книги / Принципы и практика решения задач по общей физике. Механика. Физика макросистем

может перемещаться без трения по горизонтальной плоскости, упруго закреплен с помощью вертикальной пружины с коэффициентом жесткости k (рис. 3.3). В положении

равновесия пружина не растянута и ее длина равна l0 . Для определения потенциальной

энергии пружины выразим ее удлинение через смещение груза x :

(второй закон Ньютона) оказывается нелинейным. В самом деле сила, действующая на груз,

Таким образом, из предположения малости колебаний не обязательно следует линейное описание системы!

121

Для определения периода колебаний подставим U (x) в выражение (2):

Введем замену переменных u = x / A . Тогда выражение для периода можно записать в виде

Этот интеграл выражается через гамма-функцию Г(z) :

И для периода колебаний получаем окончательное выражение:

T = 3,71 mk lA0 .

В этом выражении можно видеть проявление одного из характерных свойств нелинейных систем – их неизохронность, т.е. зависимость периода свободных колебаний от амплитуды.

Еще один пример нелинейной колебательной системы – физический и математический маятники. Колебания физических и математических маятников являются изохронными (т.е. период колебаний не зависит от амплитуды) только при достаточно малых амплитудах. При увеличении амплитуды колебаний они становятся неизохронными и, кроме того, не являются чисто гармоническими (в них появляются гармоники более высоких порядков).

Для установления зависимости периода колебаний (и соответственно частоты) от амплитуды применим энергетический подход к незатухающим колебаниям физического маятника.

122

= mga(cos ϕ−cos ϕ0 ) , где ϕ – угол отклонения маятника от положе-

Для определения периода колебаний разрешим

это уравнение относительно dt , проинтегрируем его по углу от ϕ = 0

где обозначено k = sin(ϕ0 / 2) .

123

Данный интеграл не выражается через элементарные функции. Однако учитывая, что k sin x ≤1, подынтегральное выражение мож-

но разложить в ряд по формуле бинома Ньютона и после почленного интегрирования приходим к формуле

С достаточной для практики точностью можно учесть только первые два члена этого ряда:

Значения относительного отклонения в процентах периода колебаний T, рассчитанного по формуле (3), от значения T0 для различных амплитуд следующие:

Итак, мы выяснили, что колебания математического и физического маятника изохронны только при малых амплитудах. Точно так же колебания материальной точки, движущейся по дуге окружности, обращенной выпуклостью вниз, под действием силы тяжести будут в общем случае неизохронными. В связи с этим возникает вопрос: существует ли такая гладкая кривая, при движении по которой под действием силы тяжести материальная точка будет совершать гармонические изохронные колебания при любых амплитудах? Такая задача была решена Гюйгенсом, который показал, что такой кривой является перевернутая циклоида. При доказательстве Гюйгенс опирался в значительной степени на кинематические свойства циклоиды как кривой, которую описывает фиксированная точка окружности, катящейся без скольжения по прямой. Найдем период колебаний материальной точки, движущейся по циклоиде (циклоидальный маятник), исходя из более простых физических соображений.

124

Рассмотрим циклоиду, обращенную выпуклостью вниз. В соответствии с этим примем, что окружность расположена ниже горизонтальной прямой, по которой она катится (эта прямая на рис. 3.5 изображена штриховой линией). За ось X примем параллельную ей прямую, смещенную вниз на диаметр ок-

ружности 2R . Пусть точка A на катящейся окружности, описывающая циклоиду, в исходном положении находится на оси Y в наивысшей точке. Если окружность при качении повернется на угол ϕ, то ее центр C пере-

При этом точка A сместится относительно центра влево на расстояние Rsin ϕ и вниз на расстояние R(1 −cos ϕ) . Тогда прямоугольные коор-

динаты точки A примут значения:

x = R(ϕ−sin ϕ), y = R(1+ cos ϕ) .

Эти уравнения задают циклоиду в параметрическом виде (параметр ϕ является функцией времени ϕ = ωt , где ω равна угловой

скорости вращения колеса). Пусть теперь x и y означают координа-

ты материальной точки, совершающей циклоидальные колебания под действием силы тяжести. Тогда потенциальная энергия точ-

ки U = mgy , а кинетическая – E = m(x2 + y2 )/ 2 . Найдя производные x, y , после элементарных преобразований получаем

U = 2mgR cos2 ϕ/ 2, E = 2mR2ϕ2 sin2 ϕ/ 2.

