книги из ГПНТБ / Чуриловский В.Н. Общая теория оптических приборов

такой-то точки (если соблюдено это условие) изображение будет рез­ ким.

Закон синусов был выведен в последние годы прошлого столетия немецким ученым Аббе.

Выше была рассмотрена сущность монохроматических аберра­ ций: сферической аберрации и комы. Это — аберрации широких пучков лучей. Выясним, какие значения остаточных аберраций можно считать допустимыми в различных оптических приборах. Вопрос этот достаточно сложен, и несмотря на многочисленные исследования не может считаться решенным окончательно. Однако практика оптических заводов дает во многих случаях достаточно ясные и установившиеся указания.

Остаточная продольная сферическая аберрация, так же как и ошибка закона синусов, в объективах зрительных труб обычно удерживаются в пределах от 0,1 до 0,2 мм. В фотографических объек­ тивах обычно считаются допустимыми эти аберрации, если они со­ ставляют 0,5 мм при фокусном расстоянии объектива в 100 мм. В объективах микроскопов, обладающих малой задней апертурой, допустимы более крупные значения этих аберраций, в некоторых случаях доходящие до 5 и даже до 7 мм.

Аберрации, получаемые в пучках лучей, выходящих из окуляров зрительных труб, целесообразно выражать в угловой мере и удержи­ вать в пределах одной-двух угловых минут в соответствии с предель­ ным углом разрешающей способности глаза наблюдателя.

Вообще затруднительно дать общий способ для определения допустимых значений аберраций. Наиболее надежный результат достигается здесь путем исследования так называемых «волновых аберраций». При этом определяется величина линейного1отступле­ ния реальной волновой поверхности, образующейся при выходе света из оптического прибора, от идеальной сферической формы. На основании известного критерия, установленного Релеем, счи­ тается допустимым отступление волны от сферической формы, достигающее величины в одну четверть длины волны света.

Полевые аберрации. Обычно различают три полевые аберрации: астигматизм, кривизну изображения и дисторсию.

Можно сказать, что в отличие от аберраций в широких пучках эти три полевые аберрации обнаруживаются даже в бесконечно узких

для осевого пучка, т. е. для пучка, идущего вдоль оптической оси. Для такого пучка параксиальных лучей аберрации действительно отсутствуют. Если же взять бесконечно узкий пучок, проходящий наклонно через оптическую систему, то в нем обнаружатся три абер­ рации, известные под названием полевых аберраций.

Главное место среди этих аберраций занимает астигматизм.

А с т и г м а т и з м и к р и в и з н а и з о б р а ж е н и я . Явление астигматизма удобно рассматривать на очень простом при­ мере— на случае астигматизма, наблюдаемого при прохождении бес­ конечно узкого пучка через отдельную преломляющую поверхность.

39

На фиг. 15 представлена сферическая преломляющая поверх­ ность, разделяющая две среды, с показателями преломления п и п'. В пространстве предметов имеется светящаяся точка А. Предполо­ жим, что из этой точки исходит бесконечно узкий пучок лучей. Главный луч этого пучка пересекает поверхность в точке Р.

Как известно, на преломляющей поверхности лучи преломляются и изменяют свое направление. Отметим положйше центра О прелом­ ляющей поверхности и проведем нормаль в точке падения Р этого

луча на поверхность. Для этого достаточно соединить прямой линией точки Р и О. Применяя закон преломления, строим преломленный луч РА' . Точку А соединим с точкой О прямой. Эта линия играет роль оси симметрии для лучей, исходящих из 'точки А. Вообще нужно заметить, что для одной преломляк^щей поверхности поло­ жение оптической оси становится неопределенным, так как каждая прямая, проходящая через центр этой поверхности, может рас­ сматриваться как оптическая ось. Поэтому и линию АО можно принимать за оптическую ось этой системы. Но это не значит, что точка А выбрана лежащей на оптической оси какой-то сложной оптической системы. Если представить себе, что эта поверхность входит в состав сложной оптической системы, то направление оптической оси может совершенно не совпадать с направлением линии АО, но должна проходить через центр преломляющей поверх­ ности, через точку О. Задача заключается в том, чтобы выяснить структуру преломленного поверхностью бесконечно узкого пучка, исходящего из точки А.

Чтобы решить эту задачу, удобно будет воспользоваться понятием о структуре широкого пучка, которая рассматривалась при сфери­ ческой аберрации.

