080100.62.01 ПК Линейная алгебра(очная) 2011
.pdf
в) |
a |
b |
0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) |
a b |
|
|| a || |
|| b || ; |
|
|
|
|
|
|
|
|||
д) | a b | || a || || b || . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
5. |
Чему равен модуль векторного произведения векторов a и b ? |
|
|
|||||||||||
а) || a || |
|| b || ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
б) |
|| a || |
|| b || |
sin |
, |
угол между векторами; |
|
|
|
|
|
||||
в) |
|| a || |
|| b || |
cos |
, |
угол между векторами; |
|
|
|
|
|
||||
г) площади треугольника построенного на этих векторах; |
|
|
|
|||||||||||
д) площади параллелограмма построенного на этих векторах. |
|
|
||||||||||||
6. |
Чему равно векторное произведение векторов a |
2i |
5 j |
7k и b i |
2 j |
4k ? |
||||||||
а) |
a |
b |
6i |
j |
k ; |
|
|
|
|
|
|
|
||
б) |
a |
b |
6i |
15 j |
k ; |
|
|
|
|
|
|
|||
в) a b 34i 15 j 9k ; |
|
|
|
|
|
|
||||||||
г) |
a |
b |
34i |
15 j |
k . |
|
|
|
|
|
|
|||
7. |
Какие соотношения не выполняются для векторного произведения? |
|
|
|||||||||||
а) || a |
b || |
|| a || |
|| b || |
cos |
; |
|
|
|
|
|
||||
б) || a |
|
b || |
|| a || |
|| b || |
sin |
; |
|
|
|
|
|
|||
в) |
a |
b |
|
b |
a ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) |
a |
b |
b |
a ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д) ( a) b (a b) ; |
|
|
|
|
|
|
||||||||
е) (a b) c a c c b . |
|
|
|
|
|
|
||||||||
8. |
Разложение вектора a |
(3, 4, 2) по базису e1 |
(1,1,1) , |
e2 (1,1, 0) , |
e3 |
(1, 0, 0) имеет |
||||||||
вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) a 7e1 |
6e2 |
2e3 ; |
|
|
|
|
|
|
||||||
б) a 2e1 |
6e2 |
7e3 ; |
|
|
|
|
|
|
||||||
в) a 7e1 |
6e2 |
2e3 ; |
|
|
|
|
|
|
||||||
г) a 2e1 |
4e2 |
3e3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
9. |
Уравнение плоскости, |
проходящей через точку x0 |
Rn |
и нормалью a |
Rn , в вектор- |
|||||||||
ной форме имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
а) |
a |
(x |
x0 ) |
0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
б) |
x |
x0 |
a ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
в) |
a x |
a x0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
г) |
a (x |
x0 ) |
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
10. |
В |
направлении |
какого |
вектора |
возрастает |
линейная |
функция |
|||
l(x) 2x1 |
3x2 |
2x3 |
5x4 ? |
|
|
|
|
|
||
11. Нормальный вектор n плоскости 2(x 1) 3( y |
2) 5(z 3) |
0 равен |
|
|||||||
а) |
n |
(2;3;5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
б) n |
(2; |
3;5) ; |
|
|
|
|
|
|
||
в) |
n |
(1; |
2;3) |
|
|
|
|
|
|
|
г) |
n |
( 1;2; |
3) |
|
|
|
|
|
|
|
12. Каким из уравнений задается плоскость, проходящая |
через точки |
M1 (1; 1; 2) , |
||||||||
M 2 (2;1; 2) и M 3 (1;1; 4) ? |
|
|
|
|
|
|||||
а) |
x |
2y |
3z |
7 |
0 ; |
|
|
|
|
|
б) 2x |
6y |
z |
8; |
|
|
|
|
|
||
в) |
x |
2y |
3z 3 |
0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
г) |
2x y z 5 |
0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
д) нет правильного ответа. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Раздел 3. Линейная алгебра |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Контрольная работа № 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1. |
Вычислить |
B 1 A , BT A для матриц |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
А |
5 |
2 |
|
1 |
, B |
|
1 |
0 . |
|
|
|
3 |
4 |
0 |
|
|
3 |
2 |
|
2. |
Исследовать на совместность систему уравнений |
|
||||||||
|
|
|
5x1 |
12x2 |
5x3 |
3x4 |
10, |
|||
|
|
|
4x1 |
3x2 |
|
x3 |
3x4 |
2, |
|
|
|
|
|
11x1 |
11x2 |
4x3 |
8x4 |
8. |
|||
В случае совместности найти ее решение методом Гаусса. |
||||||||||
3. |
Определить |
линейную зависимость |
и |
базис |
совокупности векторов: a (3;4; 2) , |
|||||
b (5; 1;2) , c (1;9; 6) .
4. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
0 |
|
|
|
|
1 |
4 . |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
5. Исследовать знакоопределенность квадратичной формы |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Q(x , x |
2 |
, x ) 6x2 |
|
5x2 |
7x2 4x x |
2 |
4x x . |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
3 |
1 |
|
1 |
3 |
|
|
||||||||||
Контрольная работа № 4 (тест) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
1. Какие из следующих операций |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
a) 2 A B ; b) B 1 ; c) A B ; d) B A ; e) B CT ; f) ( A B) 1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
6 |
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
определены для матриц A |
; |
|
B |
4 |
|
|
3 ; |
C |
4 |
1 6 |
? |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
8 |
|
|
|
|
2 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2. Справедливы ли соотношения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
a |
b |
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
a |
b |
|
a |
|
|
2b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
а) |
2a |
2b |
|
2c |
|
|
0 ; б) |
|
|
c |
d |
|
c |
|
|
2d |
|
0 . Ответ обосновать. |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
d |
m |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
m |
l |
|
m |
2l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3. Какие из приведенных соотношений верны для квадратных матриц |
A и B n -го по- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
рядка? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
A |
|
|
A |
|
n |
|
A |
|
; c) |
|
|
A |
|
| |
| |
|
A |
|
; d) ( AB) 1 |
|
A 1B 1 ; e) ( AB) 1 |
B 1 A 1 . |
||||||||||
a) |
|
|
|
|
; b) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
4. Укажите, какие из приведенных соотношений верны для матрицы A |
(a )n . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ij |
n |
a) det A |
a11 A11 |
a12 A12 |
a13 A13 |
|
|
a1n A1n , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
b) det A |
a11 A21 |
a12 A22 |
a13 A23 |
|
|
a1n A2 n , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
c) det A |
a1 j A1 j |
a2 j A2 j |
a3 j A3 j |
|
|
|
|
anj Anj , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
d) a11 A21 |
|
a12 A22 |
|
a13 A23 |
|
|
|
|
|
|
a1n A2 n |
|
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
e) a11 A21 |
a12 A22 |
|
a13 A23 |
|
|
|
|
|
|
a1n A2 n |
|
|
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5.Как изменится определитель матрицы, если в нем переставить местами первый и последний столбцы, а затем поменять местами первую и вторую строку?
a) определитель изменит знак на противоположный, b) определитель станет равным нулю,
c) определитель не изменится,
d) определитель увеличится в два раза.
6.Перечислите операции над строками и столбцами определителя, которые не изменяют его отношения к нулю.
7.Перечислите условия, при которых определитель равен нулю.
8. Какая из матриц является обратной к матрице |
1 |
2 |
? |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
4 |
|
|
a) |
2 |
1,5 |
; b) |
1 |
3 |
; |
c) |
4 |
2 |
; |
d) |
|
2 |
1 . |
|
1 |
0,5 |
|
2 |
4 |
|
|
3 |
1 |
|
|
1,5 |
0,5 |
|
9. Каким из соотношений определяется решение матричного уравнения X A B ? a) X A 1B ; b) X B 1 A ; c) X BA 1 ; d) X B / A ; e) X AB 1 .
