080100.62.01 ПК Линейная алгебра(очная) 2011

Код ком-

Компетенция

петенции

ПК-4

Способен формализовать ряд экономических задач связанных как с

(частично)

использованием ограниченных ресурсов и балансов, так и межотрасле-

выми взаимосвязями в виде линейных алгебраических соотношений, оп-

ределять информацию необходимую для их наполнения конкретными

данными.

ПК-5

Способен выбрать методы исследования и поиска решений алгеб-

(частично)

раических моделей экономических задач, в рамках выбранного метода

проводить необходимые расчеты и анализировать полученные резуль-

таты.

ния поставленных экономических задач

Уровень освоения

Признаки проявления

Продвинутый

На основе содержательного описания экономической за-

(91 – 100 баллов)

дачи способен: определить состав переменных и парамет-

ров; выражать бюджетные и ресурсные ограничения и

балансы используя операции векторной и линейной ал-

гебры. Уметь исследовать продуктивность модели меж-

3

отраслевого баланса В.В. Леонтьева, уметь находить мат-

рицу полных затрат.

Базовый

На основе содержательного описания экономической за-

(71 – 90 баллов)

дачи способен: определить состав переменных и парамет-

ров; выражать бюджетные и ресурсные ограничения и

балансы используя операции векторной и линейной ал-

гебры. Знать модель межотраслевого баланса В.В. Леон-

тьева.

Минимальный

На основе содержательного описания экономической за-

(41 – 70 баллов)

дачи способен: определить состав переменных и парамет-

ров; выражать бюджетные и ресурсные ограничения и

балансы в виде совокупности линейных равенств и нера-

венств.

Уровень освоения

Признаки проявления

Продвинутый

Знать основные понятия векторной и линейной алгебры.

(91 – 100 баллов)

Знать и владеть операциями над векторами и матрицами,

уметь использовать их свойства при вычислениях. Уметь

исследовать совместность систем линейных алгебраиче-

ских уравнений и находить их решения методами Краме-

ра и Гаусса. Уметь находить базисы совокупности векто-

ров. Уметь строить уравнения прямых, плоскостей и по-

лупространств. Уметь находить собственные значения и

собственные вектора линейных операторов.

Базовый

Знать основные понятия векторной и линейной алгебры,

(71 – 90 баллов)

операции над векторами и матрицами и их свойства.

Уметь исследовать совместность систем линейных алгеб-

раических уравнений и находить их решения методами

Крамера и Гаусса. Уметь строить уравнения прямых на

плоскости и в пространстве, уравнения плоскостей и по-

лупространств в пространстве.

Минимальный

Знать основные понятия векторной и линейной алгебры,

(41 – 70 баллов)

владеть операциями над векторами и матрицами. Уметь

решать системы линейных алгебраических уравнений по

формулам Крамера. Уметь строить уравнения прямых,

плоскостей и полупространств.

Виды учебной работы,

Формы текущего

Раздел и тема

включая самостоятель-

контроля успевае-

№

дисциплины

ную работу студентов и

мости

п/п

Семестр

трудоемкость (в часах)

Лекции

Семинар Лаборат. Практич.

Самост. раб.

1.

Введение.

1.1

1

2.

Элементы

вектор-

1.1

8

10

15

Контрольная работа и

ной алгебры.

тест, устные опросы,

решение задач.

2.1

Векторы

и

линейные

1.1

2

2

3

устные опросы, ре-

операции над ними.

шение задач.

2.2

Понятие

n-мерного

1.1

1

2

2

устные опросы, ре-

вектора,

их сравнение

шение задач.

и линейные операции

над ними,

векторное

пространство R n .

2.3

Скалярное

и вектор-

1.1

2

2

3

устные опросы, ре-

ное

произведения

шение задач.

векторов.

2.4

Линейная

зависи-

1.1

1

2

2

устные опросы, ре-

мость

и

независи-

шение задач.

мость

совокупности

векторов, базис век-

торного пространства.

