Решение.

Поскольку изделия поступают из разных сборочных цехов, работа которых далека от идеального ритма, полагаем поток изделий на конвейере простейшим с параметром  = 20 изд./час.

Продолжительность контрольных операций над каждым изделием является случайной величиной, зависящей от марки изделия, количества контролируемых параметров и т.п. По условию задачи среднее время выполнения контрольных операций по одному изделию равно 6 минутам, т.е. _обс = 6 мин. = 0,1 час.

Количество контрольных постов (каналов обслуживания) равно 5.

Стоимость издержек для данной системы как системы массового обслуживания с отказами можно рассчитать по формуле, т.е.

F_n,отк = (С_Эn + С_У Р_n) T.

Поскольку сомножитель Т выступает в качестве коэффициента в данной постановке задачи им можно пренебречь, так как оптимум, как это видно из конструкции формулы, будет определяться соотношением первого и второго слагаемых в круглых скобках, т.е.

F_n,отк = С_Эn + С_У Р_n.

1. Определим параметр  - приведенную плотность потока заявок:

=  / μ = _обс = 20 * 0.1 = 2.

2. Вычислим значение вероятности того, что все контрольные посты свободны по формуле:

1 1 РО =

i / i!

=

1 + 2 + 22 / 2! + 23 / 3! + 24 / 4! + 25 / 5!

= 0,138.

3. Вероятность того, что поступившее на участок изделие не будет проверено, (вероятность отказа) рассчитаем по формуле при значении s = n = 5

Р_n = Р_О ⁿ / n! = 0,138 (2⁵ / 5!) = 0,037,

т.е. в среднем 3,7% изделий, двигающихся в цех упаковки, останутся непроверенными.

4. Пропускную способность контрольного участка определим по формуле

q = 1 –P_n = 1 – 0,037 = 0,963,

т.е. в среднем 96,3% изделий, двигающихся в цех упаковки, окажутся проверенными.

5. Для нахождения коэффициентов загрузки и простоя контрольного участка необходимо предварительно рассчитать среднее число загруженных и простаивающих постов, что следует сделать по формулам

N_З = P_О ^s / (s-1)! = 0,1382^S / (s-1)! =

= (2¹/ 0! + 2² / 1! + 2³ / 2! + 2⁴ / 3! + 2⁵ / 4!) 0,138 = 14 * 0,138 = 1,932

N_З = 1,932 ≈ 2.

Т.е. в среднем 1,93 поста оказываются загруженными.

N_О = P_О ^s (n – s) / s! = 0,138 2^S (5 – s)/ s! =

= (5*2⁰/ 0! + 4*2¹ / 1! + 3*2² / 2! + 2*2³ / 3! + 1*2⁴ / 4!) 0,138 = 3,08

N_З = 3,08 ≈ 3.

Т.е. в среднем 3,08 поста простаивают.

Коэффициенты загрузки и простоя определим по формулам

К_З = N_З / n = 1,93 / 5 = 0,39; К_П = N_О / n = 3,08 / 5 = 0,61.

Т.е. в среднем 39% контрольных постов загружены работой, а 61% - простаивают.

После того, как был проведен анализ работы контрольного участка, найдем оптимальное число контрольных постов.

Для удобства вычислений составим таблицу 1.

Все графы таблицы 1 достаточно понятны. В графе 5 величина в каждой строке представляет собой сумму чисел, стоящих в графе 4 с первой строки до данной. Например, в четвертой строке таблицы 1, соответствующей значению s=3, суммируются числа четвертой графы с первой графы по четвертую, т.е. 1 + 2 + 2 + 1,33 = 6,33.

Таблица 1.

Число постов	i	i!	i / i!	i / i!	рО	рn=n / n! *рО	q=1-рs	Fn
1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	1	1	1	1,00	1	1	0	2000
1	2	1	2	3,00	0,333	0,666	0,334	1343
2	4	2	2	5,00	0,200	0,400	0,600	820
3	8	6	1,33	6,33	0,158	0,210	0,790	451
4	16	24	0,67	7,00	0,143	0,096	0,904	230
5	32	120	0,27	7,27	0,138	0,037	0,963	123
6	64	720	0,09	7,36	0,136	0,012	0,988	84
7	128	5040	0,025	7,39	0,135	0,0034	0,997	77
8	256	40320	0,006	7,39	0,135	0,0009	0,999	82

Как показывают расчеты, оптимальным является количество контрольных постов, равное 7. При этом суммарные издержки будут минимальными и равными 77 руб.