Если представить, что из точки А исходит не бесконечно узкий, а широкий пучок, тогда бесконечно узкий пучок лучей, идущий

40

по направлению АР, вольется в этот широкий пучок, как его элемен­ тарная составляющая часть.

Что же произойдет со всем широким пучком после преломления его лучей в преломляющей поверхности? На этот вопрос можно дать подробный и ясный ответ, так как у>це исследован характер пучка, получающегося при наличии сферической аберрации, а именно таким он и будет в рассматриваемом нами случае,

Раньше всего следует найти изображение точки А через прелом­ ляющую поверхность, воспользовавшись формулами гауссовской оптики. Это изображение находится в некоторой точке Л', лежащей на линии АО. Изображение в точке А' создается при помощи парак­ сиальных лучей, идущих вдоль линии АО. Такие лучи пересекаются в точке А'. Что же касается лучей, образующих конечные углы с направлением АО, то такие лучи после преломления не пересекут эту линию в точке А', а пересекут ее несколько ближе к преломляю­ щей поверхности. Так, главный луч АР пучка после преломления пересечет ось в точке, которую обозначим буквой 5. Крайний луч широкого пучка пересекает ось в еще более близкой точке. Таким образом возникает явление сферической аберрации широкого пучка, и нам известно, что ко всем лучам получившегося таким образом негомоцентрического пучка можно провести общую огибающую, известную под названием каустики. Эта кривая последовательно касается всех лучей пучка и имеет острие в точке А'.

пересечения бесконечно близких лучей, лежащих в меридиональной плоскости. Исходя из этого понятия, следует, что бесконечно близ­ кие лучи пучка, лежащие в меридиональной плоскости, должны пересечься между собой и с главным лучом этого пучка в точке М.

Таким образом, меридиональные лучи должны после прохожде­ ния через преломляющую поверхность встретиться с главным лучом в точке М, лежащей на каустике.

Иначе обстоит дело с сагиттальными лучами этого же пучка. Если через главный луч АР провести плоскость, перпендику­

лярную к плоскости чертежа, т. е. к меридиональной плоскости, в которой этот луч лежит, то получится так называемая сагитталь­ ная плоскость, и в этой плоскости есть лучи, бесконечно близкие к лучу АР, лежащие по одну и по другую сторону от этого луча.

Из рассмотрения сферической аберрации известно, что сагитталь­ ные лучи пересекаются не на кривой каустики, а на участке опти­ ческой оси (линия АО). Поэтому именно на этой линии нужно искать точку пересечения сагиттальных лучей.

Таким образом, эта точка определяется как точка пересечения главного луча PS с линией ОЛ', т. е. точка S.

В результате становится понятным, что сагиттальные лучи беско­ нечно узкого пучка лучей пересекаются не в точке М, а в точке 5. Вследствие этого бесконечно узкий пучок после прохождения через преломляющую поверхность теряет гомоцентричность своего строе­ ния. Он становится негомоцентрическим. В этом и заключается

41

явление астигматизма. Можно сформулировать это так: явление астигматизма заключается в несовпадении фокусов меридиональных и сагиттальных лучей. Расстояние же между несовпадающими точ­ ками М и 5 характеризует величину астигматизма бесконечно узкого пучка.

Очень интересно изучить форму астигматического пучка, который получается после преломления бесконечно узкого пучка в преломляю­ щей поверхности. Форма его оказывается не простой. Чтобы убе­ диться в этом, возьмем несколько поперечных сечений этого пучка перпендикулярно главному лучу PS и рассмотрим форму этих попе­ речных сечений. Сделаем первое поперечное сечение пучка у прелом­ ляющей поверхности. Предположим, что поперечное сечение пучка в этом месте круглое. Главный луч проходит через центр этого сече­ ния. Верхний и нижний меридиональные лучи оставляют на этом поперечном сечении следы в виде точек, расположенных на концах вертикального диаметра, а на концах горизонтального диаметра этого круглого сечения будут расположены следы сагиттальных лучей.

Рассмотрим сечение где-то в промежутке между точками Р и М и определим, какую форму будет оно иметь. Меридиональные лучи, т. е. верхний и нижний, должны встретиться в точке М, а сагитталь­ ные, т. е. правый и левый лучи, должны встретиться только в более далекой точке S, поэтому меридиональные лучи должны интенсивнее сближаться, чем сагиттальные. Следует ожидать, что форма попереч­ ного сечения изменится и из окружности превратится в эллипс, большая ось которого будет расположена горизонтально. На малой оси лежат следы меридиональных лучей, более интенсивно сближаю­ щихся, а на концах большой оси расположены следы сагиттальных лучей, которые сближаются медленнее.

