Среднее число простаивающих приборов обслуживания – nо;

Среднее число требований, ожидающих начала обслуживания – М_О;

Среднее время ожидания каждым требованием начала обслуживания – _ож;

Среднее число требования, находящихся в системе обслуживания – М_Т;

Коэффициент загрузки приборов обслуживания – К_З;

Коэффициент простоя приборов обслуживания – кп. Решение.

1. Рассчитаем вначале приведенную плотность потока.

α = λ / μ = _обс = 20 * 0,2 = 4

2

1

1

. Определим вероятность того, что все погрузочно-разгрузочные краны свободны и ожидают составы под разгрузку по формуле

РО =

i / i! +n/((n-1)!(n-))

=

4i / i! +45/((5-1)!(5-4))

= 0,013

3. Вероятность того, что все краны заняты разгрузкой, рассчитаем по формуле

р s ≥ 5 =

n (n-1)! (n-)

рo=

45 (5-1)! (5-4)

0,013 = 0,555

Это означает, что приблизительно 56% времени погрузочно-разгрузочные механизмы грузового двора полностью заняты разгрузочными работами.

4. Определим среднее число загруженных кранов. Оно, как известно, для данного класса СМО в точности равно величине приведенной плотности потока требований (составов)

N_З =  = 4 (крана)

5. Определим среднее число простаивающих кранов по формуле

NО= рo

n – k k!

k = 0,013

5 – k k!

4k = 1,001 = 1

6. Проверка

N_З + N_О= 4 + 1 = 5

показывает правильность вычислений.

7. Найдем значение коэффициентов загрузки и простоя разгрузочных устройств

К_З = N_З / n = 4 / 5 = 0,8

К_П = N_О / n = 1 / 5 = 0,2

Т.е. в среднем 80% из числа установленных кранов находятся в работе, а 20% - простаивают.

8. Определим среднее число железнодорожных составов, ожидающих начала разгрузки по формуле

МО =

n+1 (n-1)! (n-)2

рo =

46 (5-1)! (5-4)2

0,013 = 2,22.

9. Среднее время ожидание каждым составом начала разгрузки вычислим по формуле

_ож= М_О/ λ = 2,22 / 20 = 0,11 мес. * 30 дней = 3,3 дня.

10. Среднее число составов, находящихся на станции и на грузовом дворе найдем по формуле

М_Т= N_З+ М_О= 4 + 2,22 = 6,22.

Все полученные значения можно свести в итоговую таблицу 3.

Таблица 3.

n	pО	NЗ	NО	КЗ	КП	МО	ож	pn	МТ
5	0,013	4	1	0,8	0,2	2,22	0,11	0,555	6,22

Определим, насколько можно снизить число ожидающих разгрузку составов, время простоя железнодорожных вагонов, если увеличить количество погрузочно-разгрузочных механизмов на грузовом дворе базы.

Для решения этих вопросов необходимо проделать весь комплекс расчетов с 1-го по 10-ый для числа кранов n = 6, 7,8.

Для n = 6

1. Рассчитаем вначале приведенную плотность потока.

α = λ / μ = _обс = 20 * 0,2 = 4

2. Определим вероятность того, что все погрузочно-разгрузочные краны свободны и ожидают составы под погрузку

1

1

РО =

i / i! +n/((n-1)!(n-))

=

4i / i! +46/((6-1)!(6-4))

= 0,017

3. Вероятность того, что все краны заняты разгрузкой, рассчитаем

р s ≥ 6 =

n (n-1)! (n-)

рo=

46 (6-1)! (6-4)

0,017 = 0,29

Это означает, что приблизительно 29% времени погрузочно-разгрузочные механизмы грузового двора полностью заняты разгрузочными работами.

4. Определим среднее число загруженных кранов.

N_З =  = 4 (крана)

5. Определим среднее число простаивающих кранов

NО= рo

n – k k!

k = 0,017

6 – k k!

4k = 2,0 = 2.