2.5

Линейные

функции,

1.1

1

1

1

устные опросы, ре-

5

уравнения,

неравен-

шение задач.

ства.

2.6

Уравнения плоскости,

1.1

1

1

4

устные опросы, ре-

прямой

и

отрезка

в

шение задач.

Rn .

3.

Линейная алгебра

1.1

21

20

33

Контрольная работа и

тест, устные опросы,

решение задач, рефе-

рат.

3.1

Матрицы и операции

1.1

2

2

3

устные опросы, ре-

над ними

шение задач.

3.2

Определители

и

их

1.1

2

2

4

устные опросы, ре-

свойства

шение задач.

3.3

Обратная матрица

1.1

1

2

3

устные опросы, ре-

шение задач.

3.4

Ранг матрицы, нахо-

1.1

2

2

4

устные опросы, ре-

ждение

базиса

сово-

шение задач.

купности векторов

3.5

Системы

линейных

1.1

6

6

8

устные опросы, ре-

алгебраических

урав-

шение задач.

нений

3.6

Собственные

значе-

1.1

2

2

4

устные опросы, ре-

ния

и

собственные

шение задач.

вектора матриц

3.7

Квадратичные формы

1.1

2

2

3

устные опросы, ре-

и условия их знако-

шение задач.

определенности

3.8

Материальные балан-

1.1

4

2

4

устные опросы, ре-

сы. Статическая мо-

шение задач, реферат.

дель

межотраслевого

баланса

ИТОГО

30

30

48

4.2. Лекционные занятия, их содержание

№

Наименование

разделов и

Содержание

п/п

тем

Раздел 1. Введение

1.1

Предмет и задачи курса.

Предмет и задачи курса. Методические принципы

изучения курса и его связь с другими дисциплина-

ми учебного плана. Значение и роль математики в

экономической теории и практике.

Раздел 2. Элементы векторной алгебры

2.1

Векторы и линейные опера-

Основные понятия векторной алгебры: вектор и его

ции над ними.

длина; противоположный вектор; коллинеарные и

компланарные векторы; линейные операции над

векторами; проекция вектора на ось; разложение

вектора по ортам координатных осей; действия над

векторами, заданными проекциями.

2.2

Понятие n-мерного вектора

Понятие n-мерного вектора, сравнение векторов,

6

и векторного пространства

линейные операции над ними и их свойства, век-

R n .

торное пространство R n .

2.3

Скалярное и векторное про-

Скалярное произведение векторов, длина (норма)

изведения векторов.

вектора, углы между векторами, направляющие ко-

синусы вектора, расстояние между векторами. Век-

торное произведение векторов и его свойства. Ус-

ловия ортогональности и коллинеарности векторов.

Бюджетные и ресурсные ограничения.

2.4

Линейная зависимость и не-

Понятия линейной зависимости и независимости

зависимость совокупности

совокупности векторов, базиса совокупности век-

векторов, базис векторного

торов, стандартного базиса векторного пространст-

пространства.

ва. Разложение вектора по базису.

2.5

Линейные функции, уравне-

Линейные функции, линейные уравнения и неравен-

ния, неравенства.

ства, их геометрическая интерпретация. Полупро-

странства в R n и их геометрическая интерпретация в

R 2 .

2.6

Уравнения плоскости, пря-

Уравнение плоскости в R n . Уравнение прямой и от-

мой и отрезка.

резка R

n

. Уравнения прямой на плоскости и в про-

странстве, уравнения плоскости в пространстве.

Раздел 3. Линейная алгебра

3.1

Матрицы и операции над

Понятие матрицы, виды матриц. Операции над

ними

матрицами и их свойства: транспонирование мат-

риц, умножение матрицы на число; сложение мат-

риц; произведение матриц. Произведение матрицы

на вектор как линейное преобразование векторов.

3.2

Определители и их свойства

Вычисление определителей 2-го и 3-го порядков.

Миноры и алгебраические дополнения элементов

матрицы. Свойства определителей. Вычисление

определителей произвольного порядка разложени-

ем по строке (или столбцу).