Рассмотрим форму поперечного сечения, если его провести прямо через точку М, через меридиональный фокус. В этом поперечном сечении должны пересечься с главным верхний и нижний меридио­ нальные лучи, а сагиттальные лучи не должны еще сойтись, им пред­ стоит пересечься в более далекой точке S. Поэтому поперечное сече­ ние у меридионального фокуса вырождается в отрезок прямой линии, расположенный горизонтально, т. е. перпендикулярно к меридио­ нальной плоскости.

Далее рассмотрим поперечное сечение этого пучка, проходящее через фокус сагиттальных лучей, через точку S. В этом месте должны

поменяются своими местами — нижний пойдет выше, верхний — ниже, т: е. они станут расходиться и разойдутся на некоторую длину уже в интересующем нас сечении. Таким образом, в этом месте попе­ речное сечение пучка снова вырождается в отрезок прямой линии, только этот отрезок расположен иначе. Он лежит прямо в меридио­ нальной плоскости.

Нетрудно догадаться, что в поперечном сечении этого пучка как раз посередине между точками М и S получится круг, так как

42

меридиональные лучи, расходящиеся после точки М, успевают несколько разойтись, а сагиттальные лучи, которые должны сойтись в точке S, еще не успевают совсем сблизиться.

Таким образом, здесь снова получается круглое поперечное сече­ ние, что характерно для астигматического пучка.

Если рассмотреть поперечные сечения, расположенные где-либо дальше за точкой S, то всегда получатся эллиптические поперечные сечения, только теперь большая ось эллипса будет расположена вер­ тикально, а малая ось эллипса — горизонтально. Такой результат объясняется тем, что верхний и нижний лучи сошлись в точке М и в интересующем нас сечении ус'певают разойтись сильнее, чем пра­ вый и левый, которые сходятся в более близкой к данному сечению точке S, так что сагиттальные лучи не успевают так сильно разойтись, как меридиональные лучи.

Из сказанного видно, что форма астигматического пучка сложна и очень своеобразна. Наружная поверхность такого пучка относится к группе линейчатых поверхностей, так как она образована прямыми линиями, лучами пучка.

Геометрические свойства этой поверхности, а также геометри­ ческого тела, ограниченного этой поверхностью, были изучены мате­ матиком Штурмом; поэтому такое тело называется коноидом Штурма.

Важно представить себе характер поперечных сечений астиг­ матического пучка. При этом, естественно, возникает вопрос, в каком месте нужно сделать сечение пучка, чтобы получить наилучшее изображение? Ни в одном поперечном сечении не получилось точеч-

.ного изображения, так как нигде поперечное сечение пучка не обра­ тилось в одну точку. Площадь поперечного сечения обращается в нуль в двух местах — там, где это сечение вырождается в отрезок прямой линии, но хотя там площадь сечения равна нулю, это еще не обеспечивает хорошего качества изображения. Практика показала, что наилучшим местом изображения в пучке следует считать круглое поперечное сечение, которое получается между меридиональным и сагиттальным фокусами. В этом месте, по крайней мере, влияние астигматизма будет незаметно; в других поперечных сечениях фигура рассеяния не круглая, а имеет форму эллипса и в частном случае — форму отрезка прямой линии. Эллиптическая форма поперечного сечения очень характерна для влияния астигматизма на качество изображения. Вследствие астигматизма фигура рассеяния имеет большей частью вытянутую эллиптическую форму.

Таким образом, не проделывая здесь математических выкладок, а пользуясь лишь известным явлением сферической аберрации

вшироких пучках, можно составить себе отчетливое представление

охарактере астигматического бесконечно узкого пучка лучей.

с более сложной оптической системой, то явление астигматизма, по существу, будет точно такое же, как и в рассмотренном случае.

43

Представим себе любую оптическую систему. Для простоты пред положим, что предмет находится на бесконечности. Гауссовская плоскость изображения проходит при этом через задний фокус F'. Через эту систему проходит наклонный бесконечно узкий пучок лучей

(фиг. 16).

