книги из ГПНТБ / Архаров В.И. Арифметические и логические основы цифровых вычислительных машин учеб. пособие

Поскольку при арифметических действиях над двумя нормали­ зованными числами мантисса результата удовлетворяет условию

1 < |Л М < 2 ,

то признаком нарушения нормализации влево для положительных чисел является сочетание 01, для отрицательных чисел — сочета­ ние 10 в двух знаковых разрядах. Нормализация может быть вос­ становлена путем модифицированного сдвига мантиссы вместе со знаковым разрядом на один разряд вправо с одновременным при­ бавлением к порядку единицы.

Невыполнение условия

называется нарушением нормализации вправо, признаком кото­ рого является для положительных чисел сочетание 00,0; для от­ рицательных чисел, представленных в модифицированном прямом коде, сочетание П-,0; для отрицательных чисел, представленных в модифицированном обратном или дополнительном кодах—сочета­ ние 11,1 в двух знаковых разрядах числа и старшем цифровом раз­ ряде мантиссы.

Восстановление нормализации осуществляется путем повторе­ ния цикла сдвига мантиссы влево с одновременным вычитанием единицы из порядка до тех пор, пока в знаковых разрядах и стар­ шем цифровом разряде мантиссы не появятся для положительных и отрицательных чисел, представленных в модифицированном пря­ мом коде, соответственно сочетания 00,1 и 11,1; для отрицательных чисел, представленных в модифициоованном дополнительном или обратном кодах, сочетание 11,0.

§6. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ЧИСЕЛ В ЦВМ

СПЛАВАЮЩЕЙ ЗАПЯТОЙ

Сложение и вычитание нормализованных чисел с одинаковыми порядками осуществляется аналогично сложению и вычитанию чисел в ЦВМ с фиксированной запятой. Мантиссы чисел склады­ ваются в одном из модифицированных кодов и результату приписы­ вается порядок слагаемых.

При сложении или вычитании чисел с разными порядками, их порядки предварительно выравниваются, при этом нормализация одного из чисел нарушается. При выравнивании порядков число с меньшим порядком приводится к порядку второго числа путем сдвига мантиссы вправо и добавления к порядку первого числа еди­ ницы при каждом сдвиге.

Выравнивание порядков путем приведения числа с большим порядком к порядку второго числа выполнять нельзя, так как в этом случае необходимо сдвигать мантиссу нормализованного числа влево, что приводит к потере старших цифровых разрядов мантиссы.

60

Алгебраическое суммирование двух чисел в ЦВМ с плавающей запятой выполняется по следующему алгоритму. Из порядка пер­ вого числа вычитается порядок второго числа. Знак разности по­ рядков указывает, какая из мантисс сдвигается вправо при вырав­ нивании порядков, и порядок какого слагаемого принимается за порядок результата.

Если разность порядков положительна, мантисса второго сла­ гаемого сдвигается вправо на один разряд с одновременным вычи­ танием единицы из разности порядков до тех пор, пока разность порядков не будет равна 0. Затем йроизводится суммирование нор­ мализованной мантиссы первого слагаемого с ненормализованной мантиссой второго слагаемого, результату присваивается порядок первого слагаемого.

Если разность порядков отрицательна, то в каждом цикле вы­ полняется сдвиг на один разряд вправо мантиссы первого слагае­ мого, а к разности порядков прибавляется единица до тех пор, пока разность не будет равна нулю. Затем выполняется суммирование мантисс. Результату присваивается порядок второго слагаемого.

Алгебраическое суммирование порядков, так же как и мантисс, происходит в ЦВМ в одном из модифицированных кодов, обратном или дополнительном. Однако для упрощения в приведенных ниже примерах алгебраическое суммирование порядков приведено в пря­ мом коде.

При алгебраическом суммировании мантисс в одном из модифи­

61

Т р е т и й ш а г . Перевод обеих мантисс в модифицированный дополнительный код и сложение мантисс:

но результат после перевода в прямой код окажется ненормализо­ ванным, происходит нарушение нормализации вправо.

Т р е т и й ш а г . Перевод обеих мантисс в модифицирован­ ный дополнительный код и сложение ман­ тисс:

(I),00,00010000001011

(II)+ 11,01110000001000 11,10000000010011.

Че т в е р т ы й ш а г . Перевод результата в прямой код

11,01111111101101.

П я т ы й ш а г . Нормализация результата: мантисса резуль­ тата сдвигается влево на один разряд, одно­ временно от порядка второго слагаемого вычитается единица

11, 1111111101101.

62

Порядок второго слагаемого становится 111—001 = ПО.

