книги из ГПНТБ / Архаров В.И. Арифметические и логические основы цифровых вычислительных машин учеб. пособие

Пример 12.

Одно слагаемое положительно, другое отрицательно, сумма положительна:

0 < х < 1, — 1 < г /< 0 , х^>\ у\, 0 < * + г /< 1 .

Осуществляя циклический перенос из знакового разряда в млад­

Положительный знак суммы указывает на то, что алгебраиче­ ская сумма получилась в прямом коде.

Одно слагаемое положительно, другое отрицательно, сумма от­ рицательна:

— 1 < х < 0 , 0 < г /< 1 , | х\>>у, — 1 < * + г/<0

Мобр +[у!обр ^ 10+ * — 10 ”+ г/ = 10 + (х + у)— 10 ” = [х + у]обр.

Как видим, циклический перенос в данном случае отсутствует.

40

Отрицательный знак суммы говорит о том, что алгебраическая сумма получилась в обратном коде.

Оба слагаемых отрицательны:

— 1 < х < 0 , — 1 < г /< 0 , — 1 < х + у < 0

Мобр + Uj U p = Ю + х - К Г " + 10 + у - 10-" =

= 10+ [10+(* + !/) — КГ"] — КГ".

Осуществляя циклический перенос из знакового разряда в млад­ ший разряд, получим:

[х]0бр + [у]Обр = 0 0 + [l0 + (x + z/)— 10 "]— 10 " + 1 0 " =

= 10+ (х + у) — 10 ” = [х+г/]обр.

Пример 15.

х + у[обр= 1 ,001101 = — 4 т

Отрицательный знак суммы свидетельствует, что алгебраиче­ ская сумма получилась в обратном коде.

§ 4. ПЕРЕПОЛНЕНИЕ РАЗРЯДНОЙ СЕТКИ МАШИНЫ

Как было указано выше, в ЦВМ с запятой, фиксированной перед старшим разрядом, могут быть записаны только правильные дроби. Поэтому все величины, входящие в решаемую задачу, необходимо умножать на масштабные коэффициенты, подобранные таким об­ разом, чтобы в процессе вычислений разрядная сетка не переполня­ лась.

Если масштабные коэффициенты подобраны неправильно, в про­ цессе вычислений при сложении двух чисел с одинаковыми знаками или при делении двух чисел, результат может превысить по абсо­ лютной величине единицу. В этом случае нужно остановить ЦВМ и изменить масштабные коэффициенты, поэтому в машинах необ­ ходимо иметь автоматическую сигнализацию о переполнении раз­ рядной сетки.

• Если х > 0 , y's> 0 и х + у^> 1, то признаком переполнения яв­ ляется наличие цифры 1 в знаковом разряде.

41

Пример 16.

* = 0,11101 = —

32

и= 0,00111 = —

у__________32

*+ у = 1,00100

Сравнивая цифру в знаковом разряде суммы с цифрами знако­ вых разрядов слагаемых, можно установить, есть переполнение разрядной сетки или нет. Признаком переполнения является от­ личие цифры знакового разряда суммы от цифры знаковых разря­ дов слагаемых.

Указанный способ сложен, так как требует запоминания знаков слагаемых и сравнение их со знаковым разрядом суммы.

При переполнении разрядной сетки модуль суммы удовлетво­ ряет неравенству

1 < \ х + у \ < 2 .

Это обстоятельство облегчает построение кодов, по виду кото­ рых можно определить переполнение разрядной сетки. Для этой цели в ЦВМ применяют модифицированные дополнительный и об­ ратный коды. В модифицированных кодах для изображения знака используются два знаковых разряда: положительные числа изобра­ жаются кодом 00, . . . , отрицательные числа — кодом ,1 1 ,...........

42

Положительный знак суммы свидетельствует о том, что алге­ браическая сумма получилась в прямом модифицированном коде.

Отрицательный знак суммы говорит о том, что алгебраическая сумма получилась в модифицированном дополнительном коде.

Как видим из приведенных примеров, признаком отсутствия переполнения разрядной сетки является совпадение цифр в знако­ вых разрядах двоек и единиц, т. е. комбинация цифр 00 и 11. При­ знаком переполнения является несовпадение цифр в знаковых раз­ рядах двоек и единиц, т. е. комбинации 10 и 01, причем комбина­ ция 01 свидетельствует о переполнении при сложении положитель­ ных чисел, а комбинация 10 — отрицательных.

Комбинация 01 в знаковых разрядах свидетельствует о пере­ полнении разрядной сетки при сложении положительных чисел.

Комбинация 10 в знаковых разрядах свидетельствует о переполне­ нии разрядной сетки при сложении отрицательных чисел.

Для автоматической сигнализации о переполнении разрядной сетки достаточно сравнить цифры в двух знаковых разрядах.

44

Модифицированный обратный код

Если х — правильная двоичная дробь, положительная или от­ рицательная, то модифицированным обратным кодом называют код

[л;]обр, получаемый по следующей формуле:

где п — число разрядов дробной части, 100 — изображает число 4.

Если х = 0, хгх2х3 . . . хп, то

1*С$р = 00’ *1 *2 *3 • • • *„•

Если х — —0, XiX2x3 . . . хп, то

т. е. для получения модифицированного обратного кода отрицатель­ ного числа необходимо в знаковых разрядах поставить код 11, а в дробной части нули заменить единицами, а единицы — нулями.