Введем новую переменную q = cos ϕ/ 2 . Тогда q = −(1/ 2)ϕsin ϕ/ 2 . Эта переменная q может быть принята за обобщенную координату,

определяющую положение колеблющейся точки, а ее производная q – за обобщенную скорость. В этих обозначениях

U = 2mgRq2 , E =8mR2 q2 .

125

Данные соотношения показывают, что потенциальная энергия является квадратичной функцией координаты q , а кинетическая энергия – квадратичная функция скорости q с постоянными коэффициентами. Отсюда сразу делаем вывод о том, что при любых амплитудах колебания циклоидального маятника будут изохронными и гармоническими с периодом T = 2π 4R / g .

При малых амплитудах колебаний движение циклоидального маятника почти не отличается от движения математического маятника по окружности радиусом, равным радиусу кривизны циклоиды в нижней точке. Найдем его значение. Точка A (см. рис. 3.5) описывает данную циклоиду независимо от того, катится ли колесо равномерно или с ускорением, важно только, чтобы оно не проскальзывало. Проще всего рассмотреть, разумеется, равномерное качение колеса. Такое качение получается в результате сложения равномерного вращения колеса вокруг оси с угловой скоростью ω и равномерного поступательного движения, линейная скорость v которого равна ωR .

Во всех инерциальных системах отсчета материальная точка имеет одно и то же ускорение. Поэтому находить его можно в любой такой системе отсчета. Ясно, что ускорение точек обода колеса связано только с его вращением вокруг оси. Поэтому ускорение любой точки обода a направлено по радиусу к центру колеса и определяет-

Значит, и в низшей точке циклоиды ускорение элемента обода колеса равно v2 / R и направлено вверх.

Рассмотрим теперь движение этой же точки обода как движение по циклоиде. Скорость в любой точке траектории направлена по касательной к ней; значит, в низшей точке циклоиды скорость направлена горизонтально. Ускорение же, как мы выяснили, направлено верти-

126

кально вверх, т.е. перпендикулярно скорости. Поэтому найденное выше ускорение также может быть записано в виде

где V – скорость точки обода в ее низшем положении; r – искомый радиус кривизны циклоиды.

Скорость любой точки обода катящегося колеса равна векторной сумме скорости поступательного движения колеса и линейной скорости вращения вокруг оси. При отсутствии проскальзывания эти скорости равны по модулю, а в нижней точке и направлены одинаково. Поэтому V = 2v и, сравнивая формулы (4) и (5), находим

r = 4R .

Так как радиус кривизны в нижней точке как раз и равен длине математического маятника l , то мы попутно получили и формулу для периода колебаний математического маятника при малых амплитудах T = 2π l / g .

127

3.2.Период, частота и амплитуда собственных колебаний

3.2.1.Математический маятник между наклонными стен-

ками. Между двумя наклонными стенками с малым углом полураствора α находится шарик на нити длиной l (рис. 3.6). Толчком ему

сообщают скорость v . Найти период колебаний (взаимодействие со стенкой считать упругим).

Понятно, что если начальная скорость шарика настолько мала, что он не ударяется о стенки, то период колебаний рассчитывается как для обычного математического маятника:

При малом угле α находим vmin = α gl . Если же начальная скорость шарика больше vmin , то он начинает упруго ударяться о стенки, при-

чем после каждого удара скорость шарика просто изменяет знак. Это означает, что после удара участок 1–2 зависимости угла отклонения от времени (рис. 3.7) повторяет участок 3–4, который был бы при свободных колебаниях. Уравнение

128

ризонтальной поверхности находится тележка массой M c установ-

129

Положение центра инерции можно определить по формуле

Помещая начало отсчета оси x в точке с массой m , легко находим l′:

3.2.3. Два шарика на пружинке. На гладкой горизонтальной поверхности находятся два шарика массами m1 и m2 , связанные пружинкой жесткости k . Найти частоту колебаний такой системы

(рис. 3.10).

Рассмотрим несколько вариантов решения данной задачи, каждый из которых иллюстрирует

Рис. 3.10 различные физические подходы. Первый вариант. Так как мы наблюдаем одновременное движе-

ние двух тел, то разумно описать движение каждого из них. Пусть x1 и x2 – отклонения от положения равновесия первого и второго шарика. Запишем для них второй закон Ньютона:

d 2 x2

dt2

(здесь учтено, что сила упругости определяется не отклонением от положения равновесия каждого шарика, а разностью этих отклонений).

130