Ш е с т о й ш а г . Результату присваивается порядок второго слагаемого

2 = 11, 1111111101101.00,110.

Проверка: S = —0,1111111101101 ■2+110 =

= —111111,1101101 = —63 — .

128

3. При сложении происходит переполнение разрядной сетки, происходит нарушение нормализации влево.

Пример 17.

Первое слагаемое (I) 11,10101100001.00,110 = — 43 —

(II)11,010101100001.

Т р е т и й ш а г . Перевод обеих мантисс в модифицирован­ ный дополнительный код и сложение ман­ тисс:

(I) , 11,101010011111 (II) + 11,000000010010

10, 101010110001.

63

сложения порядков сомножителей в одном из модифицированных кодов;

в) перемножение мантисс сомножителей, дающее мантиссу про­ изведения так же, как и для чисел с фиксированной запятой.

Произведение мантисс двух нормализованных чисел, каждая

чем на один разряд. Для исправления денормализации мантиссу произведения сдвигают влево на один разряд с одновременным уве­ личением на единицу порядка произведения.

Пример 18. Умножить два числа, пользуясь при умножении ман­ тисс сомножителей методом просмотра одной цифры множителя, начиная с младшего разряда

64

+00,11011 ПК множимого

00,11011 1 частичное произведение (ЧП)

00,011011 сдвиг 1ЧП на 1 разряд вправо

IIтакт 00,011011 «0»

00,0011011 сдвиг 2ЧП на 1 разряд вправо

00,1010100011 сдвиг 5ЧП на 1 разряд вправо

00,1010100011.00.1110.

Проверка. 00.1010100011.00.1110 = 00,1010100011 • 2+1110 =

= 675-2_10.2 +14 = 675-2+4-

Пример 19 (ускоренное умножение). Умножить два числа, поль­ зуясь при умножении мантисс сомножителей методом просмотра двух очередных цифр множителя, начиная с младших разрядов.

П е р в ы й ш а г . Складывая порядки сомножителей с учетом знаков, получим порядок произведения:

00,1000 ПК порядка множимого

11,1011 ДК порядка множителя

11,011110010000011 4 ЧП

11,11011110010000011 Модифицированный сдвиг 4 ЧП на 2 разряда вправо

Конец циклического процесса

,11,11011110010000011 «00» и «1» СС ^00,11011101100000000 ПК множимого

00,10111011110000011 Мантисса произведения.

6 6

Проверка. 00.10111011110000011.00.0011 =00.10111011110000011X

X 2 t00U = + 101,11011110000011 = + 5 - ^ ^ .

16 384

§ 8. ДЕЛЕНИЕ ЧИСЕЛ В ЦВМ С ПЛАВАЮЩЕЙ ЗАПЯТОЙ

Для деления чисел, заданных в нормальной форме, нужно про­ извести следующие действия:

а) определение знака частного путем сложения знаков делимого и делителя согласно таблице 3-1;

б) определение порядка частного путем алгебраического вычи­ тания порядка делителя из порядка делимого;

в) деление мантиссы делимого на мантиссу делителя, что дает мантиссу частного. Эта операция производится точно так же, как и для чисел с фиксированной запятой.

Для деления двух нормализованных мантисс, каждая из которых лежит в пределах

мантисса частного удовлетворяет условию

Y < |iV o l< 2 ’

что эквивалентно нарушению нормализации на один разряд влево.

В некоторых ЦВМ перед выполнением операции деления прину­ дительно нарушают нормализацию делимого вправо путем сдвига вправо на один разряд мантиссы делимого с одновременным добав­ лением единицы к порядку делимого. В этом случае частное может получиться с нарушением нормализации вправо на один разряд. После окончания операции происходит нормализация делимого.

Если делимое и делитель заданы прямыми кодами, то операцию деления можно начинать с вычитания мантиссы делителя из ман­ тиссы делимого, а инвертированный знак сумматора направлять в разряд единиц частного и только после этого циклический про­ цесс выполнен.

Пример 20. Найти частное двух чисел

П е р в ы й ш а г . Вычитая из кода порядка делимого код по­ рядка делителя, получим код порядка ча­ стного:

68

Ч е т в е р т ы й ш а г . При делении мантисс произошло на­ рушение нормализации влево. Для восстановления нормализации резуль­ тирующую мантиссу сдвигаем на один разряд вправо, а порядок частного увеличиваем на единицу:

01,0011 - 00,10011

00,0010 -'г 00,0001 = 00,011.

Пя т ы й ш а г . Получаем следующее частное:

00.10011.00.0011.

69