6. Энергия гармонического осциллятора
Смещение колеблющейся точки от положения равновесия, описывается уравнением:
ее ускорениеравно второй производной от смещения по времени
тогда сила, действующая на колеблющуюся точку, по второму закону Ньютона равна
- то есть сила пропорциональна смещению х и направлена против смещения к положению равновесия. Эта сила называется возвращающей силой.
Возвращающей силой в случае:
- груза на пружине является сила упругости,
- математического маятника – составляющая силы тяжести.
Возвращающая сила по характеру подчиняется закону Гука F= -kx,
где – коэффициент возвращающей силы.
Тогда потенциальная энергия колеблющейся точки равна:
(постоянную интегрирования выбирают равной нулю, чтобы при х=0 энергия Wn=0).
Кинетическая энергияосциллятора:
где , тогда
Полная механическая энергияравна сумме кинетической и потенциальной энергий,
и в случае свободных колебаний без трения сохраняется (рис.1.1.15).
Когда материальная точка совершает колебания, кинетическая энергия переходит в потенциальную, и наоборот.
В крайних точках (х = ±А) скорость , кинетическая энергия равна нулю, и полная энергия равна потенциальной:
Таким образом, полная механическая энергия гармонического осциллятора пропорциональна квадрату амплитуды колебаний.
В положении равновесия (х=0) потенциальная энергия переходит в кинетическую:
В промежуточных точках полная энергия равна
аскорость
На рисунке 1.1.16приведенакривая потенциальной энергии :
- горизонтальная линия соответствует полной энергии.
- расстояние от этой линии до кривой равно кинетической энергии.
-движение ограничено значениями х,заключёнными в пределах от–Адо +А.
Средние за период значения кинетической и потенциальнойэнергии одинаковы и равны
,
так что средняя полная энергия системы равна полной энергии системы
( средние значения ).
Энергия и уравнение движения
Уравнение движения колебательной системы можно получить не только из уравнений динамики, но и из закона сохранения энергии W (иногда это бывает удобнее). Для этого нужно:
- составить выражение для энергии W,
- продифференцировать его по времени;
- потребовать, чтобы , поскольку .
Это и приведет к искомому уравнению.
Важно отметить, что колебательная система будет гармоническим осциллятором лишь при условии , т. е. когда потенциальная энергия пропорциональнаквадрату смещения из положения равновесия.Это условие является и «энергетическим» критериеммалых колебаний.
Пример. Пусть в колебательной системеи, гдех — смещение из положения равновесия,αиβ— положительные постоянные. Убедимся, что условие приводит к уравнению гармонического осциллятора. ПродифференцировавW по времени, получим
Отсюда следует, что . Это и есть уравнение гармонического осциллятора с частотой.