10. Если в системе уравнений Ax 0 det A |
0 , то эта система …. |
a) имеет ненулевые решения, |
|
b) не имеет решений, |
|
c) имеет только нулевое решение, |
|
d) имеет только ненулевые решения. |
|
11. В системе линейных уравнений |
Ax b , с числом неизвестных n 5 , |
rank( A) rank( A) 3 . Какие из следующих утверждений верны?
a) система не совместна; b) система совместна;
c) система имеет единственное решение;
d) система имеет бесконечное множество решений.
12. Какие системы линейных уравнений называются эквивалентными? Перечислите элементарные преобразования уравнений системы, используемые в методе Гаусса.
13. Чему равен ранг совокупности векторов |
a1 (1; 2; |
1) , |
a2 |
(3; 6; |
3) , |
a3 |
(3;9;3) , |
||||
a4 (2; 5; 0)? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a) 1, b) 2, c) 3, d) 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14. Если последовательные угловые миноры матрицы квадратичной формы |
xT A x |
||||||||||
|
|
a11 |
a12 |
|
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
удовлетворяют неравенствам 1 a11 0 , |
|
0, |
|
a21 |
a22 |
a23 |
|
0 , она явля- |
|||
2 |
a21 |
a22 |
3 |
|
|||||||
|
|
|
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ется
a) положительно определенной; b) отрицательно определенной; c) знакопеременной;
d) отрицательно полуопределенной.
15.Если собственные значения матрицы квадратичной формы xT A x имеют разные знаки, то она является
a) положительно определенной; b) отрицательно определенной; c) знакопеременной;
d) отрицательно полуопределенной.
16.Укажите, какие из приведенных условий являются необходимыми и достаточными условиями продуктивности технологической матрицы A модели межотраслевого баланса
13
Леонтьева.
a) все последовательные угловые миноры матрицы A положительны;
b) все последовательные угловые миноры матрицы E A положительны;
c) последовательные угловые миноры матрицы A имеют чередующиеся знаки, начиная с отрицательного;
d) все элементы матрицы (E A) 1 неотрицательны; e) матрица (E A) невырожденная.
17. Что характеризуют элементы технологической матрицы модели межотраслевого баланса Леонтьева?
6.3. Примерная тематика рефератов, эссе, докладов
1.Равновесие на рынке благ и денег в макромодели Кейнса: Линейная модель IS-LM и ее анализ.
2.Линейная модель равновесия спроса и предложения на рынке с двумя видами благ и ее исследование.
3.Межотраслевой баланс производства и потребления продукции: модель Леонтьева и ее анализ. Критерии продуктивности.
4.Модель Леонтьева: двойственная система для определения цен, прибыльность модели Леонтьева.
5.Использование матричной алгебры при определении прибыльности производственной программы.
6.4.Примерные темы курсовых работ, критерии оценивания
Курсовая работа не предусмотрена.
6.5.Методические указания по организации самостоятельной работы
Самостоятельная работа заключается:
- в самостоятельной подготовке студента к лекции – чтение конспекта предыдущих лек-
ций. Это помогает лучше понять материал новой лекции, опираясь на предшествующие знания. В начале лекции проводится устный или письменный экспресс-опрос студентов по содержанию предыдущей лекции;
-в подготовке к практическим занятиям по основным и дополнительным источникам литературы;
-в выполнении домашних заданий;
-в самостоятельном изучении отдельных тем или вопросов по учебникам или учебным пособиям;
-в подготовке и выполнении контрольных мероприятий по дисциплине;
-в подготовке рефератов.
Методические указания по самостоятельной работе студентов
При подготовке к контрольным мероприятиям текущего контроля необходимо повторить теоретический и практический материал, ознакомится с образцами тестовых и контрольных заданий и прорешать их, при необходимости обратиться за консультациями к преподавателю.
Для выполнения реферата необходимо:
1.Выбрать тему реферата;
2.Определить структуру реферата и составить план его выполнения, согласовать их с преподавателем;
3.Определить необходимую основную и дополнительную литературу по теме реферата;
4.Подготовить реферат, включая основные допущения принятые при построении математических моделей и иллюстративные примеры;
14
5.Подготовить краткий доклад по материалам выполненной работы, который может быть рекомендован на участие в студенческой научной конференции.
