книги / Практические занятия по высшей математике. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве

связывающие

их.

Первое

из

них мы найдем, определив расстояние АВ и при­

равняв его

к

расстоянию ВС (АВ — ВС, так

как стороны квад­

рата равны между собой):

АВ = V (хг — 2)2+ (у2— 1)а, ВС = У (х2— 4)2+ (I/2- 5 ) T

Отсюда следует, что

V (Х2

2)а + (t/a — I)2 «= V (Х2 ~ 4)2 +

(Уъ— 5)2.

Для получения второй свя­

зи между х2 и у2 найдем угло­

вые коэффициенты прямых А В

и ВС. Так как эти прямые пер­

пендикулярны, то произведение

их угловых коэффициентов рав­

но— 1 (см. формулу (4,11)).

Фиг. 4,1

Угловой коэффициент прямой, проходящей

через две данные

точки (хъ t/j) и (х2, t/a), определяется по формуле

k =

! / 2 — Ух

*2—*1 ’

В нашем случае хг — 2, ух = 1. Для прямой

А В угловой коэф­

фициент

k =

У2— 1

Ха— 2*

У2— 1 фУ2— 5

_ ,

*2—2 * х2—4

#

*2 + 2Уг = 9

)

х1 +

у 1 — 6*2 — 6I/2 +

13 = 0 Г

Из первого уравнения

находим, что х2= 9 — 2у2. Подставля­

ем это значение во второе

уравнение

и,

решая

относительно у2

полученное

квадратное

уравнение, найдем, что

(1/2)1 ~ +

(1/2)2=

2,

а

(х ^ = 1,

(х2)2=

5.

Значит,

вершиной В могут

служить

точки

с координатами

между данными прямыми.. Воспользуемся

формулой

(4, 5),

так

как прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом,

при­

чем поскольку нас интересует острый

угол,

правую

часть

фор­

мулы (4, 5) возьмем по абсолютной величине:

^2

I

1-р

I

У нас

Задача

4, 16.

Найти

угол

между прямыми

Зх 4- Ау — 7 = 0 и

Ах — Зу -j- 8 =

0.

Р е ш е н и е .

Воспользуемся

формулой

(4,7),

так

как уравне­

ния прямых заданы в общем виде.

Вг = — 3;

У нас Ах =

3;

Вх = 4;

Л2=

4;

tg 0=

—9— 16

12— 12*

tg 0 не

и так как деление на

нуль

невозможно,

то

существует.

Угол 8=

90Q,

т. е.

прямые

перпенди­

//

кулярны. Их перпендикулярность мож­

но было

усмотреть

и

сразу,

составив

выражение (4, 12)

АгА2 + ВУВ2

и

убе­

дившись, что оно равно нулю.

Задача

4,17

(для

самостоятельного

решения).

Найти острый угол между прямыми

Зх + 5у — 7 = 0 и х — i/-j-5 = 0.

О т в е т , tg 0=

4;

0=

75°58'.

Фиг*

У к а з а н и е .

Для

определения

угла 0

воспользуйтесь табли­

цами тригонометрических функций.

Задача 4, 18.

Найти

уравнения

прямых,

проходящих

через

точку А (3, 4)

под углом

в 60°

к

прямой

2х 4- Зу 4- 6=

0.

Р е ш е н и е .

Для

решения

задачи

нам

следует

определить

угловые коэффициенты прямых l u

l l

(фиг. 4, 2). Обозначим эти

коэффициенты соответственно

через k± и k2,

а

угловой

коэффи-

циент данной прямой — через k.. Очевидно, что k =

— 2

На основании определения угла между

двумя

прямыми

(стр. 35) при определении

угла

между данной

прямой

и прямой

/ следует в числителе дроби в формуле

(4, 5)

вычесть

угловой

коэффициент данной прямой,

так

как ее нужно повернуть против

часовой стрелки вокруг точки С до совпадения с прямой /.

Учитывая, что

tg 60° =

|/1Г,

получаем

tg 60е =

* i + f

,

24— 1 3 / 3

..

kt = ------ j

Определяя

же

угол

между

прямой

/ /

и данной прямой,

сле­

дует в

числителе той

же

дроби

вычесть

угловой

коэффициент

прямой

II, т. е. k2,

так как

прямую II

следует повернуть про-

tg60° =

V 3 =

/*о —

2 4 + 1 3 / 3

3

Задача 4,19.

Через центр тяжести

треугольника,

вершины

которого Л(2,3),

В (—1,4), С (5, 5), провести прямую,

параллель­

ную стороне А С,

и прямую, перпендикулярную стороне АВ.

Решение. Прежде всего определим

координаты центра тя­

ника имеют координаты (хъ у^,

(хъ

t/2) и

(+>. Уз)> то координа­

ты его центра тяжести» хс и ус

будут

_

Х\ + Х2 +

Хя

у с

_

l/i +

У2 + Уз

лс —

3

>

—

з

В

нашем случае

хс = 2-+

± -5 = 2,

3 + 4 + 5

.

Ус =

—

= 4-

Центр

тяжести треугольника

М имеет

координаты (2,4). Урав­

будет 2х — Зг/ + 5 = 0 (мы нашли эти

уравнения, воспользовав­

шись уравнением прямой, проходящей через две точки).

Теперь так же, как

в задачах 4, 7

и 4, 9, определим уравне­

ние прямой, проходящей через точку

М параллельно стороне АС

и перпендикулярно стороне АВ. Получим соответственно

2х — Зу + 8 = 0 и Зх — у — 2 = 0 .

ПЯТОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ

С о д е р ж а н и е : Расстояние от данной точки до данной

прямой.

ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ

ТЕОРИИ

Расстояние точки А (хь

у^ до прямой Ах + By + С = 0 есть

длина перпендикуляра,

опущенного из этой точки

на прямую.

Она определяется по формуле

. _ I Ах, + Ву\ +

С

I

(5.

1)

J

К л г+ в 2

|

Отклонение

8 данной точки от данной прямой есть расстояние

от этой точки

до прямой, которому приписывается знак плюс,

ся по одну сторону

от прямой

(см.

учебник

И. И. Привалова,

гл. III, § 16, или § 22 учебника

Н.

В. Ефимова).

Расстояние

от точки до прямой

есть абсолютная величина

отклонения этой точки от прямой.

координат до пря­

Задача 5, 1.

Найти расстояние от начала

мой х + у — 2 = 0 (см. также задачу 3,19).

Р е ш е н и е .

Приведем уравнение прямой к нормальному

виду. Нормирующий

множитель

_ У ______ 2_

= 0.

У 2

У'1

абсолютной

величине,

дает искомое

расстояние р — У 2 ед. мас­

штаба.

5, 2. Найти

расстояние or

точки (2, 5) до прямой

Задача

6х + 8у — 5 = 0.

Р е ш е н и е . Приведем уравнение прямой к нормальному-виду.

Нормирующий множитель

N —— 1

= —

Уба + 82

Ю'

6* + 8(/ — 5 _п

Id

—

Согласно правилу стр. 47, возьмем теперь левую часть этого

6х -4- 8и — 5

о

уравнения —

----- и подставим

в нее координаты данной точ­

/Г + * *

’

У— 3 =

4),

у — 2 = k (х + 1), или kx — у + (k + 2) = 0.

(Л)

d =

+ ДУ1+ С I

V А3 + В* г

3k + 1+ fe + 2

О

|4fc + 3|

V Т + Т а

у 1+ fe2’

или

21Л + 6а = |46 + 3|, 4(1 + 62) =

1662+ 246+ 9,

и для-определения 6 получаем уравйение

1262 +

246 +

5 = 0,

откуда находим,

что

fc

- 6 + / 2 1

t

- 6 - VTl

g

> ^2 —

б

Подставляя эти значения в (Л), заключаем, что есть две пря­

мые, удовлетворяющие условию задачи:

1) y - 2 = -

6± /

21(* +

l);

2) j / - 2 = - 6= X 21(x + 1).

Задача 5,7. Через точку Мх(1, 2) провести

прямую, расстоя­

ния до которой

от точек М2(2, 3)

и М3(4, —5)

были

бы равны.

Р е ш е н и е .

Так

как искомая прямая

проходит

через точку

то ее уравнение запишется так:

у - 2 = A (JC— Г).

(В)

ft — 1 I. .

I 3ft +

7

У 1+ft«

V 1+

ft2

ft— 1

_

3fe + 7

ft— 1

3ft+ 7

У 7 + Т а ~ У Т + Т »

/ Г + р ~

у т + т * '

Из первого 6 = — 4,

а из второго 6 =

2

д-. Итак, искомых прямых

две, и уравнения их получим

из

(В),

подставляя в него сначала

6 = — 4, а потом

6 = — | .

Искомые прямые: 4х + у — 6= 0 и Зх+2«/ — 7 = 0.

Задача 5, 8. Дана

прямая

4 х + 3t/ + 1 =

0.

Найти

уравнение

прямой, параллельной данной

и

отстоящей от

нее на

3 ед. мас­

штаба.

нение 8 точек одной

из искомых прямых от данной будет равно

+ 3, а другой — 3;

8= ± 3.

4 . 0 + 3 - ( — 3-W c

± 3

= ---------^ 5—

------ ,

откуда

± 3 = - ^ - 5- .

На основании этого Сх =

16, С2=

— 14.

Подставляя эти значе­

ния С в уравнение семейства прямых

4х + Зу + С = 0, получим,,

что искомых

прямых две:

4х + Зу + 16 = 0 и 4х +

Зу — 14 - - 0.

Решение допускает простую проверку,

которую рекомендуется,

сделать.

С— 1

с — 1

• С—

С— 1

* Четыре случая: 3 =

— g— ; 3 =

; — 3 = —g— ; - 3 .

— 5

С — 1

С — 1

.сводятся к двум; 1) —g—

= 3; 2) —g— = — 3, откуда Сх ■16; Са

О т в е т . Уравнение высоты Лве х — 3# — 5 = 0;

уравнение высоты Ллс 2л: +

4у — 5 = 0;

уравнение высоты клв х — у — 4 = 0;

hee =

У ю .

з У 5

ft.АВ =

ЗУ 2

*

2 * Нле =

2

ШЕСТОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ

С о д е р ж а н и е :

Уравнение

биссектрисы

угла

между

двумя прямыми.

теории

прямой линии.

Научимся

прежде

всего

находить

уравнение

биссектрисы

угла

между двумя

прямыми.

6,

1. Найти уравнения

Задача

биссектрис

углов между прямыми

12л;+ 9у — 17 = 0

и

З л ;+ 4и +

одной и той

же стороны от прямой CL^ т. е, 83<

0. Значит, 83

и 84 в этом случае

равны по абсолютной величине,

но противо­

положны по

знаку,

и имеет место равенство