6. Проверка

N_З + N_О= 4 + 2 = 6

показывает правильность вычислений.

7. Найдем значение коэффициентов загрузки и простоя разгрузочных устройств

К_З = N_З / n = 4 / 6 = 0,67

К_П = N_О / n = 2 / 6 = 0,33

Т.е. в среднем 67% из числа установленных кранов находятся в работе, а 33% - простаивают.

8. Определим среднее число железнодорожных составов, ожидающих начала разгрузки

МО =

n+1 (n-1)! (n-)2

рo =

47 (6-1)! (6-4)2

0,017 = 0,58.

9. Среднее время ожидание каждым составом начала разгрузки

_ож= М_О/ λ = 0,58 / 20 = 0,029 мес. * 30 дней = 0,87 дня.

10. Среднее число составов, находящихся на станции и на грузовом дворе

М_Т= N_З+ М_О= 4 + 0,58 = 4,58.

Для n = 7.

1. Рассчитаем вначале приведенную плотность потока.

α = λ / μ = _обс = 20 * 0,2 = 4

2

1

1

. Определим вероятность того, что все погрузочно-разгрузочные краны свободны и ожидают составы под разгрузку

РО =

i / i! +n/((n-1)!(n-))

=

4i / i! +47/((7-1)!(7-4))

= 0,018

3. Вероятность того, что все краны заняты разгрузкой, рассчитаем

р s ≥ 7 =

n (n-1)! (n-)

рo=

47 (7-1)! (7-4)

0,018 = 0,137.

Это означает, что приблизительно 13,7% времени погрузочно-разгрузочные механизмы грузового двора полностью заняты разгрузочными работами.

4. Определим среднее число загруженных кранов.

N_З = α = 4 (крана)

5. Определим среднее число простаивающих кранов.

5. Проверка

N_З + N_O = 4 + 3 = 7

показывает правильность вычислений.

5. Найдём значения коэффициентов загрузки и простоя разгрузочных устройств

Т.е. в среднем 57% из числа установленных кранов находится в работе, а 43% - простаивают.

5. Определим среднее число железнодорожных составов, ожидающих начало разгрузки

5. Среднее время ожидания каждым составом начала разгрузки

t_ож= M₀/ = 0.18/20 = 0.009 мес. * 30 дн. = 0.27 дня.

10. Среднее число составов, находящихся на станции и на грузовом дворе

М_Т = N_З + М₀ = 4 + 0.18 = 4.18

Для n = 8

1.Рассчитаем вначале приведённую плотность потока.

α = / = t_обс= 20*0.2 = 4

2. Определим вероятность того, что все погрузочно-разгрузочные краны свободны и ожидают составы под разгрузку

3. Вероятность того, что все краны заняты разгрузкой

Это означает, что приблизительно 5,9% времени погрузочно-разгрузочные механизмы грузового двора полностью заняты разгузочными работами.

4. Определим среднее число загруженных кранов.

N_З = a = 4 (крана)

5. Определим среднее число простаивающих кранов.

6. Проверка

N_З + N_O = 4 + 4 = 8

показывает правильность вычислений.

7. Найдём значения коэффициентов загрузки и простоя разгрузочных устройств

Т.е. в среднем 50% из числа установленных кранов находится в работе, а 50% - простаивают.

7. Определим среднее число железнодорожных составов, ожидающих начало разгрузки

7. Среднее время ожидания каждым составом начала разгрузки

-

t _ож= M₀/ = 0.06/20 = 0.003 мес. * 30 дн. = 0.09 дня.

10. Среднее число составов, находящихся на станции и на грузовом дворе

М_Т = N_З + М₀ = 4 + 0.06 = 4.06

Результаты расчётов поместим в таблице 4.

Таблица 4

Характеристики	Число разгрузочных устройств - n
	5	6	7	8
P0	0.013	0.017	0.018	0.0182
N3	4	4	4	4
N0	1	2	3	4
K3	0.8	0.67	0.57	0.5
КП	0.2	0.33	0.43	0.5
M0	2.22	0.58	0.18	0.06
tож	0.11	0.029	0.009	0.003
Ps  n	0.555	0.29	0.137	0.059
MT	6.22	4.58	4.18	4.06

Данные таблицы 4 дают возможность сделать ряд полезных выводов.