6.6.Промежуточный контроль
Промежуточный контроль проводится в виде письменной экзаменационной работы (по всему курсу, включая темы, изученные самостоятельно) в 1 семестре первого года обучения. Максимальный балл за экзаменационную работу составляет 40 баллов.
Допуск к экзамену – выполнение контрольных мероприятий 1-6. Рейтинговая оценка по дисциплине определяется как сумма баллов текущего контроля и баллов за экзаменационную работу.
Образцы тестов, заданий (экзаменационного билета) Вариант 1
1.Уравнение прямой, проходящей через две точки пространства, в векторной и канонической формах.
2.Критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичных форм.
3. Даны векторы пространства R4 : |
a (1;1;1;1) , b (1;0;0;0) . |
||||||
Найти: вектор 2a 3b ; |
|
, |
|
b |
|
, a |
b ; угол между векторами a и b ; расстояние между |
a |
|
|
|||||
точками a и b .
4. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы
|
0 |
2 |
1 |
A |
1 |
3 |
1 . |
|
0 |
0 |
1 |
Вариант 2
1.Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно данному век-
тору.
2.Понятие продуктивности и критерии продуктивности модели межотраслевого баланса В.В. Леонтьева.
3. Определить, при каких значениях параметра |
система линейных уравнений совме- |
|||||||||||
|
|
|
|
x1 |
|
3x2 |
x3 |
x4 |
1, |
|
|
|
стна, и найти ее общее решение |
2x1 |
6x2 |
x3 |
3x4 |
2, |
|
|
|
||||
|
|
|
|
x1 |
3x2 |
5x3 |
3x4 |
. |
|
|
|
|
4. Определить, является ли знакоопределенной квадратичная форма |
|
|||||||||||
Q(x , x |
2 |
, x ) 9x2 |
6x2 |
6x2 |
12x x 10x x |
2x x . |
||||||
1 |
3 |
1 |
|
2 |
|
3 |
|
1 2 |
1 3 |
2 |
3 |
|
Перечень вопросов к экзамену
1.Вектор и его длина; противоположный вектор; коллинеарные и компланарные векторы; линейные операции над векторами.
2.Проекция вектора на ось; разложение вектора по ортам координатных осей; действия над векторами, заданными проекциями.
3.Определение скалярного произведения векторов и его свойства, выражение скалярного произведения через координаты векторов, угол между векторами, направляющие косинусы вектора.
4.Определение векторного произведения векторов и его свойства. Условия ортогональности и коллинеарности векторов.
5.Понятие n-мерного вектора и векторного пространства R n . Сравнение векторов и линейные операции над векторами.
15
6.Определения линейной зависимости и независимости совокупности векторов, базиса совокупности векторов, стандартного базиса векторного пространства. Теорема о разложении вектора по базису.
7.Уравнение плоскости в R n . Уравнение прямой и отрезка в R n .
8.Линейные функции и неравенства. Полупространства в R n и их геометрическая интерпретация в R 2 .
9.Матрицы и операции над ними, свойства этих операций.
10.Вычисление определителей 2-го и 3-го порядков.
11.Свойства определителей.
12.Вычисление определителей произвольного порядка разложением по строке (или столбцу).
13.Определение обратной матрицы. Теорема о обратной матрицы. Свойства обратных матриц.
14.Определение ранга матрицы, теорема о ранге матрицы. Методы вычисления ранга матрицы.
15.Установление линейной зависимости или независимости совокупности векторов и определение ее базиса.
16.Метод Крамера решения систем линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей коэффициентов.
17.Метод Гаусса решения общих систем линейных уравнений.
18.Теорема Кронекера-Капелли о совместности системы линейных уравнений, условия единственности решения.
19.Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений, общее и частное решения, базисные решения.
20.Однородные системы линейных уравнений, условие наличия ненулевых решений.
21.Понятия линейного оператор, собственного вектора и собственного значения матрицы линейного оператора.
22.Квадратичные формы и критерий Сильвестра их знакоопределенности.
