8.1.2. Фундаментальная теорема факторного анализа Тэрстоуна

Изучение факторных воздействий предполагает выявление взаимосвязей характерных признаков. Для многомерных объектов показателями связи являются оценки дисперсии и коэффициенты ковариации, которые обобщаются в матрице ковариаций S (по выборочным данным – матрица X). Когда исходные значения признаков нормированы, т.е. имеем z_ij = (x_ij –)/σ_j, матрица ковариаций, как известно, переходит в матрицу парных корреляций: S = R = 1/n Z'Z.

Симметрическая матрица R имеет собственную систему координат в пространстве R^m, где т – число анализируемых признаков. Допуская преобразования координатной системы в систему пространства латентных факторов, можно записать Z_ij в виде линейной комбинации новых координат:

Z_ij=a_j1f_1i+a_j2f_2i+... +a_jrf_ri,

или в матричной форме: Z = AF.

Воспользуемся возможностью подстановки в уравнение для R вместо Z произведения матриц AF и получим

R =1/nAF(AF)' =1/nAFF'A'.

Изменив место расположения скаляра 1/n, выделим произведение 1/nFF', результат произведения интерпретируется как матрица корреляций С, определяемая для латентных факторов F_r. После замены 1/nFF’ на С запишем: R = АСА'.

В предположении, что факторы F_r некоррелированы, т.е. С = Е, где Е – единичная матрица, приходим к равенству R = АА'.

Л.Л. Тэрстоуном равенства типа R = АСА' и R = АА' названы фундаментальной факторной теоремой, здесь А – матрица факторного отображения, а ее элементы a_jr – величины факторных нагрузок. Суть теоремы – в возможности воспроизведения исходной корреляционной матрицы R через матрицу факторного отображения А. При С = Е связь матричных элементов r и а записывается в виде уравнения r_ij = а_i1a_j1 + а_i2а_j2 + ... + a_ir a_jr.

Другими словами, корреляция пары характерных признаков r_ij опосредуется корреляцией каждого из признаков с некоторыми латентными факторами F_r. Латентные факторы определяют само существование связи i-го и j-го коррелирующих признаков. Если С = Е, латентные факторы неортогональны и матрица корреляций R отображается в А с учетом их взаимодействия:

	R	=	A		C		A'
.

Равенства Тэрстоуна допускаются гипотетически. Реально АА' и АСА' будут далеко не всегда в точности воспроизводить R. Это объясняется двумя причинами. Во-первых, в факторном анализе, позволяющем эффективно объяснять общую дисперсию данных, r – число латентных (обобщенных) признаков, как правило, значительно меньшее числа исходных признаков т. И, во-вторых, в матрице А объединяются теоретические оценки факторных нагрузок a_ij. С учетом различий математических методов и специфичности вычислительных процедур следует допустить, что а_ij не абсолютно истинны.

Таким образом, можно ожидать, что воспроизведенная из АА' или АСА' матрица корреляций R⁺ будет отлична от R. Как следствие, на главной диагонали R⁺ располагаются величины, обычно не равные, а меньшие 1. На практике значения r⁺_ij принимают за общности, т.е. характеристики части дисперсии, поддавшейся объяснению через латентные факторы F_r, а 1–τ⁺_ij – специфичность, т.е. необъясненная часть дисперсии. По степени расхождения R⁺ и R судят о достаточности числа выделенных латентных факторов и адекватности аналитических выводов.