книги из ГПНТБ / Архаров В.И. Арифметические и логические основы цифровых вычислительных машин учеб. пособие

Перевод чисел из десятичной системы в восьмеричную

Пользуясь общим алгоритмом перевода, изложенным ранее, переведем несколько десятичных чисел в восьмеричные:

Пример 16. Перевести десятичное число 999,14257812510 в вось­ меричное. Переводим отдельно целую и дробную части.

Пример 17. Перевести десятичное число 219,20312510 в восьме­ ричное

Перевод из восьмеричной системы счисления в двоичную и обратно

Основание восьмеричной системы является целой степенью осно­ вания двоичной системы (8 = 23). В подобных системах счисления перевод чисел из одной системы в другую очень прост.

20

Пусть дано целое восьмеричное число N

Преобразовать число N в двоичную систему, значит представить его в виде

По условию N --- N ' . Разделив М и ./V1 на 8 = 23, получим оди­ наковые остатки и частные

восьмеричного числа в двоичную систему нужно каждую восьме­ ричную цифру заменить равным ей трехзначным двоичным числом. Данное правило справедливо и для перевода дробей.

Пример 18. Перевести восьмеричное число 754,363 в двоичное

754,3638 = 111 101 100,011 110 0112.

Для перевода двоичных чисел в восьмеричные необходимо дво­ ичное число разбить на триады влево и вправо от запятой, и каждую триаду заменить восьмеричной цифрой. Если правая и левая группы цифр не будут полными триадами, их дополняют справа и слева нулями.

Пример 19. Перевести двоичное число 11111101101, 101112 в вось­ меричное.

Слева и справа разбиваем двоичные цифры на триады

011.111.101.101, 101.1102 = 3755,568.

Восьмеричная система счисления в ЦВМ используется для со­ кращенной записи двоичных чисел при программировании: для записи адресов команд, кодов операции, адресов чисел, исходных данных.

Как промежуточная, восьмеричная система используется для перевода десятичных чисел в двоичные и обратно. Вначале десятич­ ное число переводят в восьмеричное, а затем уже переходят к дво­ ичному изображению.

Пример 20. Перевести десятичное число 641,414062510 в двоич­ ное.

21

Перевод в десятичную систему счисления

Рассмотрим два метода перевода чисел из любой системы счис­ ления в десятичную:

а) метод последовательного деления на десять, б) метод суммирования степеней основания.

Пример 21. Перевести восьмеричное число 3078 в десятичное методом последовательного деления на Ю10

36Не

П8

Пример 23. Перевести двоичное число 1101 001 1001112 в деся­ тичное.

22

Переведем предварительно двоичное число в восьмеричное

001.101.001.100.111,= 151478 = Ь 84 + 5 - 83+ 1-8а + 4-81 + 7-8° =

= 4096 + 2560 + 64 +'32 + 7 = 676110.

§ 5. НЕПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

Непозиционными системами счисления называются такие си­ стемы счисления, в которых каждая цифра сохраняет свое значение независимо от места ее положения в числе. Примером непозицион­ ных систем может служить известная нам римская система счисле­ ния и система счисления в остаточных классах.

представляет собой наименьший положительный остаток от деления самого числа N, а не предыдущего частного, как в позиционных системах.

В теории чисел доказано, что если р, взаимно простые числа, то описанное цифрами ап, . . . а 3, а 2, а 1 представление числа N является единственным. Диапазон представленных чисел равен

23

Возьмем десятичное число N = 5010, лежащее в заданном диа­ пазоне (0, 210) и переведем его в систему остаточных классов

А В представлены соответственно остатками уг и 8г, то справедливы следующие соотношения (доказательство приводить не будем):

т. е. сложение и умножение являются поразрядными операциями. При этом в качестве цифры результата берется соответственно:

24

Глава вторая

П РЕД С ТАВЛ ЕН И Е ЧИСЕЛ В Ц И Ф Р О В Ы Х М А Ш И Н А Х

§ 1. ФОРМЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ЧИСЕЛ В МАШИНАХ

Как и при ручном счете, для представления чисел в ЦВМ при­ меняются две формы: естественная и нормальная.

В зависимости от способа представления чисел ЦВМ делятся на машины с фиксированной запятой, где применяется естествен­ ная форма записи чисел, и машины с плавающей запятой, где при­ меняется нормальная форма записи.

Естественная форма записи чисел

При естественной форме записи числа представляются в виде последовательности цифр, разделенных запятой на целую и дроб­

чисел, положение запятой жестко фиксируется после определен­ ного разряда и остается неизменным для всех чисел, с которыми оперирует вычислительная машина.