23.Материальный баланс наличия ресурса и его потребления, производственное и непроизводственное (конечное) потребление, балансовая модель.
24.Статическая модель межотраслевого баланса В.В. Леонтьева: основные доп у- щения; система уравнений межотраслевого баланса; технологическая матрица.
25.Понятие продуктивности и критерии продуктивности модели межотраслевого баланса В.В. Леонтьева.
26.Двойственная система для определения цен, прибыльность модели В.В. Леонтьева, критерий прибыльности Брауэра-Солоу.
7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
а) основная литература:
1.Анапольский Л.Ю., Никулина С.И. Сборник задач по математике в экономике. Ч. 2: Линейная алгебра. Функции многих переменных. – Иркутск: Изд-во ИГЭА, 2001.
2.Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Т.1: Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2004.
3.Дыхта В.А. Линейная алгебра и экономические модели: Сер. Основы математики для экономистов. Вып. 6: Учебное пособие. – Иркутск: Изд-во ИГЭА, 1997.
16
4.Минорский В.П. Сборник задач по высшей математики. 15-е изд. – М.: Изд-во Физ.-
мат. лит., 2008.
5.Шипачев В.С. Высшая математика. 8-е изд., стер. – М.: Высш. шк., 2007.
б) дополнительная литература:
1.Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2ч. Ч.1 Учебное пособие для вузов / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова, С.П. Данко. – 7-е изд., испр. – М.: ООО
«Издательство Оникс»: ООО «Издательство Мир и Образование», 2008.
2.Высшая математика для экономистов / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман; Под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: 2004.
3.Ермаков В.И. Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник. – М.: ИНФРА-М, 2000.
4.Исследование операций в экономике: Учеб. пособие для вузов / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман; Под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2005.
5.Красс М.С. Математика для экономических специальностей: Учебник. – М.: Дело,
2002.
6.Конспект лекций по высшей математике: [в 2 ч.]. Ч. 1./ Дмитрий Письменный. – 5-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2007.
7.Кундышева Е.С., Суслаков Б.А. Математическое моделирование в экономике. – М.: Дашков и Ко, 2007.
8.Курс высшей математики: Учебник для вузов / В.С. Шипачев; Под ред. А.Н. Тихонова. – 3-е изд., испр. – М.: Издательство Оникс, 2007.
9.Лебедев В.В. Математика в экономике и управлении. – М.: НВТ-дизайн, 2004.
10.Мажукин В.И., Королева О.Н. Математическое моделирование в экономике. – М.: Флинта, 2004.
11.Сборник задач по высшей математике для экономистов. Учебное пособие / Под ред. В.И. Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2007.
12.Стакун А.А. Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии. – СПб.: Политехника, 2000.
13.Шевцов Г.С. Линейная алгебра. Теория и прикладные аспекты. – М.: Финансы и статистика, 2003.
14.Шипачев В.С. Задачник по высшей математике: Учеб. пособие для вузов. – 5-е изд.,
стер. – М.: Высш. шк., 2005.
в) программное обеспечение и Интернет-ресурсы: http://www.biblioclab.ru – «Университетская библиотека онлайн».
http://elibrary.ru/ – крупнейший российский информационный портал в области науки, технологии, медицины и образования, содержащий рефераты и полные тексты более 14 млн научных статей и публикаций.
http://www.exponenta.ru – образовательный математический сайт. http://www.edu.ru/ – федеральный образовательный портал.
8. Материально-техническое обеспечение дисциплины
Мультимедийные средства и другая техника для презентаций учебного материала.
17
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Программа курса для студентов направления 080100.62 Экономика, профиль «Экономика предприятий и предпринимательская деятельность»
Составитель Абдуллин Владимир Рафаэлевич
ИД № 06318 от 26.11.01.
Подписано в печать 09.09.11. Формат 60х90 1/16. Бумага офсетная. Печать трафаретная. Усл. печ. л. 1,1. Тираж 100 экз. Заказ .
Издательство Байкальского государственного университета экономики и права.
664003, Иркутск, ул. Ленина, 11.
Отпечатано в ИПО БГУЭП.
18