книги / Принципы и практика решения задач по общей физике. Механика. Физика макросистем

После потенцирования находим

m = M (eµπ −1) .

Полученный ответ наглядно показывает, что большому натяжению каната, обмотанному вокруг какого-либо столба, можно противодействовать с другого конца даже небольшой силой. Это связано с тем, что сила трения возрастает с увеличением угла охвата каната по экспоненциальному закону (жалко, что такой способ преобразования силы является существенно необратимым, в отличие от таких механизмов, как рычаг, ворот и т. п.).

2.2.6. Погрузка песка в движущуюся тележку. По гладким горизонтальным рельсам катится со скоростью v0 тележка массой m и длиной l (рис. 2.16). Из неподвижного бункера на нее начинает высыпаться песок. Скорость погрузки постоянна и равна µ кг/с.

Какая масса песка успеет насыпаться на тележку за время ее движения?

Выберем в качестве системы отсчета землю. В данной системе

отсчета присоединяемая масса песка не имеет горизонтальной скорости, но относительно тележки ее скорость равна скорости тележки со знаком минус. В этом случае движение тела с переменной массой принимает вид

или

dtd [m(v)vG]= FG .

Так как мы пренебрегаем трением тележки о рельсы, то сумма всех внешних сил равна нулю. Тогда произведение полной массы

41

тележки с песком на ее скорость сохраняется неизменным во время движения.

Распишем соотношение (1) более подробно: mv0 =(m +µt )v(t) ,

где v(t) – скорость тележки в произвольный момент времени.

Для того чтобы найти массу насыпавшегося песка, необходимо знать, за какое время тележка успеет пройти путь, равный своей длине. Так как движение тележки происходит с переменной скоростью

то время насыпания песка t0 можно определить из условия

t∫0 v(t)dt =l .

0

Подставляя сюда зависимость v(t) и интегрируя, находим

Таким образом, за время движения тележки в нее насыплется масса песка

2.2.7. Бусинка на вращающемся кольце. На гладкое прово-

лочное кольцо радиусом R надета маленькая бусинка. Кольцо начинают медленно раскручивать до угловой скорости ω вокруг вертикальной оси, проходящей по диаметру кольца. Где остановится бусинка?

Рассмотрим движение бусинки в системе отсчета, связанной с вращающимся кольцом. Это неинерциальная система отсчета

42

и в ней на бусинку будут действовать три силы – сила тяжести mg , сила реакции

со стороны кольца N и центробежная си-

же остановится бусинка? Для этого нужно проанализировать устойчивость (или неустойчивость) найденных положений. Известно, что для устойчивости найденного положения равновесия необходимо, чтобы появившаяся сила δFτ при небольшом отклонении от положе-

ния равновесия (в любую сторону) была направлена к положению

43

Для устойчивости этого положения равновесия необходимо, чтобы знак δFτ был противоположен знаку dθ. Это произойдет, если

всегда противоположен знаку dθ. Значит, это положение равновесия (если оно существует) всегда устойчиво.

Итак, до достижения угловой скоростью значения ω0 = g / R

бусинка будет оставаться внизу кольца. Как только угловая скорость превысит значение ω0 нижнее положение равновесия становится неустойчивым и бусинка переходит в верхнее положение, определяемое условием cos θ0 = g / ω2 R .

2.2.8. Бруски, соединенные пружинкой. На гладкой горизон-

тальной плоскости находятся два одинаковых бруска, соединенных недеформированной пружинкой жесткости k и длиной l . На один из брусков начали действовать постоянной горизонтальной силой F (рис. 2.18).

Найти максимальное и минимальное расстояние между брусками при их движении.

