книги / Практические занятия по высшей математике. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве

значительно проще исходного: в нем нет первой степени текущей координаты хг и нет свободного члена.

ки. Решение последующих задач основано на выделении полного квадрата из квадратного, трехчлена, а потому эта операция дол­ жна быть хорошо усвоена. После решения нескольких задач эти преобразования не будут вызывать никаких затруднений.

Решенная нами задача иногда формулируется иначе:'уравне­ ние кривой у = ах2+ Ьх + с (аФ 0) упростить так, чтобы в нем отсутствовал член с первой степенью текущей координаты и сво­ бодный член, а иногда и еще короче: привести уравнение кривой у = ах2+ Ьх + с к каноническому виду. В дальнейшем мы будем пользоваться и этими формулировками. После того как показано, что уравнение у = ах2+ Ьх + с определяет параболу, можно за­ ключить: упрощение этого уравнения достигнуто параллельным переносом первоначальной системы координат так, что новое начало координат находится в вершине параболы, а новая координатная ось Огух совпадает с осью симметрии параболы.

Следует также иметь в виду, что если в уравнении у = ах2+ + Ьх + с коэффициент а положителен, то ветвь параболы направ­ лена вверх (так называемая «восходящая» парабола), а при отри­ цательном а — вниз («нисходящая» парабола).

Форма параболы определяется только коэффициентом а. Числа же b и с на форму параболы влияния не оказывают, и измене­ ние их при одном и том же а влияет только на расположение параболы на плоскости. Заметим также, что чем больше а по

или

у + \ = [х—■§■)•

Положим

Xi = x - ^ - , y l = y -\-~

Отсюда из сравнения с формулами (12, 2) координаты нового

болы

у= 2х2+ 4х -f 5

инаити координаты ее вершины.

Легко усмотреть, что это уравнение параболы и, следовательно, траекторией “Точки является парабола. Так как в ее уравнении отсутствует свободный член, то парабола проходит через начало координат. Найдем теперь высоту полета точки. Для этого опре­ делим ординату вершины параболы. Так как коэффициент при х2 отрицателен, то парабола — «нисходящая», а вершина параболы

2v2 cos2a 1

получим

tig sin 2a

*0= _ 2T ‘

После подстановки этого значения xQв уравнение траектории

(А) получим ординату вершины параболы и тем самым высоту полета

V2 • 2

QSin a

Как легко усмотреть, дальность полета / равна удвоенной абсциссе

х — — * У ■2У + Т

и поступить так же, как в предыдущих задачах.

абсцисс.

Задача 12,12 (для самостоятельного решения). Упростить уравнение кривой х + Зг/2+ 8у + 2 = 0 и начертить ее эскиз.

оси абсцисс.

Мы выполнили ряд упражнений на упрощение уравнения па­ раболы у = ах2 + Ъх + с и видели, что упрощение этого уравне­ ния достигается параллельным переносом координатных осей без изменения их направления так, что но­ вое начало координат находится в вер­ шине параболы. Этим же преобразова­

00нием координат (т. е. параллельным пе­ реносом) можно привести к простейшему (каноническому) виду уравнение любой линии второго порядка, если это урав­ нение не содержит члена с произведе­ нием текущих координат. Сейчас мы

выполним ряд таких упражнений. Задача 12, 13. Привести к простей­

шему виду уравнение

Произведем теперь такую замену: положим, что

=У1 = У + Х-

Произведенная замена представляет собою не что иное, как преобразование координат всех точек плоскости параллельным

переносом координатных осей без изменения их направления. Сравнение последних соотношений с формулами (12, 2) показыва­

ет, что новое начало координат находится в точке 02 —1j,

а уравнение (Л) принимает вид

*i + 2#i — .

Разделив обе части этого уравнения на 57 получим канони­

ческий (простейший) вид данного уравнения

У2 ,,2

— + — = 1

57 ^ 57 ь

Заданное уравнение определяет эллипс с полуосями а = / 57

Ъ= / 5 7 , центр которого находится в первоначальной системе

координат в точке 0 2^ , —1 j . Таким образом, упрощение

уравнения этой линии достигнуто параллельным переносом начала координат в ее центр.

Задача 12,14 (для самостоятельного решения). Упростить па­ раллельным переносом координатных осей без изменения их

Задача 12, 15 (для самостоятельного решения). Упростить уравнение кривой

2х2+ Зу2— х + у = 0.

Ответ . Кривая — эллипс с центром .в точке 02 — -jl)

в исходной системе координат. Простейшее уравнение кривой

х2 и2

J5 + 5_ ь

48 72

Задача 12,16 (для самостоятельного решения). Привести к ка­ ноническому виду уравнение линии

Ах2— у2— 8х — Зу — 9 = 0.

2) Повернем теперь оси координат х101у1 на 30°; координаты точки в системе координат хг01у 2 найдутся по формулам (13,2), в которых надо заменить хг на х2, Ух на у2, х на х1г а у на ух.

Получаем

Оп р е д е л е н и е . Гипербола, определяемая уравнением х2— у2 =

=а2, называется равносторонней.

= а*

у [(*1 + У1)2 — (УI — *i)2] = a2.

Отсюда получим

у (*1 + Ух — Ух + *i) (*1+ У1 + Ух — хд = а2.

окончательно

2х1у1 == а2, или ххух = у .

и 2-го координатных углов. Значит, если асимптоты равносторон­

Это уравнение носит название уравнения равносторонней гипер­ болы относительно ее асимптот (фиг. 13,3). Его следует запомнить.

Если бы мы сделали поворот осей не на — 45°, а на -)- 45Q (фиг. 13,4), то уравнение гиперболы приняло бы вид

а2

Х1У1 = — у .

уравнение равносторонней гиперболы относительно ее асимптот

по