2.2 Задачи прикладной теории игр

Прежде чем притупить к решению задач данного раздела студент должен изучить соответствующие разделы теории игр, а именно: определение антагонистической игры, принцип оптимальности выбора стратегий каждым игроком, определение смешанной стратегии и методы решения матричных игр.

В данной части задания предусматривается решение одной антагонистической игры.

Ознакомившись с содержательной постановкой задачей, студент должен осуществить формальную постановку задачи, предполагающую определение количества чистых стратегий каждого игрока и формирование платёжной матрицы. Затем, выбрать и, если это необходимо, обосновать метод решения задачи и выполнить само решение.

Задача № 3

Сельскохозяйственное предприятие может посеять одну из m культур А₁, А₂, … А_m. Известно, что урожайность этих культур зависит при прочих равных условиях от погоды, а план посева должен обеспечить наибольший доход. Естественно, планирование посева должно осуществляться с учётом наиболее неблагоприятного состояния погоды. Последние обстоятельство допускает игровую трактовку. Сельхозпредприятие (игрок 1) заинтересованно в том, чтобы посеять культуру, дающую максимальный урожай (доход), а природа (игрок 2), от которого зависят погодные условия, преследует прямо противоположные интересы. Принятие природы за противника равносильно планированию посева с учётом наиболее неблагоприятных условий. Если же погодные условия окажутся благоприятными, то полученный план даст возможность увеличить доход.

Итак, количество чистых стратегий 1-го игрока равно m. Число чистых стратегий 2-го игрока примем равным n: планируемый год может быть засушливым, нормальным, дождливым и т.д.

Вкачестве функции полезности примем функцию доходов предприятия от реализации своей продукции. Допустим, известно, что при сухой погоде с одного гектара снимают h_i1 центнеров культуры A_i, при нормальной - h_i2 центнеров культуры A_i, при дождливой - h_i3 центнеров культуры A_i, и т.д., i = 1,m; j = 1,n.

Примем цену одного центнера культуры A_i равной a_i, тогда матрица доходов предприятия от реализации своей продукции с одного гектара при всех возможных ситуациях будет следующей

a₁h₁₁ a₁h₁₂ … a₁h_1n

a₂h₂₁ a₂h₂₂ … a₂h_2n

H` = …………………………

a_mh_m1 a_mh_m2 … a_mh_mn

Решение данной задачи будем искать в смешанных стратегиях, а именно x = (₁,₂ ,…,_m), где _i - вероятность выбора первым игроком i-ой чистой стратегии, в контексте данной задачи можно интерпретировать как _i - ю долю площади, засеиваемую А_i -ой культурой. При такой трактовке поля сельхозпредприятия должны быть засеяны культурами А₁, А₂, … А_m в пропорции ₁⁰: ₂⁰: …: _m⁰. Верхний индекс у _i⁰ - означает оптимальное значение вероятности _i.

Рассмотрим пример.

Пусть число чистых стратегий первого игрока - m = 3; число чистых стратегий второго игрока - n = 4; цена за один центнер культуры А_i - а₁=а₂= = а₃ = 1; матрица урожайности с одного гектара по трём культурам при 4-х видах погоды имеет вид

5 6 3 0

H = 10 5 12 10

10 0 5 20

Составим матрицу доходов сельхозпредприятия от реализации своей продукции с одного гектара. Для этого умножим построчно матрицу урожайности с одного гектара на а₁, а₂, а₃ и получим

5 6 3 0

H`= 10 5 12 10

10 0 5 20

Решим данную задачу, сведя её к задаче линейного программирования.

z = u₁ + u₂ +u₃ + u₄ = 1/ v^' max

5u₁ + 6u₂ +3u₃ 1

10u₁ + 5u₂ +12u₃ +10 u₄ 1

10u₁ + +5u₃ +20 u₄ 1

u_j  0

Приведём её к канонической форме, введя балансовые переменные u₅, u₆, u₇

5u₁ + 6u₂ +3u₃ + u₅ = 1

10u₁ + 5u₂ +12u₃ +10 u₄ + u₆ = 1

10u₁ + +5u₃ +20 u₄ + u₇ = 1

Решим задачу симплекс-методом.

Врезультате получим, что решение задачи линейного программирования есть u₀ = (0; 1/6; 0; 1/60), max Z = 11/60 = 1/v', а двойственой к ней – t₀= (1/12; 1/10; 0), min T= 11/60.

Затем перейдём от задачи линейного программирования к матричной игре.

Значение игры, как известно, связано с целевой функцией задачи линейного программирования соотношением v = 1/v' и, следовательно, v = 60/11.

Оптимальная стратегия первого игрока:

х⁰ = (₁⁰; ₂⁰;₃⁰), где каждая компонента

_i⁰ = v * t_i⁰, i = 1,3 , т.е.

₁⁰ = (60/11) * (1/12) = 5/11;

₂⁰ = (60/11) * (1/10) = 6/11;

₃⁰ = (60/11) * 0 = 0.

Проверка даёт, т.е. расчёт верен.

Оптимальная стратегия второго игрока:

Y⁰ = (₁⁰; ₂⁰; ₃⁰; ₄⁰), где

_j⁰ = v * u_j⁰ , j = 1,4 , т.е.

₁⁰ = (60/11) * 0 = 0;

₂⁰ = (60/11) * (1/6) = 10/11;

₃⁰ = (60/11) * 0 = 0;

₄⁰ = (60/11) * (1/60) = 1/11.

Проверка даёт, т.е. расчёт верен.

Следовательно, расчёт выполнен, верно. Таким образом, ответ задачи будет:

Х⁰ = (5/11; 6/11;0)

Y⁰ = (0; 10/11; 0; 1/11)

v = 60/11

Содержательная интерпретация полученного результата следующая: оптимальное поведение сельхозпредприятия заключается в том, что оно 5/11 поля засевает культурой А₁, 6/11 засевает культурой А₂, а культуру А₃ не сеет вообще.