4. Динамика гармонических колебаний.

Для определения характера движения механической системы нужно:

- составить уравнение движения системы исходя из законов динамики или закона сохранения энергии;

- сравнить с уравнением (1.1.3) ;

- если оно приводится к такому виду, то можно однозначно утверждать, что данная система является гармоническим осциллятором, частота ω₀которого равна корню квадратному из коэффициента прих.

Колебания груза на пружине

Рассмотрим колебания груза на пружине, при условии, что пружина не деформирована за пределы упругости.

Покажем, что такой груз будет совершать гармонические колебания относительно положения равновесия (рис.1.1.3).

Действительно, согласно закону Гука, сжатая или растянутая пружина создаёт гармоническую силу:

где –коэффициент жёсткости пружины,

–координата положения равновесия,

х–координата груза (материальной точки) в момент времени ,

- смещение от положения равновесия.

Поместимначало отсчета координаты в положение равновесия системы. В этом случае.

Если пружину растянуть на величину х, после чего отпустить в момент времениt=0, то уравнение движения груза согласно второму закону Ньютона примет вид

-kx =ma, или , и

(1.1.6)

Это уравнение совпадает по виду с уравнением движения (1.1.3) системы, совершающей гармонические колебания, его решение будем искать в виде:

. (1.1.7)

Подставим (1.17) в (1.1.6), имеем: то есть выражение (1.1.7) является решением уравнения (1.1.6) при условии, что

Если в начальный момент времени положение груза было произвольным, то уравнение движения примет вид:

.

Рассмотрим, как меняется энергия груза, совершающего гармонические колебания в отсутствие внешних сил (рис.1.14).

• Если в момент времени t=0 : грузу сообщить смещение х=А, то его полная энергия станет равной потенциальной энергии деформированной пружины , кинетическая энергия равна нулю (точка 1).

На груз действует сила F= -kx, стремящаяся вернуть его в положение равновесия, поэтому груз движется с ускорением и увеличивает свою скорость, а, следовательно, и кинетическую энергию. Эта сила сокращает смещение груза х, потенциальная энергия груза убывает, переходя в кинетическую. Система «груз - пружина» замкнутая, поэтому её полная энергия сохраняется, то есть:

. (1.1.8)

• В момент временигруз находитсяв положении равновесия(точка 2), его потенциальная энергия равна нулю, а кинетическая максимальна.

Максимальную скорость груза найдём из закона сохранения энергии (1.1.8):

За счёт запаса кинетической энергии груз совершает работу против упругой силы –и пролетает положение равновесия. Кинетическая энергия постепенно переходит в потенциальную.

• При груз имеетмаксимальное отрицательное смещение –А,кинетическая энергияW_k=0, груз останавливается и начинает движение к положению равновесия под действием упругой силыF= -kx.

Далее движение происходит аналогично.

5. Маятники

Под маятником понимают твёрдое тело, которое совершает под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной точки или оси.

Различают физический и математический маятники.

Математический маятник – это идеализированная система, состоящая из невесомой нерастяжимой нити, на которой подвешена масса, сосредоточенная в одной материальной точке.

например, математическим маятником, является шарик на длинной тонкой нити.

Отклонение маятника от положения равновесия характеризуется углом φ, который образует нить с вертикалью(рис.1.15).

При отклонении маятника от положения равновесия возникает момент внешних сил (силы тяжести) :

,

где m– масса, – длина маятника

Этот момент стремится вернуть маятник в положение равновесия (аналогично квазиупругой силе) и направлен противоположно смещению φ, поэтому в формуле стоит знак «минус».

Уравнение динамики вращательного движения для маятника имеет вид:

Iε=,

где -момент инерции математического маятника,

- угловое ускорение

Или .

Рассмотрим случай малых колебаний,поэтомуsin φ ≈φ, обозначим,

имеем: , или ,

и окончательно =0 -этоуравнение гармонических колебаний,

его решение:.

Частота колебаний математического маятника определяется только его длиной и ускорением силы тяжести, - и не зависит от массы маятника.

Период равен: .

_{Если колеблющееся тело нельзя представить, как материальную точку, то маятник называют физическим (рис.1.1.6).}

_{Физический маятник – твердое тело, которое может вращаться под действием своей силы тяжести вокруг неподвижной горизонтальной оси О, не проходящей через центр тяжести тела.}

_{Ось О называют осью качания маятника.}

_{Центр тяжести маятника совпадает с его центром масс.}

_{Точка подвеса маятника- точка О пересечения оси качания маятника и перпендикулярной оси качания.}

_{Уравнение его движениязапишем в виде:}

.

_{В случае малых колебаний} , или =0 _{, где}

_{Это уравнение движения тела, совершающего гармонические колебания.}

_{Частота колебаний физического маятника зависит от его массы, длины и момента инерции относительно оси, проходящей через точку подвеса.}

_{Обозначим .}

_{Величина называется приведённой длинной физического маятника - это длина математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом данного физического маятника.}

_{Точка на прямой, соединяющей точку подвеса с центром масс, лежащая на расстоянии приведённой длины от оси вращения, называется центром качания физического маятника (О’).}

_{Если маятник подвесить в центре качания, то приведённая длина и период колебаний будут теми же, что и в точке О.}

_{Таким образом, точка подвеса и центр качания обладают свойствами взаимности: при переносе точки подвеса в центр качения прежняя точка подвеса становится новым центром качения.}

_{Период колебания:}

_{Математический маятник, который качается с таким же периодом, как и рассматриваемый физический, называется изохронным данному физическому маятнику.}

Общие выводы. Рассмотренные примеры

• относятся к свободным колебаниям без трения, которые происходят в системе, предоставленной самой себе после того, как она была тем или иным способом выведена из состояния равновесия.

• свободные колебания любого осциллятора в отсутствие трения будут гармоническими, если действующая в нем сила (или момент силы) являетсяквазиупругой, т. е. силой, направленной к положению равновесия и зависящей от смещения из этого положениялинейно.

• квазиупругий характер силы (или момента силы) служит и критериеммалых колебаний.

• частота и период свободных колебаний без трения зависят только от свойств самого осциллятора.

• Амплитуда колебаний и начальная фаза определяются начальными условиями.

Рассмотрим еще один пример на малые колебания.

Пример.Частица массыт совершает колебания в силовом поле, где ее потенциальная энергия зависит от координаты хкакгдеU₀и α — постоянные. Найдем частоту ω₀малых колебаний частицы около положения равновесиях = 0.

Согласно основному уравнению динамики,

/

Так как колебания малые, то и предыдущее уравнение можно привести к виду

^/

^{Отсюда следует, что .}