1. Увеличение числа погрузочно-разгрузочных устройств на грузовом дворе базы приводит к очень незначительному изменению вероятности того, что эти механизмы будут простаивать (р₀). Как видно из таблицы она меняется лишь на одну единицу во втором знаке после запятой.

2. Среднее число простаивающих кранов растёт на столько на сколько увеличивается их общее число. Здесь есть о чём подумать, прежде чем принять решение об увеличении числа разгрузочных механизмов. Иначе говоря, необходим расчёт с привлечением стоимостных показателей для определения экономически целесообразного количества погрузочно-разгрузочных устройств.

3. Самым существенно улучшенным показателем оказалось среднее число железнодорожных составов, ожидающих разгрузки - М₀. Причём существенность эта проявилась при увеличении кранов с 5 до 6. А последующее увеличение до 7 и 8, хотя и приводит к сокращению количества ожидающих составов, но как показывает порядок цифр, практического значения не имеет.

4. То же самое касается и времени ожидания начала разгрузки, которое существенно уменьшается только при установки одного дополнительного крана, т.е. при их количестве, равном 6.

5. Единственный показатель, который существенно понижается при переходе к 6 разгрузочным механизмам по сравнению с их количеством, равном 5, является вероятность того, что, все механизмы заняты разгрузкой - Р_sn. При n = 5 она равна 56%, а при n = 6 она равна 29%. Но, как известно, за все надо платить. Можно оценить величину этой платы. А ещё лучше поставить задачу расчёта оптимального количества погрузочно-разгрузочных устройств, минимизирующих общие издержки работы грузового двора торговой базы.

Теперь определим оптимальное число погрузочно-разгрузочных механизмов грузового двора базы, минимизирующего суммарные издержки по его эксплуатации.

Функцию потерь для систем с ожиданием, к которым относится анализируемая система, можно записать так

F_{n, ож} = С_ож М₀ + С_п N₀ + C_Эn

Необходимые для расчёта данные берутся из таблицы 4 для соответствующего числа обслуживающих приборов n.

Для n = 5.

С_ожМ_о = 100 * 2.22 * 30 = 6660 руб.;

C_пN_o = 1 * 1000 = 1000 руб.;

C_Эn = 5 * 1000 = 5000 руб.

Для n = 6.

С_ожМ_о = 100 * 0.58 * 30 = 1740 руб.;

C_пN_o = 2 * 1000 = 2000 руб.;

C_Эn = 6 * 1000 = 6000 руб.

Для n = 7.

С_ожМ_о = 100 * 0.18 * 30 = 540 руб.;

C_пN_o = 3 * 1000 = 3000 руб.;

C_Эn = 7 * 1000 = 7000 руб.

Для n = 8.

С_ожМ_о = 100 * 0.06 * 30 = 180 руб.;

C_пN_o = 4 * 1000 = 4000 руб.;

C_Эn = 8 * 1000 = 8000 руб.

При вычислении С_ожМ_о для определения издержек, связанных с ожиданием составов за месяц пришлось ввести коэффициент, равный числу дней в месяце (30 дней).

Выполненные расчёты сведём в таблицу 5

Таблица 5

Характеристики	Число разгрузочных устройств - n
	5	6	7	8
tож (месяц)	0.11	0.029	0.009	0.003
CпNo (руб.)	1000	2000	3000	4000
CЭn (руб.)	5000	6000	7000	8000
СожМо *30 (руб.)	6660	1740	540	180
Сумма издержек (руб.)	12660	9740	10540	12180

Как показывают расчёты, оптимальным является количество погрузочно-разгрузочных устройств, равное 6. При этом суммарные издержки по эксплуатации грузового двора базы будут минимальными и равными 9740 рублей.