Разрядная сетка или ячейка памяти такой машины состоит из знакового разряда и цифровых разрядов, часть из которых отве­ дена для записи целой части, остальные отведены для записи дроб­

Для изображения знака числа отведен один разряд. В боль­ шинстве машин в знаковом разряде принято изображать знак < + > цифрой 0, а знак<;—> цифрой 1. Для изображения целой части числа на рис. 1 отведено т разрядов, дробной — п разрядов.

26

Определим границы диапазона чисел, с которыми может опери­

Минимальное положительное число, которое можно изобразить, равно

0 . . . . 00 , 00 . . . 01 = 2~п.

Разрядная сетка ЦВМ с фиксированной запятой с четырьмя раз­ рядами для хранения целой части и двенадцатью разрядами для хранения дробной части приведена на рис. 2.

Рис. 2

Диапазон чисел, с которыми может оперировать ЦВМ, со­ гласно (2.1) будет равен

2_,2< | М | < 2 4— 2~12,

0,00024 < | N | < 16— 0,00024.

Пример 1. Записать в ячейке, приведенной на рис. 2, десятичное число -4- 15, 136:

+ 15, 13610= + 1111, 001 000 101 101.

Запись данного двоичного числа в ячейке памяти приведена на рис. 3.

0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1

Рис. 3

Пример 2. Записать в ячейке приведенное на рис. 2 десятичное число — 11,0941о:

— 11,094 = — 1011, 000 НО 000 001.

27

Запись данного двоичного числа в ячейке памяти приведена на рис. 4.

Рис. 4

При выполнении арифметических операций результат вычисле­ ния не должен превышать по абсолютной величине максимального числа, которое может быть представлено машиной. В противном случае переполняется разрядная сетка и результат искажается. Например, при умножении в ЦВМ двух чисел

N 1-Ni = 1100,001 • 0101,000 = 111100,101.

Поскольку для целой части отведено только четыре разряда, два старших разряда будут потеряны, а результат искажен. Поэ­ тому в машинах с фиксированной запятой все величины, участвую­ щие в вычислениях, необходимо заранее умножать на масштабные коэффициенты, величина которых должна быть подобрана с таким расчетом, чтобы в процессе решения задачи никакие арифметиче­ ские операции не вызывали переполнения.

Для облегчения подбора масштабных коэффициентов запятая

в машине будут по модулю меньше единицы, т. е. правильными дро­ бями. Фиксация запятой перед старшим разрядом удобна тем, что при умножении двух чисел произведение всегда будет меньше еди­ ницы и, следовательно, не выйдет за пределы разрядной сетки. Диа­ пазон чисел в таких машинах сравнительно невелик. Если для дробной части отведено п разрядов, то

2 ~ " < |М |< 1 - 2 “ "

28

Нормальная форма представления чисел

При нормальной форме представления чисел любое число N за­ писывается в виде произведения двух сомножителей

N = N g\0p,

где 10 — основание системы, р — порядок чисел,

АД — мантисса числа, удовлетворяющая условию 0<Д ЛД| < 4 . Например,

АД = 18,37410 = 0,18374 • 102,

М2 = 0,0005751п = 0,575 • Ю- 3 ,

7V3 = — 10111,0012 = — 0,10111001 • Ю101,

Л74 = 0,001 112 = 0,111 • 10_1°.

Как видно, запись числа в нормальной форме не определяется однозначно, поскольку справедливы и другие записи

7VX= 18,37410 = 0,018374-103,

АД = 0,0005751о = 0,0575-10“ 2,

АД = — 10111,0012 = —0,010111001 • Ю110,

yv4 = 0,001112 = 0,0111-10_1.

Если в старшем разряде (после запятой) мантиссы АД стоит зна­ чащая цифра, т. е. цифра, отличная от нуля, то число N называют нормализованным. В этом случае запись числа в нормальной форме определяется однозначно. Мантисса нормализованного числа должна удовлетворять условию

где 10 — основание системы. Для двоичной системы

Для десятичной системы

Если условие (2.1) не выполняется, числа называют ненорма­ лизованными. Числа — 0,1239-102; 0,999-10~3; — 0,1000001 • 10+ш

0,11111111 • 10~100 являются нормализованными, поскольку они удовлетворяют условию (2.1). Числа 0,0137• 103; — 0,0101111110п °,

0,00011 • 10 011 являются ненормализованными, поскольку они не удовлетворяют условию (2.1). Все арифметические действия в ма­ шинах, как правило, выполняются только над нормализованными числами.

29