На основании законов оптики Гаусса, не учитывающих влияния аберраций, можно ожидать, что все лучи бесконечно узкого пучка должны сойтись в точке Р ’ пересечения главного луча с гауссовской

плоскостью изображения. Однако дело обстоит не так, а несравненно более сложно. На самом деле выходящий из системы пучок оказы­ вается астигматическим и имеет форму коноида Штурма, а вслед­ ствие этого на главном луче можно различить два фокуса — фокус меридиональных лучей М и фокус сагиттальных лучей S. Обычно ни один из этих двух фокусов не совпадает с точкой Р' пересечения главного луча с плоскостью изображения.

Если взять второй наклонный пучок, образующий другой угол с оптической осью, то можно и на этом луче отметить два фокуса меридиональных и сагиттальных лучей, точки М и S.

Можно рассмотреть множество главных лучей и на каждом луче отметить пару таких фокусов, точки М и S.

Если соединить теперь плавной кривой все точки М, то получится некоторая кривая, симметричная относительно оптической оси и представляющая собой геометрическое место меридиональных фокусов.

Если эти рассуждения перенести далее в пространство, то полу­ чится поверхность вращения. Для этого нужно представить себе, что чертей! вращается вокруг оптической оси. Тогда кривая опишет чашеобразную поверхность вращения, на которой расположены

44

меридиональные фокусы. Это и есть так называемая поверхность меридионального изображения.

Точно так же можно поступить со всеми точками 5, соединив их плавной кривой и представив себе далее поверхность вращения этой кривой; тогда получится вторая тоже чашеобразная поверх­ ность, на которой расположены все сагиттальные фокусы. Это —

поверхность сагиттального изображения.

Таким образом, при астигматизме получается не одно, а два изоб­ ражения данного объекта, причем ни на одной из двух поверхностей не будет наблюдаться резкого изображения. Нужно иметь в виду, что каждая точка изображается у меридионального фокуса М не точкой, а отрезком прямой линии. Также у сагиттального фокуса 5 каждая точка предмета изображается не точкой, а отрезком прямой линии, только иначе расположенным. Поэтому на этих поверхностях также нельзя получить резкого, отчетливого изобра­ жения. Следует отметить, что в центральной части изображения оно будет достаточно отчетливым оттого, что вэтом месте обе поверхно­ сти очень сближаются и сближаются также с гауссовской плоскостью изображения. Поэтому у оси изображение будет практически сво­ бодно ■от астигматизма.

Астигматизм оказывает влияние тем сильнее, чем дальше точка находится от осевой точки изображения. Это характерно для всех полевых аберраций, к числу которых относится и астигматизм. Их действие становится более интенсивным с удалением от опти­ ческой оси.

Кроме того, можно отметить, что из этих двух нерезких изобра­ жений ни одно, вообще говоря, не оказывается плоским, так как оба изображения расположены на изогнутых чашеобразных поверх­ ностях. Если считать, как это обычно делается, что наилучшее изоб­ ражение получается посередине между точками М и S, где попереч­ ное сечение имеет форму маленького круга, то можно найти и поверх­ ность, на которой расположено наилучшее изображение. Для этого достаточно все отрезки MS разделить пополам и полученные точки соединить плавной кривой (на фиг. 16 — штриховая кривая).

Вращая эту кривую вокруг оптической оси, можно получить поверхность наилучшего изображения; она также неплоская. В том, что изображение оказывается расположенным не на плоской поверх­ ности, а на кривой, проявляется влияние другой аберрации, отличной от астигматизма и называемой кривизной изображения.

Рассматривая здесь физическую сущность этих явлений, заме­ чаем, что астигматизм и кривизна изображения имеют общее проис­ хождение, общую физическую основу. Но не следует забывать, что эти обе аберрации совершенно независимы друг от друга. Это зна­ чит, что одна из них может быть большой, другая наоборот — маленькой; если одну из них уничтожить путем специального рас­ чета, то вторая при этом может иметь большое значение. Они незави­ симы друг от друга в смысле своей величины, хотя они и родственны по своему происхождению. Можно соответствующим расчетом унич­ тожить астигматизм, но кривизна изображения будет оставаться.

45

Точки M u S при этом сольются в одну точку, которая не будет лежать в плоскости гауссовского изображения. Предположим, что эти точки сблизились и сошлись в промежуточной средней точке. Тогда полу­ чится точечное и совершенно резкое изображение, потому, что астиг­ матизм при этом отсутствует и пучок лучей становится не астигма­ тическим, а гомоцентрическим. В этом случае точечное и совершенно резкое изображение будет расположено не на плоской, а на кривой

в виде кружка рассеяния, что менее вредно для качества изображе­ ния, чем эллиптическая форма фигуры рассеяния. В этом случае достигается устранение кривизны изображения при неисправленном астигматизме.

