Дифференциальное исчисление_эл.учебник

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «Харьковский политехнический институт»

Ю.Л. Геворкян, Н.А. Чикина, И.В. Антонова

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Электронный мультимедийный учебник

Теория пределов и непрерывность Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной

(теория и практика)

Учебное пособие

Харьков, 2014

УДК 517.983(075):510.223(075) ББК 22.143 Г27

Авторский коллектив:

Ю.Л. Геворкян, к.ф.-м.н., профессор, зав. каф. высшей математики НТУ «ХПИ» Н.А. Чикина, к.т.н., доц., профессор каф. высшей математики НТУ «ХПИ» И.В. Антонова, к.т.н., доц. каф. высшей математики НТУ «ХПИ»

Рецензенты:

В.А. Ванин, д-р техн. наук, профессор кафедры высшей математики НТУ «ХПИ» А.И. Поворознюк, д-р техн. наук, профессор кафедры вычислительной техники и программирования НТУ «ХПИ»

Електронний мультимедійний навчальний посібник містить теоретичний і практичний курс вищої математики з теорії границь, диференціального та інтегрального числення функцій однієї змінної. Частина теоретичного матеріалу додатково представлена у форматі відео – лекцій. Посібник створений сумісно з лабораторією нових технологій у навчанні Центру нових інформаційних технологій НТУ «ХПІ».

Призначений для студентів очної, заочної та дистанційної форм навчання у вищих технічних навчальних закладах.

Геворкян Ю.Л.

Г27 Высшая математика. Теория пределов и непрерывность. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной (теория и практика) [Текст] : учеб. пособ. / Геворкян Ю.Л., Чикина Н.А., Антонова И.В. – Харьков: НТУ «ХПИ», 2013. – 337 с.

ISBN

Электронное мультимедийное учебное пособие содержит теоретический и практический курс высшей математики по теории пределов, дифференциальному и интегральному исчислению функции одной переменной. Часть теоретического материала дополнительно представлена в формате видео – лекций. Пособие создано совместно с лабораторией нових технологий в обучении Центра нових информационных технологий НТУ «ХПИ».

Предназначено для студентов очной, заочной и дистанционной формы обучения в высших технических учебных заведениях.

Ил. 12. Библиогр.: 15 назв.

ВВЕДЕНИЕ

С развитием компьютерных и мультимедийных технологий в учебный процесс вошли и активно используются обучающие и тестирующие программы по различным дисциплинам. Возросший интерес, как преподавателей, так и студентов, к такой форме обучения объясняется стремлением сегодняшних сту-

дентов к самостоятельной работе над предметом. Как показывает практика,

внедрение таких программ позволяет повысить не только интерес студентов к дисциплине, но и их успеваемость. Решению этой задачи в некотором смысле посвящено настоящее электронное издание. Основная цель его – закрепить у студентов систему фундаментальных представлений, связанную с понятием пределов, дифференциального и интегрального исчисления функции одной пе-

ременной, достаточную для усвоения технических дисциплин в диапазоне ин-

женерных специальностей, по которым готовит специалистов НТУ «ХПИ».

Электронный мультимедийный учебник «Высшая математика. Теория пределов и непрерывность. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной» состоит из теоретической и практической части.

Часть теоретического материала дополнительно представлена в формате видео

– лекций. Практическая часть – комплекс практических занятий (16 практиче-

ских занятий), который представляет собой по сути обучающие и тестирующие в режиме on-line программы по указанным разделам курса высшей математики,

созданные по принципу имитации «присутствия преподавателя». Эти програм-

мы дают возможность каждому студенту максимально индивидуализировать процесс обучения, осуществлять самоконтроль.

Материал представлен в электронной форме, может быть исполнен на любом оптическом носителе (CD-ROM, DVD и др.), а также опубликован в электронной компьютерной сети.

Программное обеспечение и техническая поддержка настоящего элек-

тронного издания осуществляется лабораторией новых технологий в обучении ЦНИТ НТУ «ХПИ».

3

Глава 2. ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

2.1.Производная и некоторые ее приложения

2.1.1.Определение производной

Пусть функция y f (x) определена в промежутке X . Возьмем произ-

вольное значение x0 X и дадим ему приращение x такое, что x0 x X .

Вычислим соответствующее приращение функции y :

y f (x0 x) f (x0 ).

Предполагая, что x 0, рассмотрим в данной фиксированной точке x0

отношение приращения функции к соответствующему приращению аргумента

(так называемое разностное соотношение):

же производная существует для x X , то она является функцией от x .

Функция, имеющая производную в точке x0 , называется дифференцируе-

мой в этой точке.

Функция, дифференцируемая в каждой точке интервала (a,b) , называется

дифференцируемой на интервале (a,b) .

Пример 2.1. Найти производную функции y x .

Решение. Найдем приращение функции в произвольной точке x :

y f (x x) f (x) (x x) x x .

Итак, x 1 при любом значении x .

4

Пример 2.2. Найти производную функции y sin x .

Решение. Находим приращение функции и преобразуем его:

при любом значении x .

2.1.2. Вычисление скорости движущейся точки

Пусть S S(t) описывает закон прямолинейного движения материальной точки.

Если скорость не постоянна и сама изменяется с течением времени t , то

V (t) a(t) , где a(t) – ускорение движения в данный момент времени t .

2.1.3. Вычисление теплоемкости тела

Пусть W (t) – количество теплоты, которое необходимо сообщить телу

при его нагревании от 0 до t .

Величина

есть средняя теплоемкость тела при нагревании его от t до (t t) .

При изменении t средняя теплоемкость меняется.

5

называется теплоемкостью тела при данной температуре t и обозначается

C(t) . Таким образом, C(t) W (t) .

2.1.4. Вычисление силы тока

Пусть Q(t) – количество электричества (в кулонах), протекающего за

время t (в секундах) через поперечное сечение проводника.

а сила тока в данный момент времени выражается пределом: i lim iср. , т.е.

t 0

i(t) Q (t) .

2.1.5. Уравнение касательной и нормали

Рассмотрим функцию y f (x) (рис. 2.1). Проведем секущую MM1 .

6

Эта функция непрерывна в точке x 0 . Однако производная в этой точке не существует. Действительно, с одной стороны

2.2. Основные правила дифференцирования

Теорема 2.2. Производная постоянной величины равна нулю, то есть

C 0 , где C const .

Теорема 2.3. Пусть функции u(x) и v(x) дифференцируемы в данной точке x . Тогда сумма, разность, произведение и частное этих функций (частное при условии, что v(x) 0) также дифференцируемы в этой точке, причем име-

8

ют место следующие формулы:

1)u(x) v(x) u (x) v (x) ;

2)u(x) v(x) u (x) v(x) v (x) u(x) ;

Следствие. C u C u , т.е. постоянный множитель можно вынести за

знак дифференцирования.

Теорема 2.4 (производная сложной функции). Пусть функция u(x)

2.3. Производные основных элементарных функций

10