книги / Принципы и практика решения задач по общей физике. Механика. Физика макросистем

3

ПРЕДИСЛОВИЕ

Данное пособие занимает промежуточное положение между вузовским учебником по общей физике и сборником задач. В нем отражен многолетний опыт преподавания автором курса физики на кафедре общей физики Пермского государственного технического университета и в физико-математических классах лицея №1 при ПГТУ. При этом предполагается, что читатель уже знаком с основными законами физики.

Судить о степени понимания физических законов можно по умению сознательно их применять к решению конкретных задач. Высокая степень понимания физики определяется не только умением использовать при решении задач фундаментальные физические законы, но и методологические принципы физики (симметрии, относительности и др.), истинный смысл которых проявляется именно при решении задач. Кроме того, существует и обратная связь между практикой решения конкретных задач и более глубоким пониманием законов физики.

Целью настоящего пособия является, прежде всего, иллюстрация законов физики на примере решения отдельных задач. Рассмотрены самые разные задачи – от достаточно простых, требующих только начальных знаний, так и оригинальные задачи, связанные с практикой научно-исследовательской работы. С другой стороны, пособие должно помочь студентам ответить на вопрос, с чего начать решение задачи, какие именно физические законы и соотношения следует при этом использовать, а также показать, как следует применять законы физики при решении конкретных вопросов. Методы, применяемые при решении задач, присутствуют и в любом научном исследовании. Это, во-первых, обоснованная идеализация изучаемого явления, во-вторых, это анализ простых частных и предельных случаев, для которых ответ очевиден.

Пособие предназначено в основном для студентов технических вузов и будет полезным также преподавателям кафедр общей физики. Однако изложение построено так, что, опуская отдельные места, связанные с применением высшей математики, его можно использовать и в классах физико-математического профиля школ и лицеев.

4

1.ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ

1.1.Метод анализа размерностей

Что мы обычно понимаем под решением какой-либо физической задачи? Необходимо, опираясь на физические законы, методологические принципы физики и определения физических величин, в рамках адекватной модели получить выражение в виде формулы, отражающее связь между искомой величиной и какими-либо данными задачи. Есть и более сложные задачи, в которых необходимо самостоятельно выбрать исходные данные. Но в любом варианте в основе решения лежат физические принципы.

Существует и другой подход к установлению связи между физическими величинами, в котором не заложены никакие физические законы и который основан на теории подобия и размерности.

Понятие размерности возникает в связи с построением систем единиц. В принципе для каждой физической величины можно установить свою единицу, никак не связанную с единицами других величин. Но тогда в уравнения, выражающие физические законы, вошло бы множество численных коэффициентов. Во избежание этого некоторые физические величины условно принимаются за основные. Так, например, в международной системе единиц (СИ) за основные приняты шесть величин: длина (L), масса (M), время (T), температура, сила электрического тока и сила света. Величины, не являющиеся основными, называются производными. Например, размерность силы равна размерности массы, умноженной на размерность ускорения: [F ]=[ma]= MLT −2 . Размерность физической величины дает прави-

ло, позволяющее определить, как меняется единица производной физической величины при изменении масштаба основных величин.

Понятие размерности возникает в связи с требованием, чтобы в одной и той же системе единиц количественные соотношения между различными физическими величинами выражались одними и теми же формулами, независимо от того, как велики единицы основных

5

физических величин. На этом основан так называемый метод анализа размерностей. Суть его заключается в следующем.

Пусть какая-либо физическая величина y зависит от нескольких основных физических величин x , например, от длины L, массы M и времени T. Тогда требование независимости функциональной связи между y и x от выбора масштаба единиц основных физических вели-

чин может быть удовлетворено только тогда, когда размерность выражается формулой степенного вида:

[y]= LαM βT γ ,

где α, β и γ – некоторые постоянные числа (доказательство этого

утверждения можно найти, например, в работе [1]).

Если посмотреть на размерности физических величин, фактически встречающихся в физике, то можно заметить, что во всех случаях числа α, β и γ оказываются рациональными. Это не обязатель-

но с точки зрения теории размерности, а является результатом соответствующих определений физических величин.

Другая теорема утверждает, что во всяком физическом законе типа A = B размерности обеих частей равенства должны быть одинаковы (правило размерностей). В равенство типа A = B могут входить в качестве множителей либо постоянные коэффициенты, либо безразмерные комбинации физических величин. Над размерными величинами правило размерности допускает выполнение только степенных математических операций. Все прочие математические операции ( sin x, ex ,ln x и т.д.) могут выполняться только над безразмер-

ными величинами. Правило размерности очень полезно для проверки полученных формул. Если вычисления проводятся в какой-то одной системе единиц, то размерности обеих частей всех полученных равенств должны быть одинаковы.

Метод анализа размерностей сам по себе, т.е. без использования каких-либо физических допущений, не может привести к какимто конкретным физическим выводам, поскольку в его основу не заложены никакие физические законы. Для того чтобы извлечь из этой

6

теории конкретные выводы, нужно установить, между какими физическими величинами существуют количественные связи. В этом смысле теория размерностей не может дать никаких указаний. Это можно сделать, опираясь на физические законы, интуицию и опыт.