Вычислим теперь средние числа занятых и свободных контрольных постов для выбранного их общего количества.

Для удобства вычислений составим таблицу 2.

Таблица 2.

Число занятых постов s	s / s!	PS = 0,135* s/ s!	s PS	(n-s)	(n-s) PS
1	2	3	4	5	6
0	1	0,135	0	7	0,945
1	2	0,270	0,270	6	1,620
2	2	0,270	0,540	5	1,350
3	1,33	0,180	0,540	4	0,720
4	0,67	0,090	0,360	3	0,270
5	0,27	0,036	0,180	2	0,072
6	0,09	0,012	0,072	1	0,012
7	0,025	0,0034	0,024	0
Сумма			1,99		4,99

Суммируя числа, стоящие в четвертом столбце, получаем среднее число загруженных постов, т.е.

N_З = 1,99 ≈ 2.

Суммируя же числа, стоящие в 6-ом столбце, получим среднее число свободных контрольных постов, т.е.

N_О = 4,99 ≈ 5.

Проверка

N_З + N_О = 1,99 + 4,99 ≈ 7

показывает правильность вычислений.

Найдем значение коэффициентов загрузки и простоя контрольных постов

К_З = N_З / n = 2 / 7 = 0,29

К_П = N_О / n = 5 / 7 = 0,71

Таким образом установлено, что оптимальное число контрольных постов равно 7, при этом суммарные издержки будут равны 77 руб. в единицу времени, а коэффициент загрузки- простоя для оптимального варианта соответственно 29% и 71%.

Задача №2.

Грузовой двор крупной торговой базы имеет n погрузочно-разгрузочных стационарных кранов. В среднем в течение месяца на базу прибывает λ железнодорожных составов. Поступление составов носит случайный характер, так как они выходят из разных станций и покрывают различные расстояния до пункта разгрузки. Кроме того, на время доставки грузов влияет неритмичность работы железной дороги, скопление поездов на промежуточных станциях и многое другое. Проведенный анализ частоты прихода грузовых поездов на базу показал, что поступающие на разгрузку составы образуют пуассоновский поток. Время разгрузки каждого состава является также случайной величиной, зависящей от количества вагонов, от их тоннажа, вида груза и многих других причин. В среднем на разгрузку одного состава тратиться _обс дней.

Пусть простой каждого железнодорожного состава в сутки обходится в С_ОЖ руб., месячный простой крана – С_П руб., а стоимость месячной эксплуатации каждого крана – С_Э руб.

Требуется оценить работу грузового двора и определить степень загруженности погрузочно-разгрузочных устройств, коэффициент загрузки и простоя погрузочно-разгрузочных устройств, среднее время ожидания каждым составом начала разгрузки, среднее число составов, ожидающих начала разгрузки и среднее число составов, находящихся на станции и грузовом дворе.

Определить, насколько можно снизить число ожидающих разгрузку составов, время простоя железнодорожных вагонов, если увеличить количество погрузочно-разгрузочных механизмов на грузовом дворе базы.

Определить оптимальное число погрузочно-разгрузочных механизмов грузового двора базы, минимизирующее суммарные издержки по их эксплуатации, и соответствующие ему характеристики.

Рассмотренная система должна быть отнесена к классу систем массового обслуживания с ожиданием без ограничений, т.к. прибывающие составы с грузом обязательно должны быть разгружены, а сам груз – размещен на складах базы. Студент должен привести здесь полную классификацию систем массового обслуживания и показать место систем с ожиданием без ограничений в общей классификации. Далее следует ввести обозначения исходных данных и результатов расчета:

Число приборов обслуживания – n = 5;

Параметр входного потока –  = 20 треб./мес.;

Среднее время обслуживания одного требования – _обс = 6 дней = = 0,2 мес. (принимаем условно, что в одном месяце 30 дней);

Стоимость потерь, связанных с простаиванием одного требования в единицу времени – С_ОЖ = 100 руб./сутки;

Стоимость простоя одного прибора обслуживания в единицу времени – С_П = 1000 руб./мес.;

Стоимость эксплуатации одного прибора обслуживания в единицу времени – С_Э = 1000 руб./мес.;

Среднее число загруженных приборов обслуживания – N_З;