книги из ГПНТБ / Архаров В.И. Арифметические и логические основы цифровых вычислительных машин учеб. пособие

Пример 8. Найти [х—t/Г для чисел

95

[х]м = = 00,001011111= + — ;

243

[«/]"„ = 11,011110011

512'

Используя при суммировании модифицированный дополнитель­ ный код,

Положительный знак суммы свидетельствует о том, что алге­ браическая сумма получилась в прямом коде

169

[ * - < п = [ * - 0 ] п р = (Ю *1 0 1 0 1 0 0 1 = + 256'

Пример 9. Найти [х— для чисел

[*]“ =11,001101011 = — -107

Отрицательный знак суммы свидетельствует о том, что алгебраи­ ческая сумма получилась в дополнительном коде, и ее необходимо преобразовать в прямой код

105

[х—#]“р = 11,1101001

128 '

§3. ВЫПОЛНЕНИЕ ОПЕРАЦИИ УМНОЖЕНИЯ В ЦВМ

СФИКСИРОВАННОЙ ЗАПЯТОЙ

ВЦВМ с фиксированной запятой при умножении двух чисел, представляемых в прямом коде, действия над знаковыми разрядами

идробной частью выполняются раздельно.

50

Умножение дробных частей сводится к элементарным операциям последовательных суммирований и сдвигов. Процессом суммиро­ вания управляют цифры множителя: если очередная цифра мно­ жителя изображается цифрой 1, то множимое с соответствующим весом добавляется к сумме частичных произведений; если очеред­ ная цифра множителя есть 0, суммирование не производится. Про­ цесс суммирования продолжается до тех пор, пока не будет произ­ ведено умножение на все разряды множителя.

Знак произведения получается в результате сложения по мо­ дулю два знаков сомножителей. При таком сложении перенос, если он возникает, теряется. Аналогично производится и определение знака частного при делении двух чисел (табл. 3-1).

Т а б л и ц а 3-1

имножитель сдвигаются вправо, множимое неподвижно;

2)умножение начинается с младших разрядов множителя, по­ сле каждого такта суммирования множимое сдвигается влево, а множитель — вправо, сумма частичных произведений неподвижна;

3)умножение начинается со старших разрядов множителя, по­

сле каждого такта суммирования сумма частичных произведений

имножитель сдвигаются влево, множимое неподвижно;

4)умножение начинается со старших разрядов множителя, после каждого такта суммирования множимое сдвигается вправо, множитель — влево, сумма частичных произведений неподвижна.

Самым экономичным и наиболее распространенным в ЦВМ яв­ ляется вариант 1, который мы и рассмотрим подробно.

Пример 10. Найти произведение двух чисел, используя вариант

1.Исходные числа хранятся в ЗУ в прямом коде.

Множимое

[*l“p = ll,1011 = - i i .

Множитель

Произведение

При умножении двух чисел в ЦВМ действия над знаками и мно­ жителями выполняются раздельно. Знак произведения находится согласно таблице 3-1

00 + 11 = 11 (+ ) X ( - ) =

Знак произведения хранится в знаковых разрядах регистра ре­ зультата.

После нахождения знака результата знаковые разряды множи­ мого, множителя и сумматора устанавливаются в нулевое состоя­ ние.

IIтакт . 00,01011

^00,00000 Умножение на вторую цифру множителя.

Пример 11. Найти произведение двух чисел

Множимое

м ; р= о о ,п п = - ! | .

52

Множитель

+00,1111 Умножение на младшую цифру множителя.

00,1111 I частичное произведение (ЧП).

00,01111 Сдвиг вправо на I разряд.

до сдвига частичное произведение может превышать единицу (ком­ бинация 01 в знаковых разрядах сумматора).

Время выполнения операции умножения Туы будет определяться длительностью такта суммирования т2, длительностью такта сдвига тСдв и разрядностью п.

Т ум = (хх + хсяв)п.

Для сокращения времени выполнения операции умножения пользуются аппаратными методами, требующими увеличения аппа­ ратуры арифметического устройства, или логическими методами, связанными с усложнением только схемы управления.

Наиболее распространенным логическим методом ускорения выполнения умножения является пропуск тактов суммирования

53

в тех случаях, ког^а очередная цифра множителя есть нуль. Если полагать, что разряды множителя не зависят один от другого и в каждом из них с равной вероятностью могут находиться как 1, так и 0, то среднее количество тактов суммирования при умноже­

нии п разрядных чисел оказывается равным — . Применение этого

метода сокращает среднее время выполнения умножения в отно­ шении

с равными вероятностями могут встретиться комбинации 00, 01, 10, 11, которые можно выразить следующим образом:

00 = 0; 01 = 2°; 10 = 21; 11 = 22 — 2°.

В соответствии с этим представлением при выполнении первого шага умножения придется произвести не более одного прибавления или вычитания множимого. При необходимости добавить произве­ дение множимого на 22, т. е. на единицу третьего разряда, эта еди­ ница запоминается специальной схемой (СС). В дальнейшем перед началом каждого следующего шага умножения будет расшифро­ вываться комбинация из цифр, имеющихся в двух очередных раз­ рядах множителя и в схеме СС. Перечень элементарных операций в зависимости от возможных комбинаций трех цифр приведен в таблице 3-2.

Если после просмотра всех разрядов множителя схема СС будет находиться в «1», то к окончательному результату необходимо при­ бавить множимое в прямом коде.

Сокращение среднего времени умножения при попарном про­ смотре цифр разрядов множителя выражается отношением

АО

1—— т ------ >

Т2 + Тсдв

при т2 ^ 2тсдв Дх = 0,583, что соответствует экономии времени на 41,7%.