С точки зрения неподвижной системы отсчета на ускоренное движение брусков под действием постоянной силы F накладываются еще и колебания под действием силы упругости. Для упрощения анализа воспользуемся тем, что расстояние между телами не зависит от системы отсчета, и поэтому разумно перейти в неинерциальную систему отсчета, связанную с центром масс этой системы

(точка C на рис. 2.19). В этой системе отсчета кроме сил, обусловленных взаимодействием, появляется еще и сила инерции:

44

системы отсчета относительно неподвижной системы отсчета, равное ускорению центра масс под действием постоянной силы F :

Из уравнений (1) и (2) следует, что сила инерции, действующая на каждое тело, Fin = F / 2 . Таким образом, относительно неподвижной для нас точки C , которая находится посередине между брусками, на каждое тело кроме силы упругости действуют противоположно направленные силы, равные F / 2 . Это сразу позволяет сказать, что минимальное расстояние между брусками будет равно исходной длине пружины. А для определения максимального расстояния необходимо решить довольно простую задачу.

На тело, связанное со стенкой пружиной жесткости 2k (это жесткость пружины длиной l / 2 ), подействовали постоянной силой F / 2 (рис. 2.20). Каково максимальное

удлинение пружины?

Самая распространенная ошибка здесь заключается в том, что в точке остановки тела принимают равенство

силы упругости и внешней силы. На самом деле при равенстве этих сил обращается в нуль ускорение, а скорость будет иметь максимальное значение. Для того чтобы тело остановилось, оно должно пройти еще точно такое же расстояние. Таким образом, максимальное удлинение половины исходной пружинки жесткостью 2k под

действием силы F / 2 будет равно 2 F2 / 2k = 2Fk , полное удлинение

всей пружины будет в 2 раза больше, а максимальное расстояние между брусками будет равно l + F / k .

2.2.9. Кольцевая цепочка с трением. Кольцевая цепочка мас-

сы m надета на горизонтальный диск радиусом R . Сила натяжения цепочки T , коэффициент трения между диском и цепочкой µ . При какой угловой скорости вращения диска цепочка спадет с него?

45

Во многих задачах всегда полезно представлять развитие ситуации во времени. Это позволит лучше понять характер возникающих сил и то, что происходит при их изменении. В данном случае мы ведь не сразу пришли к состоянию с конечной угловой скоростью. Вначале, еще до раскручивания диска, натянутая цепочка прижимается к диску и за счет трения способна удержаться на его периферии (стащить цепочку вниз пытается сила тяжести). При раскрутке диска появляется центробежная сила, которая ослабит давление цепочки на диск, и, естественно, при некоторой угловой скорости цепочка спадет с диска.

Рассмотрим теперь, что происходит вблизи какого-либо малого элемента цепочки длиной dl = Rdα (рис. 2.21). В горизонтальной плоскости на данный элемент действуют две силы натяжения T , сумма которых равна Tdα . Сила Tdα уравновешена силой давления со стороны диска dN . По вертикали также действуют две силы – сила тяжести dmg

и сила трения dFтр =µdN . Условие спадания цепочки, очевидно, следующее:

µdN = dmg

или

Рис. 2.21

µTdα = dmg .

Вращение цепочки с угловой скоростью ω приведет к появлению центробежных сил, которые, очевидно, ослабят давление цепочки на диск. Тогда новая сила давления dN′ будет меньше старой dN на величину dFцб = dmω2 R , т.е.

dN′ = dN −dmω2 R ,

где dN =Tdα .

В итоге условие соскальзывания цепочки примет вид

46

Представляя массу бесконечно малого элемента цепочки dm в виде dm = 2mπdα, перепишем уравнение (1):

Откуда находим

Понятно, что полученный ответ справедлив в том случае, если исходная сила натяжения не меньше mg / 2πµ.

2.2.10. Ящик с песком. На горизонтальной плоскости находится ящик с песком массы M . Коэффициент трения о плоскость µ . Под

углом α к вертикали в ящик влетает со скоростью v пуля массы m и почти мгновенно застревает в песке. Через какое время после попадания пули в ящик он остановится (если вообще сдвинется с места)?