3.3

Обратная матрица

Понятие обратной матрицы. Условие существова-

ния и нахождение обратной матрицы. Свойства об-

ратных матриц. Решение матричных уравнений.

3.4

Ранг матрицы, нахождение

Определение ранга матрицы, теорема о ранге. Мето-

базиса совокупности векто-

ды вычисления ранга матрицы: метод окаймляющих

ров

миноров; метод элементарных преобразований. Ба-

зисный минор. Линейная зависимость совокупности

векторов, определение ее базиса.

3.5

Системы линейных алгеб-

Основные понятия и задачи, различные способы

раических уравнений

задания системы. Метод Крамера решения систем

линейных уравнений с невырожденной квадратной

матрицей коэффициентов. Эквивалентные системы.

Метод Гаусса решения общих систем линейных

уравнений. Теорема Кронекера-Капелли о совместно-

сти системы линейных уравнений, условия единст-

венности решения. Решение произвольных систем

линейных алгебраических уравнений, общее и част-

ное решения, базисные решения.

3.6

Собственные значения и

Понятия линейного оператор, матрица линейного

собственные вектора матриц

оператора, собственного вектора и собственного зна-

чения матрицы, их нахождение.

7

3.7

Квадратичные формы и ус-

Понятие квадратичной формы, матрица квадратич-

ловия их знакоопределенно-

ной формы, понятия знакоопределенности и крите-

сти

рии знакоопределенности квадратичных форм.

3.8

Материальные балансы.

Материальный баланс наличия ресурса и его

Статическая модель межот-

потребления, производственное и непроизводст-

раслевого баланса

венное (конечное) потребление, балансовая модель.

Статическая модель межотраслевого баланса В.В.

Леонтьева: чистые отрасли; балансы производства

и потребления их продукции; основные допущения;

система уравнений межотраслевого баланса; техно-

логическая матрица. Понятие продуктивности и

прибыльности, критерии продуктивности и при-

быльности модели межотраслевого баланса. Мат-

рица полных затрат.

№ раздела

Содержание и формы проведения

и темы

Раздел 2

Занятие 1. Элементы векторной алгебры: векторы и линейные опера-

Тема 2.1

ции над ними; проекция вектора на ось; разложение вектора по ортам коор-

динатных осей; действия над векторами, заданными проекциями.

Раздел 2

Занятие 2. Скалярное и векторное произведение векторов, угол между

Тема 2.3

векторами, направляющие косинусы. Условия ортогональности и коллине-

арности векторов.

Раздел 2

Занятие 3. Линейная зависимость и независимость совокупности век-

Тема 2.4

торов, базис совокупности векторов. Разложение вектора по базису.

Раздел 2

Занятие 4. Уравнение плоскости и его нормаль; уравнения прямой и от-

Тема 2.2,

резка в R n ; линейные уравнения и неравенства, полупространства в R n и их

2.5, 2.6

геометрическая интерпретация в R

2

. Контрольная работа по теме «Векторная

алгебра».

Раздел 3

Занятие 5. Операции над матрицами и их свойства.

Тема 3.1

Раздел 3

Занятие 6. Вычисление определителей 2-го и 3-го порядков. Использо-

Тема 3.2

вание свойства определителей при их вычислении. Миноры и алгебраиче-

ские дополнения элементов матриц и вычисление определителей произ-

вольного порядка разложением по строке или столбцу.

Раздел 3

Занятие 7. Нахождение обратной матрицы. Решение матричных урав-

Тема 3.3

нений.

Раздел 3

Занятие 8. Нахождение ранга матрицы и базисных миноров. Определение

Тема 3.4

линейной зависимости совокупности векторов и ее базиса.

Раздел 3

Занятие 9. Решение систем линейных уравнений с невырожденной квад-

Тема 3.5

ратной матрицей коэффициентов по правилу Крамера.

Раздел 3

Занятие 10. Решение общих систем линейных уравнений методом Гаусса.

