- •Колебания. Волны. Оптика
- •1.Колебания
- •1.1.Гармонические колебания
- •1.1.1. Идеальный гармонический осциллятор. Уравнение идеального осциллятора и его решение. Амплитуда, частота и фаза колебаний
- •1.1.2. Свободные колебания систем с одной степенью свободы. Комплексная форма представления гармонических колебаний
- •1.1.3. Примеры колебательных движений различной физической природы
- •1.1.3.1. Колебания груза на пружине
- •Где – коэффициент жёсткости пружины, – координата положения равновесия, х – координата груза (материальной точки) в момент времени ,- смещение от положения равновесия.
- •1.1.3.2. Маятники
- •1.1.4. Сложение колебаний (биения, фигуры Лиссажу). Векторное описание сложения колебаний
- •1.1.5. Энергия колебаний
- •1.2. Ангармонический осциллятор
- •1.2.1. Линейность и принцип суперпозиции. Границы его применимости
- •1.2.2. Ангармонический осциллятор
- •1.3. Свободные затухающие колебания осциллятора с потерями
- •Она пропорциональна числу колебаний за время релаксации.
- •1.4. Вынужденные колебания. Время установления вынужденных колебаний. Его связь с добротностью осциллятора
- •1.5.Электромагнитные процессы в колебательном контуре с током
- •1.5.1. Свободные колебания в контуре
- •1.5.2. Свободные затухающие колебания в контуре
- •1.5.3. Вынужденные электрические колебания. Резонанс в последовательном контуре
- •1.5.4.Резонанс в параллельном контуре
- •1.5.5.Переменный ток
- •1.6.Связанные колебания. Нормальные моды связанных осцилляторов
- •1.6.1.Системы с двумя степенями свободы Нормальные моды колебаний
- •1.6.2.Общее решение для мод
- •2.Волны в упругой среде
- •2. 1. Волновое движение. Продольные и поперечные волны
- •2.2. Волновое уравнение в пространстве. Плоская гармоническая волна. Длина волны, волновое число, фазовая скорость. Одномерное волновое уравнение. Упругие волны в газах, жидкостях и твердых телах
- •2.3.Энергия волны
- •2.4.Принцип суперпозиции волн
- •2.5.Образование стоячих волн
- •2.6.Свободные колебания системы со многими степенями свободы. Волны – колебания непрерывных систем
- •2.7. Стоячие волны как нормальные моды колебаний
- •2.8. Моды поперечных колебаний непрерывной струны
- •2.9. Эффект Доплера
- •2.10. Электромагнитные волны
- •2.10.2. Энергетические характеристики электромагнитных волн. Вектор Пойнтинга
- •2.10. 2.1.Энергия и импульс электромагнитного поля. Сохранение энергии и импульса в изолированной системе произвольно движущихся зарядов
- •2.10.2.2. Работа, совершаемая полем при перемещении зарядов
- •2.10.2.3.Энергия электромагнитного поля. Плотность и поток энергии. Закон изменения энергии
- •2.10.2.4. Закон сохранения энергии для изолированной системы «поле- заряды»
- •2.10.2.5. Импульс электромагнитного поля. Закон сохранения импульса и момента импульса
- •2.10.3 Излучение диполя
1.5.Электромагнитные процессы в колебательном контуре с током
1.5.1. Свободные колебания в контуре
Идеальный колебательный контур, состоящий из индуктивностиL и ёмкости С, представляет собой линейный гармонический осциллятор, обладающий одной степенью свободы (рис.1.5.1). Состояние такого контура в любой момент времени может быть однозначно описано единственным параметром – зарядом q на конденсаторе. Если сопротивление контура равно нулю, R =0, то при замыкании индуктивности на предварительно заряженный конденсатор с зарядом в контуре возникают гармонические колебания.
Падение напряжения на конденсаторе . При замыкании цепи в индуктивности возникает ЭДС индукции где ток , поэтому .
Согласно второму правилу Кирхгофа то есть , или
Это уравнение является уравнением свободных гармонических колебаний, при условии Его решение , где – заряд конденсатора в момент времени t=0.
Для тока в катушке имеем:
-сдвиг фаз между током в контуре и напряжением на конденсаторе составляет π/2, ток опережает по фазе напряжения на конденсаторе на π/2 (рис.1.5.2).
Для напряжения закон изменения имеет вид:
При колебаниях происходит периодический переход электрической энергии конденсатора в магнитную энергию катушки . При этом полная электромагнитная энергия сохраняется.
1.5.2. Свободные затухающие колебания в контуре
Всякий реальный контур обладает активным сопротивлением. Электромагнитная энергия в контуре постепенно расходуется в этом сопротивлении на нагревание проводника, вследствие чего колебания затухают. По второму правилу Кирхгофа для цепи на рисунке 1.5.3 имеем:
Разделим это уравнение на L и подставим ,
Учитывая, что , и обозначив , получаем
- дифференциальное уравнение затухающих колебаний.
При , т.е. при , решение этого уравнения имеет вид
, (1.5.1)
где . Подставив и , получаем Таким образом, частота затухающих колебаний меньше собственной частоты .
Для определения напряжения на конденсаторе разделим (1.5.1) на С, имеем
Чтобы найти закон изменения силы тока, продифференцируем (1.5.1) по времени:
Обозначим тогда
Так как то - при наличии в контуре активного сопротивления сила тока опережает по фазе напряжение на конденсаторе более чем на
График функции представлен на рис.1.5.4.
Логарифмический декремент затухания Он определяется параметрами контура R, L, C и является характеристикой этого контура.
Если затухание невелико , то и
Добротность контура в случае слабого затухания
При слабом затухании добротность контура пропорциональна отношению энергии, запасённой в контуре в данный момент, к убыли этой энергии за один период. Действительно, амплитуда силы тока в контуре убывает по закону e-βt. Энергия W, запасённая в контуре, пропорциональна квадрату амплитуды силы тока, следовательно W убывает по закону e-2βt. Относительное уменьшение за период равно:
При незначительном затухании <<1 можно считать . Тогда добротность .
При частота становится комплексным числом, и происходит апериодический процесс разрядки конденсатора. Сопротивление контура, при котором колебательный процесс переходит в апериодический, называется критическим,