На первый взгляд задача кажется очень простой. Вначале применим закон сохранения импульса и находим начальную скорость ящика. Затем, зная ускорение ящика, обусловленное силой трения (оно равно µg ), находим, за какое время скорость ящика упадет

до нуля. Этот «очевидный» план здесь не сработает. Дело в том, что мы не имеем права применять закон сохранения импульса к процессу соударения пули и ящика. Ведь главное условие применимости данного закона заключается в изолированности рассматриваемой системы тел. А она как раз и не является изолированной – есть сила трения ящика о плоскость. И, как ни парадоксально, чем меньше время застревания пули в песке τ , тем больше влияние силы трения на процесс разгона ящика. Это связано с тем, что при уменьшении времени застревания пули возрастает сила давления ящика на поверхность, что соответственно ведет к росту силы трения в интервале времени τ (для того чтобы остановить пулю за меньшее время, нужна большая сила).

47

В связи с изложенным запишем вначале второй закон Ньютона для пули. В процессе застревания на пулю со стороны песка (и соответственно на ящик) будут действовать две силы – горизонтальная Fx

и вертикальная Fy (рис. 2.22). Эти силы подчиняются уравнениям:

Пренебрегая слагаемым Mg по сравнению со вторым слагаемым ~ 1/ τ, запишем для ящика в интервале времени τ второй закон Ньютона:

mvsinτ α −µ mv cosτ α =(M + m)uτ

(при этом мы явно опирались на соотношения (1)). Откуда легко найти скорость, приобретенную ящиком в процессе застревания пули:

u = mv(sin α −µcos α) .

M + m

При дальнейшем торможении ящика под действием силы трения, обеспечивающей ускорение µg , он остановится за время

48

Из полученного ответа следует, что если tg α <µ , то ящик во-

обще не сдвинется с места.

2.2.11. Рыбак в лодке. Существует классическая задача о перемещении лодки при движении по ней рыбака. На носу лодки массой M и длиной l находится рыбак массой m . На сколько переместится лодка относительно воды, если рыбак перейдет на корму?

Обычно данную задачу решают, пренебрегая сопротивлением воды. Мы же учтем наличие силы сопротивления воды, полагая ее пропорциональной скорости лодки Fсопр = −rV , где r – коэффициент

сопротивления.

Рассмотрим вначале ситуацию при отсутствии силы сопротивления воды. Пусть рыбак движется по лодке с некоторой постоянной скоростью v относительно воды. Так как система рыбак–лодка является замкнутой, то в силу закона сохранения импульса векторная сумма импульсов рыбака и лодки в любой момент времени должна быть равна нулю. Это означает, что всегда выполняется равенство

где V0 – скорость лодки, равная ее пути l0 , деленному на время движения t0 . Скорость же рыбака равна его пути l −l0 , деленному на t0 . Из (1) получаем

m(l −l0 ) = M l0 . t0 t0

Откуда находим, что перемещение лодки к моменту окончания движения рыбака

При остановке рыбака опять же в силу закона сохранения импульса обратится в нуль и скорость лодки, т.е. значение l0 и будет равно полному перемещению лодки.

49

«Включим» теперь сопротивление воды. В этом случае равенство (1) будет выполняться только в момент начала движения рыбака и значение V0 дает только стартовую скорость лодки (на ее значение

сила сопротивления воды не успеет оказать влияние). Дальнейшее движение лодки при наличии силы сопротивления подчиняется второму закону Ньютона:

где t0 – время движения рыбака, равное (l −l0′) / v .

Подставляя закон изменения скорости лодки (3) в выражение (4), получаем

Полученное уравнение является трансцендентным относительно l0′ (его значение входит также и в показатель экспоненты). Но при малых значениях коэффициента сопротивления r уравнение (5) легко решить относительно l0′. С учетом равенства exp(x) ≈1 − x получаем

50