

5х 4- Зу — 4г 4- 8= 0 1

х — г / 4 - г 4 - 5 = 0)

^

Р е ш е н и е . Уравнение плоскости

хОу: z = 0. Положив в си­

стеме (А) 2= 0, получим систему из двух уравнений

5х 4- Зу 4-8 =

01

х — у 4- 5 =

0J*

Решая

эту

систему, найдем х

и у:

X

23

17.

8 ;

У ~ 8 .

и

след

прямой

(А)

на

плоскости

хОу имеет координате

2з

17

\

Следы

пРям°й на

плоскостях yOz и хОг найдите

( — ТГ*

Т ’

г

самостоятельно.

следа

прямой на

плоскости yOz будут (0, 28,

23).

Координаты

28

17\

(-- -д- »0, --- -g-J.

Задача 18, 10 (для самостоятельного решения). Найти коорди­

наты следов прямой

дг — 2

у +

3 ___ 2 — 4

1

“

2

4

на

координатных

плоскостях.

О т в е т .

(1,

- 5 , 0); ( 1 ,

0,

ю);

(0,

- 7 , - 4 ) .

Задача

18,11.

Найти острый угол между двумя прямыми

х — 2

у — 1

z — 3

~ 3

~^Л

2

»

х — 1 _ у + 2 _ z+ 1

2

4

—2 *

Р е ш е н и е

Угол

<р между

двумя прямыми

определяется по

формуле

(18, 9),

в

которой

надо

взять

т = 3; п = —1; р = 2 ;

т, = 2 ;

п, =

4;

=

—2.

COS ср =

±

3

. 2 + ( — 0

-4 + 2

v

•(—2)

;

~ г \ > -----Т

J+j2 +

(_ i ) 2 +

22

/ 22 +

42 +

(—2)2

сочср =

±

—2

;

cos <р= +

г т т = =

Т 0,1091.

-7= ^ _ _

У 14 • / 2 4 ’

2 / 2 7

Так как нас по условию интересует острый угол между этими

прямыми,

мы должны

cos <р

взять

положительным: cos <р = 0, 1091.

Теперь,

пользуясь таблицами тригонометрических функций,

на­

ходим,

что

<р=

88°44'.

Задача

18,12.

Найти острый угол между прямыми

2х + 3у — 4z + 5 = 0 \

0 )

и

х — у +

2 =

0/

х — у + 2z — 4 = 0 \

Ф)

2х + у — г — 5 = 0 /

х — 1

у +

1

2 — 2

1

~~

Н

е ­

задача

18, 15

(для самостоятельного

решения).

Через

точку

(2, — 1,

3)

провести прямую,

параллельную оси Ох.

О т в ет .

У + 1 = 0 1

х — 2 _ _ у + \

2 — 3

г — 3 = 0/ или

0

0

0

‘

Задача

18, 16.

Найти уравнения

прямой,

проходящей

через

точки А( 1,

2,

— 1) и В(0,

3,

—4).

Р е ш е н и е .

Согласно (18,10)

имеем

х — 1 _у — 2 _ z + 1

~~ ~Г~ ~

-=3"'

или, умножая

все знаменатели на — 1,

X— 1 _у — 2 __ z -f- I

1

— ~Т~

“Т ^ -

Задача

18,

17

(для самостоятельного

решения).

Найти

урав­

нения

прямой,

проходящей

через

точки

А (3, 0,

4) и

В (—1,

- 2, 3).

О т в е т .

* —3 _ */ —0

2 — 4

•

4

3

1

ДЕВЯТНАДЦАТОЕ

ПРАКТИЧЕСКОЕ

ЗАНЯТИЕ

С о д е р ж а н и е :

Задачи на

прямую и плоскость.

Ах +

By + Cz + D = 0

определяется по формуле

sin ? = !

Ат -}- Вп + Ср

(19,1)

V А 2 + В2+ С2 • Vт~ + п* +

Р2

А т + Вп + Ср = 0.

(19,2)

3. Условие перпендикулярности прямой и плоскости имеет вид

£ =

# = £ •

09,3)

4. Уравнение пучка плоскостей, проходящих через данную

прямую

Ах + Ву + Cz-{- D = 0 1

имеет вид

AiX + &iУ+

Cxz + Di = 0J *

Л* +

+

Сг + Z? +

+ CiZ + D J ~ 0,

(19,4)

где X— любое действительное

число.

Задача

19, 1. Найти острый угол

между

прямой

х — 1 _у -f- 2

г — 1

2

1

и плоскостью

2х + У— г + 4 = 0.

У к а з а н и е .

Задача

решается с помощью формулы

(19,1)

в которой надо положить

А =2; В — 1; С =

— 1; т = 2;

п==1;

р = 2 .

<р= 24°5\

О т в е т .

У го л

Задача

19, 2.

Найти острый угол

между

прямой

х + У+

z — 4 = 01

(А)

2 х — у + 4г + 5>= о}

и плоскостью

х +

г/ + 3? — 1 =

0.

Р е ш е н и е .

Уравнения

прямой нет надобности преобразовы­

коэффициенты

т,

п и р этой прямой (см. задачу

(18, 2)). Состав­

ляем матрицу

из коэффициентов

уравнений (Л)

(J

-1

4/

1

1 )

и, полагая t = 1

в формулах (18, 12), получаем

/я =

1 1

II о

3 II

И 1

= — 2;

р =

1

1

— 1 4

ю

2 — 1 = — 3.

Из уравнения

плоскости

заключаем,

что А =

1, 5 =

1, С = 3

и тогда

для определения острого угла

ср между

прямой

и плос­

костью по формуле (19, 1)

получаем

sin ср =

К п - К з в

к?18

0,2935:

<Р==17°4'.