книги / Принципы и практика решения задач по общей физике. Механика. Физика макросистем

Значение τ можно определить из закона изменения скорости колебаний плоскости

v = v0 sin ωt .

Полагая здесь t = τ и v =u , приходим к уравнению u = v0 sin ωτ.

При малом времени τ синус является почти линейной функцией, и тогда

Таким образом, условие «стационарности» соскальзывания тела можно представить в виде

откуда легко найти среднюю скорость соскальзывания тела

u = v0 πtgα . 2µ

Из данного выражения видно, что при выполнении условия tg α <<µ , скорость соскальзывания тела не зависит от частоты

колебаний плоскости и много меньше амплитуды скорости колебаний плоскости, что и было заложено с самого начала в наших рассуждениях.

151

3.4.Волновое движение

Впредыдущем разделе были рассмотрены колебания отдельных частиц, происходящие под действием восстанавливающей силы. Если же имеется совокупность связанных, т.е. взаимодействующих между собой частиц, то в колебательный процесс вовлекаются все частицы данной среды. Такая ситуация возникает во всех сплошных средах: газах, жидкостях и твердых телах. Распространяющиеся упругие колебания в газах и жидкостях или твердых телах называются звуковыми волнами или просто звуком.

Ранее мы рассмотрели задачу о распространении звука в твер-

дых телах и получили выражение для скорости упругих волн c = E / ρ , где E – модуль Юнга; ρ – плотность среды. Распростра-

нение звука в газах существенно отличается от распространения звука в твердых телах, прежде всего тем, что плотность газа может значительно изменяться при распространении упругих волн. В связи с этим рассмотрим задачу о скорости распространения звука в газах.

Пусть имеется полубесконечная цилиндрическая труба, заполненная газом. В начале этой трубы имеется поршень П , совершающий колебания вдоль трубы (рис. 3.26). Эти колебания будут передаваться от поршня к соседним с ним частицам газа, от этих частиц – к более далеким и т.д. Таким образом, вдоль трубы будет распространяться волна сжатий и разрежений, сопровождаемая изменением, как плотности, так и давления в различных точках среды. Найдем скорость этой волны – c . При движении поршня со скоростью v

за время dt частицы газа, прилипшие к поршню, пройдут путь v dt , а звук рас-

152

менение по сравнению с начальным состоянием. С другой стороны, относительное изменение объема можно выразить через относительное изменение плотности газа ∆ρ/ ρ0 , где ρ0 – плотность газа в отсутствие звука; ∆ρ – изменение плотности, обусловленное распространяющейся звуковой волной. Так как ρ = m /V , где m – масса газа, вовлеченная в волновой процесс, то

Изменение плотности неизбежно вызывает изменение давления газа. Полагая изменения давления газа ∆p малыми, их можно

связать с изменением его плотности:

∆p = dp ∆ρ,

dρ

dp

где – производная от давления газа или жидкости по плотно-

dρ

сти. Величина ∆p часто называется акустическим давлением. Учитывая соотношение (1), величину ∆p можно представить

в виде

153

Произведение ∆p на площадь поршня S дает силу F , с которой поршень давит на газ:

По второму закону Ньютона эта сила должна быть равна скорости изменения импульса частиц газа, вовлеченных в волновой процесс. За время dt , как отмечалось выше, в волновое движение будут вовлечены частицы газа в объеме cdtS . Умножая этот объем на ρ0 и v , получаем изменение импульса газа за время dt . Поэтому

скорость изменения импульса газа будет равна ρ0cSv . Таким обра-

справедливое при распространении любых малых колебаний плотности в газах или жидкостях.

Формула (2) впервые была получена Ньютоном, который предположил, что распространение изменения давления и плотности газа в звуковой волне представляет собой изотермический процесс, подчиняющийся закону Бойля–Мариотта:

154

И тогда для скорости звука получаем выражение

где p0 и ρ0 – невозмущенные значения давления и плотности газа при отсутствии звуковой волны. Обозначение cНьютон подчеркивает, что речь идет о скорости звука, вычисленной Ньютоном. С учетом уравнения Менделеева–Клапейрона выражение для cНьютон можно представить в более удобном для расчетов виде

µ ≈ 0,029 кг/моль, R =8,31 Дж/(моль К), найдем скорость звука

в воздухе при T = 0 °C : cНьютон = 280 м/с. Однако опыт дает другое значение c = 330 м/с. Причина столь значительного расхождения между теорией и опытом заключается в следующем.

Так как звуковые колебания совершаются очень быстро, то при распространении звука отдельные участки газа не успевают обмениваться теплом и поэтому распространение звука представляет собой адиабатический, а не изотермический процесс, как это предположил Ньютон.

Поэтому правильное выражение для скорости звука должно иметь вид

по плотности при адиабатическом процессе. Рассчитаем эту производную. Адиабатический процесс подчиняется уравнению Пуассона:

155

pV γ = const ,

где γ = Cp / CV – показатель адиабаты. Это уравнение можно переписать через плотность:

Откуда нетрудно найти и производную:

Таким образом, скорость звука в идеальном газе

c = γ p0 .

ρ0

С учетом уравнения Менделеева–Клапейрона это выражение можно записать в более удобной форме:

c = γ RTµ .