Нередко в практических расчетах конструкторам оптических си­ стем приходится прибегать именно к такому способу исправления кри­ визны изображения, если в их распоряжении нет необходимых параме­ тров, дающих возможность устранения в то же время и астигматизма.

Исправление кривизны изображения весьма необходимо для фотографических приборов, в том числе и для фотографических объективов. Если изображение расположено на кривой поверх­ ности, а фотографическая пленка или пластинка—•в плоскости гауссовского изображения, то хорошее изображение получится только в центральной части фотографического снимка, а по краям получится нерезкое изображение. Фотографическая пленка очень чувствительна к этому недостатку фотографических объективов. Поэтому в фотографических объективах кривизну, изображения принято удерживать в пределах до 0,6 мм при фокусном расстоя­ нии объектива в 100 мм, в то время как допустимый астигматизм на краю поля зрения достигает нередко 1,5 мм (в широкоугольных объективах — еще больше).

46

Иначе дело обстоит в визуальных системах, т. е. в системах, которые непосредственно работают с глазом человека.

Дело в том, что глаз человека обладает замечательной способ­ ностью приспосабливаться к различным расстояниям до предмета. Можно отчетливо видеть близкий предмет, а затем перенести свое внимание на далекий предмет и также отчетливо видеть его. Эта способность, называемая аккомодацией глаза, позволяет до извест­ ной степени не бояться кривизны изображения в оптических при­ борах. Глаз, рассматривая отдельные части изображения, будет сам

чечным, резким, никакой нерезкости дисторсия не вносит. Она ока­ зывает другое тоже очень вредное влияние на качество изображения, а именно: искажается форма изображения таким образом, что изобра­ жение предмета, лежащего в плоскости, перпендикулярной к опти­ ческой оси, становится неподобным самому предмету, нарушается подобие предмета и изображения.

Дисторсия возникает в реальных оптических системах вследствие того, что в них нарушается известное положение геометрической оптики: в паре сопряженных и перпендикулярных к оптической оси плоскостей линейное увеличение есть величина постоянная.

В реальных оптический системах ход лучей строго не подчиняется законам оптики Гаусса, вследствие чего указанное положение нару­ шается, а это влечет за собой и нарушение подобия изображения и предмета. Таким образом, дисторсия проявляется в том, что линей­ ное увеличение становится непостоянным по плоскости изображения.

Рассмотрим это явление более детально. Для этого представим,

Но и в этом случае вследствие симметрии строения оптических систем

47

точке А' является геометрическим местом точек, обладающих неко­ торым постоянным значением V. Значит, изменение линейного уве­ личения можно наблюдать, только переходя от одной из таких окруж­ ностей .к другой, имеющей иной диаметр. Поэтому чтобы наблюдать изменение линейного увеличения, нужно представить себе, что наблю­ датель рассматривает центр изображения у точки А' и начинает передвигаться, удаляясь от центра по любому радиусу; при этом

Фиг. 19. Квадрат на плоФиг. 20. Изображение квадрата скости предметов. при наличии положительной

дисторсии.

При таком перемещении вдоль радиального направления, исходя из осевой точки, можно встретиться с тремя различными слу­ чаями.

В первом случае — линейное увеличение возрастает по мере удаления от оптической оси, во втором случае — линейное увеличе­ ние сохраняет свое постоянное значение, в а третьем — оно умень­ шается по мере удаления от оптической оси. Других случаев не суще-- ствует. Второму случаю соответствует отсутствие дисторсии. Если линейное увеличение остается постоянным, то изображение будет подобно предмету, никаких искажений в изображении не появится. Поэтому второй случай здесь не рассматривается. Первый и третий случаи представляют два различных типа дисторсии. Рассмотрим сначала первый случай, когда линейное увеличение возрастает при удалении от оптической оси, и определим, какой характер будет иметь изображение (фиг. 19).

Пусть предмет имеет форму квадрата, и центр А этого квадрата лежит на оптической оси.

На фиг. 20 показано изображение этого квадрата. Осевая точка квадрата изображена в точке А', а изображение средней точки В стороны квадрата находится в точке В'.

Рассмотрим теперь изображение точки С, лежащей в углу квад­ рата.

48