Тема 3.5

8

Раздел 3

Занятие 11. Исследование совместности, единственности решения и на-

Тема 3.5

хождение решения произвольных систем линейных алгебраических уравне-

ний, базисные решения.

Раздел 3

Занятие 12. Нахождение собственных значений и собственных векторов

Тема 3.6

матрицы.

Раздел 3

Занятие 13. Квадратичные формы, критерии знакоопределенности квад-

Тема 3.7

ратичных форм (через собственные значения и критерий Сильвестра).

Раздел 3

Занятие 14. Контрольная работа по разделу «Линейная алгебра».

Темы 3.1-

3.7

Раздел 3

Занятие 15. Статическая модель межотраслевого баланса В.В. Леонтье-

Тема 3.8

ва; критерии продуктивности и прибыльности модели межотраслевого ба-

ланса.

Контрольные мероприятия по дисциплине

Количество

Разделы и темы дисципли-

баллов

ны

1. Контрольная работа № 1. Элементы векторной

0-10

Раздел 2.

алгебры

Тема 2.1-2.6

2. Контрольная работа (тест) № 1. Элементы век-

0-10

Раздел 2.

торной алгебры

Тема 2.1-2.6

3. Контрольная работа № 3. Линейная алгебра

0-10

Раздел 3.

Тема 3.1-3.8

4. Контрольная работа (тест) № 3. Линейная ал-

0-10

Раздел 3.

гебра

Тема 3.1-3.8

5. Текущий контроль выполнения домашних и

0-15

Разделы 2, 3.

аудиторных заданий.

Темы 2.1-2.6,

3.1-3.8

6. Подготовка и защита рефератов

0-5

Раздел 3

Темы 3.1-3.8

Итого

0-60

9

Контрольная работа № 1

1.

Найдите длину и

направляющие

косинусы вектора

x 3a 5b c , если

a 4i 7 j 3k , b i 2 j k , c 2i 3 j k .

2. Дан треугольник с вершинами в точках

A(3,0,1) , B(0,3,5) , C(3, 4, 0) . Найдите: коор-

динаты

и длины векторов AB,

AC, CB ; координаты точки M , делящей отрезок AB попо-

лам.

3.

Даны три последовательные вершины параллелограмма: A(

3; 2;0) , B(3; 3;1) и

C(5;0; 2). Найдите: его четвертую вершину D , противоположную B ;

угол между векторами

AB в отношении 1: 2 .

7.

Даны точки A(2;1;2) и B(4; 2;

1) . Запишите в векторной и параметрической форме

уравнение плоскости проходящей через точку A(2;1;2)

и имеющей нормалью вектор AB .

8. Разложите вектор a

(5,

6, 2) по базису

e1

(1,1,1) , e2

(1,1, 0) , e3

(1, 0, 0) .

Контрольная работа № 2 (тест)

1.

Длина вектора AB , с A(1, 2,3), B(3,5,9) , и его направляющие косинусы равны

а) | AB |

7, cos

2 / 7, cos

3/ 7, cos

6 / 7 ;

б) | AB |

49, cos

2 / 49, cos

3/ 49, cos

6 / 49 ;

в) | AB |

11, cos

2 / 11, cos

3/

11, cos

6 / 11 ;

г) | AB |

115, cos

3/

115, cos

5/

115, cos

9 /

115 .

2.

Для векторов a

i

2 j

3k

и b

2i

j

2k

вектор 2a

3b равен

а)

4i

7 j

12k ;

б) 3i

j

k ;

в) 8i 12k ;

г) 8i

j .

3.

Скалярное произведение векторов a

a1i a2 j

a3k и b

b1i b2 j

b3 k равно

а) a1b1i a2b2 j a3b3k ;

б) a1b1

a2b2

a3b3 ;

в) || a ||

|| b ||

cos

,

угол между векторами;

г) || a ||

|| b || .

4.

При каких условиях вектора a и b коллинеарны?

а)

a b

0 ;

б) a b 0 ;

10