Пример 12. Найти произведение двух чисел, пользуясь методом просмотра двух очередных цифр множителя.

54

Т а б л и ц а 3-2

Произведение

+00,111111 Прибавление множимого в ПК.

00,111111 I частичное произведение.

00,00111111 Сдвиг I ЧП на 2 разряда вправо.

+01,11111000 Прибавление удвоенного множимого.

10,00110111 II частичное произведение.

55

00,1000110111 Сдвиг II части произведения на 2 раз­ ряда вправо.

‘11,0000010000 Дополнительный код множимого.

11,1001000111 III частичное произведение.

11,111001000111 Модифицированный сдвиг на 2 раз­ ряда вправо.

__ 11,111001000111 «1» СС.

1 00,111111000000 Прибавление множимого в ПК-

00,111000000111 Произведение мантисс.

С учетом знака

§ 4. ДЕЛЕНИЕ ЧИСЕЛ В ЦВМ С ФИКСИРОВАННОЙ ЗАПЯТОЙ

Деление чисел в ЦВМ сводится к выполнению последовательных вычитаний делителя у первоначально из делимого х, а затем из об­ разующихся в процессе деления частичных остатков zh и сдвига частичных остатков на один разряд влево (10 zt).

Знак частного определяется как сумма по модулю два для зна­ ков делимого и делителя согласно таблице 3-1, а модуль частного— как частное от деления модуля делимого на модуль делителя. По­ этому деление двух чисел с произвольным сочетанием знаков может быть сведено к делению двух положительных чисел, заданных

впрямом коде.

Вцифровых машинах с запятой, фиксированной перед старшим . значащим разрядом, деление возможно только в случае, если де­ лимое х по модулю меньше делителя у. В противном случае частное превышает единицу и выходит за пределы разрядной сетки числа.

В дальнейшем будем считать, что

При автоматическом выполнении деления делитель у вычитается из делимого х. и определяется знак остатка z ± — х—у. При выпол­ нении условия (3.1) остаток zx всегда будет отрицательным, по­ этому первая старшая цифра частного равна 0. В этом случае можно идти двумя различными способами.

По первому способу возвращаемся к делимому х путем прибав­ ления делителя у к остатку zlt то есть х = z1 -'r у. Сдвигаем делимое х на один разряд влево (10 х) и вновь вычитаем делитель у. Если полученный остаток z2 = 10х—у будет положительный, то простав­ ляем в частном 1, сдвигаем частичный остаток z2 на один разряд влево (10 z2) и вновь вычитаем делитель (z3 = 10z2—у) и т. д.

56

Если же остаток z2< 0 , проставляем в частном 0, восстанавли­ ваем предыдущий частичный остаток 10* = z 2 -j- у, сдвигаем его на один разряд влево (100*) и вновь вычитаем делитель (z3100x—у) и т. д. Операции повторяются до тех пор, пока не получится частич­ ный остаток Zi ----- 0 или пока в частном не получится требуемое ко­ личество разрядов.

Метод выполнения деления, когда в случае получения отрица­ тельного остатка к нему прибавляется делитель, называется мето­ дом с восстановлением остатка.

По второму способу при получении отрицательного остатка zt последний сдвигается на один разряд влево (Юг,-), после чего дели­ тель не вычитается, а прибавляется (Юг,- + у).

а для нахождения следующего остатка прибавим к нему делимое у

z 2 ----- 10z, + у = 10* — 10у г у ----- Ю*—у.

Видим, что z2 представляет собой делимое *, сдвинутое на один разряд влево (10*), из которого вычитается делитель у. Происходит автоматическое восстановление остатка. Если г2<Ю, проставляем в частное 0, сдвигаем z2 опять влево (10z2) и к нему вновь прибав­ ляем у. Если z2>-0, прибавляем в частное 1, сдвигаем z2 влево и вычитаем делитель и т. д.

Описанный метод деления называется методом деления без вос­ становления остатка.

Пример 13. Разделить два числа, используя метод с восстанов­ лением остатка. Арифметические действия над дробными частями чисел производить в модифицированном дополнительном коде.

Делимое

Производим деление модулей дробных частей делимого и делителя

57

Пример 14. Разделить два числа методом деления без восстанов­ ления остатка. Арифметические действия над дробными частями числа производить в модифицированном дополнительном коде.

Делимое

58

§ 5. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ В ЦВМ С ПЛАВАЮЩЕЙ ЗАПЯТОЙ

Как указывалось выше в главе второй, числа в ЦВМ с плаваю­ щей запятой могут быть нормализованными и ненормализованными.

При решении задач на ЦВМ ненормализованные числа обычно не применяются, потому что при выполнении арифметических опе­ раций над малыми ненормализованными числами они становятся машинными нулями, т. е. выходят за разрядную сетку вправо.

В нормализованных числах мантисса N 0 удовлетворяет условию

~< \ N 0\<1.

Положительные нормализованные числа должны иметь сочета­ ние 00,1 в двух знаковых разрядах числа и старшем цифровом раз­ ряде мантиссы.

Отрицательные нормализованные числа, представленные в мо­ дифицированном прямом коде, имеют сочетание 11,1. Отрицатель­ ные нормализованные числа, представленные в модифицированном дополнительном или обратном кодах, должны иметь сочетание 11,0. При выполнении арифметических действий над двумя нормализо­ ванными числами результат может быть ненормализованным чис­ лом, т. е. происходит нарушение нормализации. Невыполнение условия |iV0|< < l называется нарушением нормализации влево.

59