Доказательство формулы (2.22) аналогично доказательству фор­ мулы (2.17) для обычного обратного кода. Суммирование чисел в мо­ дифицированном обратном коде аналогично суммированию в обыч­ ном обратном коде. При появлении единицы переноса левее знако­ вых разрядов ее необходимо прибавить к младшему разряду резуль­ тата, т. е. осуществить циклический перенос. Результат суммиро­ вания получится в модифицированном прямом коде, если сумма положительна, и в модифицированном обратном коде, если сумма отрицательна.

Пример 23.

Положительный знак суммы свидетельствует о том, что алге­ браическая сумма получилась в модифицированном прямом коде.

45

Глава третья

ВЫ ПОЛНЕНИЕ АРИФ М ЕТИ ЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ В Ц И Ф Р О В Ы Х ВЫ ЧИС ЛИТЕЛЬНЫ Х М А Ш И Н А Х

§I. ВЫПОЛНЕНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ОПЕРАЦИЙ

ВАРИФМЕТИЧЕСКОМ УСТРОЙСТВЕ

Косновным арифметическим операциям, выполняемым в цифро­ вых вычислительных машинах, относятся операции сложения, вы­ читания, умножения и деления.

Внутри арифметического устройства машины (АУ) выполнение любой арифметической операции расчленяется на ряд элементар­ ных операций, к числу которых могут быть отнесены: 1) прием ко­ дов чисел из запоминающего устройства (ЗУ) на входные регистры АУ; 2) преобразование в зависимости от конструкции ЦВМ прямых

кодов чисел в дополнительный или обратный коды и наоборот;

3)сдвиг кодов чисел вправо или влево; 4) сложение кодов чисел.

Взависимости от общей структуры ЦВМ исходные данные и результаты вычислений могут храниться в ЗУ в прямом, допол­

нительном или обратном кодах (ПК, ДК, ОК).

Вбольшинстве ЦВМ информация в ЗУ хранится, как правило,

впрямом коде. В этом случае отрицательные числа перед выдачей из входных регистров в суммирующее устройство должны быть преобразованы в обычный, или модифицированный дополнительный, или обратный коды. Если результат суммирования двух чисел от­

рицательный, то его необходимо перед выводом в ЗУ преобразо­ вать в прямой код.

Хранение информации в ЗУ в прямом коде затрудняет выполне­ ние операций сложения и вычитания, но облегчает выполнение операций умножения и деления, поскольку они выполняются обычно в прямом коде.

При выполнении операций умножения и деления в каждом такте используется операция сдвига. Операцией сдвига называется пере­

тен умножению его на 2~fc> сдвиг влево эквивалентен умножению числа на 2к.

47

Пример 1. Сдвинуть число х — 0,10111011 = — вправо на три

разряда

ряда

х = 0,(Ю010Г=0,101000 = 23- — = — .

64 8

Из-за ограниченной разрядной сетки при сдвиге вправо на k разрядов числовая последовательность х = ± 0,хгх 2х3 . . . хп за­ меняется последовательностью

х = +0,00 . . . 0 х{х2 . . . xn_ k

k нулей

Пример 3. Сдвинуть число В = + 0,11110111 вправо на 4 раз­ ряда, если разрядная сетка ЦВМ содержит 8 разрядов

В = ±0,11110111=0,00001111.

Как видно, при сдвиге вправо из-за ограниченной разрядной

х = ± 0,10011= + 0,11000.

При сдвиге влево в нашем примере вышли за разрядную сетку три старших разряда.

При сдвиге отрицательных чисел, представленных в дополни­ тельном или обратном кодах, применяется модифицированный сдвиг.

К о п = 11,0101111; [ < бр = 11,0011111;

48

[*]"„„ = И .OlOl111 = 00,1101°11 и + и , 0 = 11,110101111;

[х]“бр = 11,0011111 =00,110011111 -Ь 11,0= 11,110011111.

При модифицированном сдвиге влево коды Ц ]доп и [х 1дОП сдвигаются на k разрядов влево. Разряды, старше знакового, вы­ ходят за пределы и пропадают.

Пример 6. Сдвинуть влево на 2 разряда коды

[%]“ 11,0010101, Ш =1,010101,

Ц]м = 11,0010101 = 00,1010100 ,

сдвигаются на k разрядов влево. Разряды левее старшего знако­ вого пропадают. Освободившись при сдвиге, младшие разряды за­ полняются единицами.

Пример 7. Сдвинуть на два разряда коды

[ < бр= 11,11011011, [*]обр = 1,11П0101,

[х]“бр = 11,110П011 = 11,01101100 + 00,0 . . . 011 = 11,01101111,

[х]обр = 1,11110101 = 1,11010100 + 0,0 . . . 011 = 1,11010111.

§ 2. ВЫПОЛНЕНИЕ ОПЕРАЦИЙ СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯ В ЦВМ С ФИКСИРОВАННОЙ ЗАПЯТОЙ

При выполнении операций сложения и вычитания в АУ произ­ водится алгебраическое суммирование чисел с учетом знаков.

При сложении чисел, имеющих одинаковые знаки, или при вы­ читании чисел с разными знаками в АУ производится арифметиче­ ское сложение чисел. При сложении чисел, имеющих разные знаки, или при вычитании чисел, имеющих одинаковые знаки, произво­ дится арифметическое вычитание чисел.

Как указывалось выше, в главе второй, операция вычитания в ЦВМ сводится к операции арифметического сложения при пред­ ставлении отрицательных чисел в обычном или модифицированном дополнительном или обратном кодах. Правила сложения чисел, представленных в обычном или модифицированном дополнитель­ ном или обратном кодах, подробно рассмотрены в главе второй настоящего пособия.