Проиллюстрируем сказанное выше на определении зависимости периода колебаний математического маятника от его параметров и внешних условий. Период колебаний T может зависеть от длины нити l , массы m , ускорения свободного падения g , угловой ампли-

туды колебаний θ и коэффициента вязкости воздуха η. Пренебрегая

вязкостью воздуха, в соответствии с методом анализа размерностей мы должны считать, что зависимость периода колебаний T от параметров l, m,θ и g должна иметь вид

T =Cϕ(θ)lαmβgγ ,

где C – безразмерная постоянная; α, β и γ – показатели степени, которые нужно определить. Вид безразмерной функции ϕ(θ) из тео-

рии размерности установить нельзя. Запишем формулу размерности для периода:

[T ]=[L]α [M ]β LT −2 γ .

После упрощений получаем

[T ]=[L]α+γ [M ]β [T ]−2γ .

Для согласования размерностей в обеих частях последнего равенства необходимо приравнять показатели степени при соответствующих величинах:

1 = −2γ,

0 =α+ γ,

0 =β.

Решение данной системы уравнений имеет вид

α =1/ 2, β = 0, γ = −1/ 2 .

7

Таким образом, зависимость периода колебаний математического маятника от его параметров должна иметь вид

T =Cϕ(θ) l / g .

Значение постоянного множителя C не определяется из теории размерности. Точный анализ, основанный на законах Ньютона, дает для него значение, равное 2π . Значение ϕ(θ) при малых коле-

баниях приближенно равно единице.

При недостаточном числе основных физических величин (базисе) некоторые величины, имеющие различную физическую приро-

направления, размерности этих величин представлены с применением одного и того же символа L .

Для уменьшения числа совпадений размерностей у неоднородных величин необходимо учитывать векторный характер физических величин, т.е. в тех случаях, когда необходимо подчеркнуть векторные свойства физических величин, размерность длины L должна быть «разложена» по трем взаимно перпендикулярным направлениям Lx , Ly и Lz . Эти основные величины можно назвать «векторными

единицами длины». При использовании размерностей Lx , Ly и Lz

многие формулы размерностей становятся информативнее. Например, в случае движения тела, брошенного горизонтально с некоторой высоты, тело обладает постоянной горизонтальной скоростью vx и вертикальным ускорением свободного падения g . Обычно размерности

величин vx и g записывают соответственно в виде LT −1 и LT −2 . В случае использования «векторных единиц длины» размерность этих величин становится более информативной: LxT −1 и LyT −2 .

8

Для иллюстрации данного подхода рассмотрим задачу об определении дальности полета пули S , выпущенной горизонтально с начальной скоростью v на высоте h от земли. При отсутствии сопротивления воздуха дальность полета S может зависеть от величин v, h и g . Представим искомую зависимость в виде

Запишем формулу размерности для дальности полета пули:

[S]=[v]α [h]β [g]γ .

После приравнивания соответствующих размерностей в обеих частях последнего равенства, находим значения коэффициентов α, β, γ:

α =1, β =1/ 2, γ = −1/ 2 ,

и тогда с точностью до постоянного множителя C выражение для дальности полета пули будет иметь вид

Нетрудно убедиться, что без использования «векторных единиц длины» нам не удалось бы получить этот результат (для согласования размерностей получилась бы система из двух уравнений с тремя неизвестными).

Метод анализа размерности эффективно применять в сложных задачах, например в гидродинамике, где полная теоретическая трактовка весьма затруднительна.

В качестве примера рассмотрим задачу о сбросе воды через широкую плотину. Во время паводка высота уровня воды h над кромкой плотины выросла в 2 раза. Во сколько раз увеличится водосброс? Так как ширина плотины остается неизменной, то в качестве

9

меры водосброса можно взять массу воды, сбрасываемой через единицу ширины плотины за единицу времени, – µ( [µ]= кг/(м с) ). Эта

величина может зависеть от высоты уровня воды h , ускорения свободного падения g и плотности воды ρ. В соответствии с методом анализа размерностей нетрудно получить:

µ =Cρα gβhγ ,

где C – некоторая константа, α =1, β =1/ 2, γ =3/ 2 .

Таким образом, водосброс оказывается пропорциональным высоте уровня воды над кромкой плотины в степени 3/2 и увеличивает-

ся в 2 2 раз. Этот результат можно понять и из чисто физических соображений. Увеличение уровня воды, во-первых, пропорционально увеличивает площадь сечения сброса. Во-вторых, в соответствии

с формулой Торричелли (v = 2gh ) возрастает и скорость истечения.

Рассмотренный пример наглядно показывает, насколько осторожно нужно подходить к выбору модели задачи и параметров, влияющих на ее поведение. Если мы искали бы не массу воды, сбрасываемой через единицу ширины плотины за единицу времени, а зависимость сбрасываемой массы за единицу времени от высоты превышения воды над плотиной h , то получили бы следующий результат:

µ =Cρg1/ 2 h5 / 2 ,

что не имеет никакого физического обоснования.

10