- •Лекция 2 динамика материальной точки
- •2.1. Границы применимости классической механики
- •2.2. Первый закон Ньютона. Инерциальные системы отсчета.
- •2.3. Масса и импульс тела.
- •2.4. Второй закон Ньютона
- •2.5. Третий закон Ньютона.
- •2.6. Центр масс и закон его движения.
- •2.7. Преобразования Галилея. Принцип относительности Галилея.
- •2.8. Силы.
- •2.9. Упругие силы.
- •2.10. Силы трения.
- •2.11. Гравитационные силы. Закон всемирного тяготения.
- •2.12. Сила тяжести. Вес.
- •2.13. Движение тела переменной массы.
2.7. Преобразования Галилея. Принцип относительности Галилея.
Рассмотрим две системы отсчета, движущиеся друг относительно друга с постоянной скоростью . (рис.2.5)
Обозначим системы: 1-ю систему, буквой и будем условно считатьнеподвижной. Тогда вторая система будетдвигаться прямолинейно и равномерно.
Выберем координатные оси системы и оси системы так, чтобы оси и совпадали, а оси и , а также и были параллельны друг другу.
Найдем связь между координатами некоторой точки в системе и координатами той же точки в системе . Если начать отсчет времени с того момента, когда начала координат обеих систем совпадали, то, как следует из рис.2. 5,
, .
В классической механике считается, что время в обеих системах течет одинаковым образом, .
Тогда получаем совокупность четырех уравнений, называемых преобразованиями Галилея:
, ,. (2.14)
Найдем связь между скоростями точки по отношению к системам отсчета и, продифференцировав выражения (2.14) по времени,
. (2.15)
В векторной форме:
. (2.16)
Формулы (2.15) и (2.16) выражают правило сложения скоростей в классической механике. При этом следует помнить,
- выражения (2.15) справедливы лишь в случае выбора осей, показанных на рис.2.5.
- выражение (2.16) справедливо при любом выборе осей.
Продифференцировав (2.16) по времени, получаем:
(2.17)
- ускорение тела во всех инерциальных системах отсчета одинаково.
Это означает, что и силы, действующие на тело в инерциальных системах отсчета одинаковы. Следовательно, уравнения динамики не изменяются при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, т.е. инвариантны к преобразованиям Галилея.
С механической точки зрения все инерциальные системы отсчета совершенно эквивалентны, ни одной из них нельзя отдать предпочтение перед другими. Это означает, что никакими механическими опытами, проведенными в пределах данной системы отсчета, нельзя установить, находится ли она в состоянии покоя или движется прямолинейно и равномерно. Эти положения носят название принципа относительности Галилея.
2.8. Силы.
В современной физике различают четыре вида взаимодействий:
гравитационное (вызванное всемирным тяготением),
электромагнитное (осуществляемое через электрические и магнитные поля),
сильное или ядерное (обеспечивающее связь частиц в атомном ядре)
слабое (проявляющееся при распаде элементарных частиц).
В классической механике имеют дело с гравитационными и электромагнитными силами, а также с упругими и силами трения. Два последних вида сил определяются характером взаимодействия между молекулами вещества и имеют электромагнитное происхождение.
Гравитационные и электромагнитные силы являются фундаментальными, их нельзя свести к другим, более простым силам.
Упругие силы и силы трения не являются фундаментальными.
2.9. Упругие силы.
Упругая сила – сила пропорциональная смещению материальной точки из положения равновесия и направленная к положению равновесия.
Всякое реальное тело под действием приложенных к нему сил деформируется, т.е.изменяет свои размеры и форму.
Если после прекращения действия сил тело принимает первоначальные размеры и форму, деформация называется упругой.
Примеры:
а) Упругие деформации наблюдаются в том случае, если сила, обусловившая деформацию, не превосходит некоторый предел, называемый пределом упругости.
б) Если после прекращения действия сил форма и размеры тела не восстанавливаются, говорят о неупругой деформации.
Рассмотрим пружину, (рис.2.6), имеющую в недеформированном состоянии длину , и приложим к ее концам равные по величине, противоположно направленные силы и
а) Под действием этих сил пружина растянется на некоторую величину , после чего наступит равновесие.
В состоянии равновесия внешние силы и будут уравновешены упругими силами, возникшими в пружине в результате деформации.
При небольших деформациях удлинение пружины оказывается пропорциональным растягивающей силе:
(2.18)
- это закон Гука.
Здесь - коэффициент жесткости пружины.
Упругие натяжения возникают во всей пружине. Любая часть пружины действует на другую часть с силой, определяемой формулой (2.18). Поэтому, если разрезать пружину пополам, та же по величине упругая сила будет возникать в каждой из половин при в два раза меньшем удлинении.
Таким образом, при заданных: материале пружины и размерах витка, величина упругой силы определяется не абсолютным удлинением пружины , а относительным удлинением
б) При сжатии пружины также возникают упругие натяжения, но другого знака.
Обобщим формулу (2.18) следующим образом.
Закрепим один конец пружины неподвижно (рис.2.7), а удлинение пружины будем рассматривать как координату другого конца, отсчитываемую от его положения, отвечающего недеформированной пружине.
Под будем понимать проекцию на осьупругой силы. Тогда можно записать:
. (2.19)
Из рис.2.7 видно, что проекция упругой силы на ось и координатавсегда имеют разные знаки.
2) Однородные стержни ведут себя при растяжении или одностороннем сжатии подобно пружине. (рис.2.8).
Если к концам стержня приложить направленные вдоль его оси силы и , действие которых равномерно распределено по всему сечению,
то длина стержня получит положительное ( при растяжении) или отрицательное (при сжатии) приращение
Деформация стержня характеризуется относительным изменением длины:
Экспериментально доказано, что для стержней из данного материала относительное удлинение при упругой деформации пропорционально силе, приходящейся на единицу площади поперечного сечения стержня:
. (2.20)
Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом упругой податливости.
Величина, равная отношению силы к площади поверхности, на которую действует сила, называется напряжением.
В результате взаимодействия частей тела друг с другом напряжение передается во все точки тела и весь объем стержня оказывается в напряженном состоянии.
Если сила направлена:
- по нормали к поверхности, напряжение называется нормальным и обозначается .
- по касательной к поверхности, возникает тангенциальное напряжение .
В выражении (2.20) , поэтому.
Величина, обратная упругой податливости, называется модулем Юнга
С учетом сказанного, .
Модуль Юнга равен такому нормальному напряжению, при котором относительное удлинение было бы равно единице.
Решив записанные уравнения относительно F получаем: закон Гука для стержня.