Принимая для воздуха γ = Cp / CV =1,4, при T = 0 °C получаем

c = 331 м/с, что значительно лучше совпадает с опытом, чем значение, полученное Ньютоном. Причина этого заключается в следующем. Звуковая волна состоит из движущихся друг за другом областей сжатия и разрежения газа. Над сжатыми областями совершается работа, которая идет на повышение их температуры. Разреженные же области сами совершают работу и благодаря этому охлаждаются. Так как сжатия и разрежения совершаются очень быстро, то температура между ними не успевает выровняться и поэтому сжатые области всегда горячее разреженных. Наличие этой разности температур повышает перепад давления между областями сжатия и разрежения в газах, что и приводит к увеличению скорости звука по сравнению с изотермическим процессом.

156

3.4.1. Сверхзвуковой самолет. Интересно, что движущийся предмет вовсе не обязан быть источником звука. Оказывается, что когда предмет движется со скоростью, большей скорости звука, то он сам производит звук, благодаря своему движению, и ему совершенно не обязательно вибрировать.

В связи с этим рассмотрим следующую задачу. Наблюдатель увидел горизонтально летящий сверхзвуковой самолет точно над головой, а услышал его звук только через t = 5 с. Скорость самолета v превышает скорость звука c = 340 м/с в 2 раза. На какой высоте летел самолет?

Первое, что приходит в голову для определения высоты самолета, нужно просто перемножить скорость звука и время. Однако это будет совершенно неверным. С чего мы взяли, что звуковая волна приходит к наблюдателю из точки, в которой его увидели? Здесь необходимо воспользоваться принципом Гюйгенса. Если источник звука движется со сверхзвуковой скоростью, то происходит следующее. Пусть в данный момент времени источник, находящийся в точке x1 , порождает звуковую волну со сферическим фронтом

(рис. 3.27). Когда источник переместится в следующую точку x2 , из нее

также пойдет сферическая звуковая волна и т.д. Конечно, все это происходит непрерывно, а не какимито этапами, и поэтому получается непрерывный ряд

сферических фронтов с общей касательной линией, проходящей через движущийся источник. Видно, что источник, вместо того, чтобы порождать сферические волны, как это было бы, будь он неподвижен, порождает в силу принципа Гюйгенса фронт, образующий в трехмерном пространстве конус с вершиной в точке C , в которой находится сам источник. На рисунке нетрудно определить угол полураствора этого конуса. За время перемещения источ-

157

ника из точки x1 в точку C со скоростью v звуковая волна пройдет со скоростью c путь, равный радиусу сферической поверхности S1 . Так как в силу принципа Гюйгенса фронт образующейся волны является касательным ко всем сферическим фронтам, то

Ясно, что это может быть только в том случае, если скорость источника больше скорости звука. И любой предмет, движущийся через среду быстрее, чем эта среда переносит волны, будет автоматически порождать волны просто благодаря своему движению. Подобное явление наблюдается и в оптике. Частица, движущаяся со скоростью, большей фазовой скорости света в данной среде, порождает коническую световую волну с вершиной в источнике. Это явление называется излучением Вавилова–Черенкова.

Вернемся теперь к нашей исходной задаче. Пусть наблюдатель увидел самолет в точке A (рис. 3.28). Из изложенного выше следует, что наблюдатель услышит звук, испущенный самолетом, когда он был еще в точке O . На рисунке видно, что высота самолета h = AB = AC tg θ.

Так как расстояние AC самолет пролетел за t секунд со скоростью v , то AC = vt , и для высоты получаем выражение

h = vt tgθ.

После несложных тригонометрических преобразований с учетом соотношения (1) получаем

M

M 2 −1

где M – число Маха, показывающее, во сколько раз скорость источника превышает скорость звука в среде, M = v / c. Очевидно, полученный ответ имеет смысл только в том случае, если M = v / c >1.

158

3.4.2. Скорость волн на «мелкой воде». Ранее мы рассмотре-

ли распространение звука в жидкостях и газах, которое связано с перемещением изменения плотности и давления. В жидкостях кроме звуковых волн могут распространяться и волны, не связанные с изменением плотности. В элементарных курсах физики примером таких волн служат волны на поверхности воды. Более неудачного примера придумать трудно, так как они совершенно не похожи на звуковые волны. Здесь собрались все трудности, которые только могут быть в волнах!

Рассмотрим, например, распространение длинных волн на глубокой воде (при распространении таких волн мы пренебрегаем поверхностным натяжением). Если считать глубину водоема очень большой, то на его поверхности могут возникать любые возмущения, простейшим из которых является синусоидальное движение. Вода, разумеется, в среднем остается на месте, а движутся сами волны. Это движение не является ни поперечным, ни продольным. Хотя в каждом данном месте горбы чередуются со впадинами, движение частиц воды не может быть просто вертикальным из-за крайне слабой сжимаемости воды. Если образуется впадина, то при ее образовании вода из данного места может двигаться только в стороны, и частицы воды

Другим примером являются так называемые волны на «мелкой воде» – волны, длина которых много больше глубины водоема h , а изменение уровня воды за счет возмущения мало по сравнению с h (рис. 3.30). Землетрясения вызывают иногда появление громадных отдельных волн – цунами, распространяющихся на огромные рас-

159

(это соотношение отражает просто закон сохранения массы). Обратимся теперь ко второму закону Ньютона. Согласно этому

закону скорость изменения импульса движения воды должна быть

160