книги из ГПНТБ / Архаров В.И. Арифметические и логические основы цифровых вычислительных машин учеб. пособие

заключается в том, что мантиссу ненормализованного числа сдви­ гают влево на столько разрядов, сколько нулей в мантиссе до пер­ вой значащей цифры, в результате чего первая значащая цифра запишется в старший цифровой разряд. Одновременно от порядка числа отнимают число, равное количеству произведенных сдвигов.

Например, ненормализованное число

= 0,00000011111 ПО010.

110нулей

врезультате нормализации будет иметь вид

= 0, 11111■ 10°1(>- ио - 0,1 1111•ю -100.

Как видно из примеров, порядок числа, записанного в нормаль­ ной форме, показывает положение запятой, если число N изобра­ жается набором цифр дробной части числа.

Положительный порядок показывает номер того разряда ман­ тиссы, после которой в записи числа стоит запятая.

Например, в числе 0,1110 111-10110 порядок р == ПО (610), поэ­ тому

0 ,11Ю 11Ы011011.1011,1 .

ПО цифр

Отрицательный порядок показывает количество нулей между запятой и старшим цифровым разрядом мантиссы

Например, в числе 0,10101111- Ю~101 порядок р — — 101 (— 510),

поэтому

0,10101111 - Ю~101 = 0,0000010101111 .

101 нулей

В зависимости от величины порядка будет меняться и положе­ ние запятой, поэтому ЦВМ с нормальной формой представления чисел называют машинами с плавающей запятой. Разрядная сетка или ячейка памяти ЦВМ с плавающей запятой приведена на рис. 6.

30

Знаковые разряды мантиссы и порядка изображаются так же, как и в машинах с фиксированной запятой. Положительный знак изображается цифрой 0, отрицательный— цифрой 1. Знак ман­ тиссы определяет знак всего числа.

На рис. 6 для изображения абсолютной величины мантиссы отведено (п—1) разрядов, для изображения абсолютной величины порядка — т разрядов. Подсчитаем границы диапазона чисел, с которыми может оперировать ЦВМ с плавающей запятой. Макси­ мальное положительное число, которое можно записать в машине, будет равно

у которой п—1 — 12, т — 4. Разрядная сетка такой ЦВМ приве­ дена на рис-. 7.

Диапазон чисел, с которыми может оперировать УВМ с плаваю­ щей запятой, равен

2 - 24< | i V | < ( l - 2 - 12).2 24- \ 2~16< | М |< (1—2_12)-215,

0,00002 < | N | < (1 — 0,00024) 32768.

31

Как видим, при одном и том же количестве цифровых разрядов ячейки памяти диапазон чисел в ЦВМ с плавающей запятой на­ много шире, чем в ЦВМ с фиксированной запятой. Это обстоятель­ ство позволяет в ЦВМ с плавающей запятой вести вычисления без использования масштабных коэффициентов. Запись в ячейке па­

Запись мантиссы числа в ЦВМ с плавающей запятой аналогична записи числа в ЦВМ с запятой, фиксированной перед старшим циф­ ровым разрядом.

В случае, когда количество цифр записывающей мантиссы пре­ вышает количество цифровых разрядов ячейки, мантисса округ­ ляется до установленного числа разрядов. В общем случае округ­ ление до k-vo разряда осуществляется по правилу:

а) отбрасываются все цифры, стоящие справа от /г-го разряда; б) оставшиеся цифры сохраняются без изменения, если первая отброшенная цифра меньше половины основания выбранной си­

стемы счисления; в) если первая из отброшенных цифр больше или равна поло­

вине основания, к последней оставшейся цифре добавляют еди­ ницу.

Например, число 89,965= 1011001,11110111 =

= 0,10110011111011 Ы 0 Ш = 0,10110011111 М О 111.

установленные

12разрядов

ВЦВМ с плавающей запятой для изображения абсолютной ве­

личины мантиссы отведено 1 2 разрядов, поэтому три стоящих справа от них разряда необходимо отбросить. Поскольку первая отбро­ шенная цифра равна 1 , к 1 2 -му разряду прибавляется единица.

32

§ 2. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ В ЦВМ

Пусть нам необходимо вычесть две правильные двоичные дроби

0,11001

0,101100

0,000111

Вычитание двух чисел выполняется по общепринятому алго­ ритму:

1 ) два числа сравниваются по модулю «2 » для выявления боль­ шего числа;

2 ) из большего числа вычитается меньшее, результату присваи­ вается знак большего числа.

При вычитании дробных частей, если очередная цифра вычи­ таемого больше цифры уменьшаемого, возникает необходимость делать заемы в более старших разрядах.

Реализация указанного алгоритма вычитания в ЦВМ сопря­ жена с большими техническими трудностями, поэтому в ЦВМ для представления чисел применяются специальные коды, позволяю­ щие свести операцию вычитания к арифметическому сложению.

Для представления двоичных чисел в ЦВМ применяют прямой, дополнительный и обратный коды. Знак числа во всех указанных кодах изображается нулем или единицей: положительный знак изо­ бражается цифрой 0 , отрицательный — цифрой 1 .

Если в ЦВМ с запятой, фиксированной перед старшим цифровым разрядом, условно рассматривать знаковый разряд как разряд це­ лой части, то все положительные числа будут иметь вид

0, Х!Х2х3 . . . хп

и лежать в интервале 0 <^х<П - Все отрицательные числа будут иметь вид

1, ххх2х3 . . . хп

и лежать в интервале 1 < Д < ; 2 .

При такой условности любому отрицательному числу х, лежа­ щему в интервале — 1 ^ х - < 0 , можно поставить в соответствие положительное число [х], лежащее в интервале

1<1*] < ! + [*]•

§ 3. КОДЫ ЧИСЕЛ

Прямой код

Если х ■— правильная двоичная дробь, положительная или от­ рицательная, то прямым кодом числа х называют число [х]пр по­ лучаемое по следующей формуле:

если х 0 ;

( 2 . 6)

если 0 .

Например:

[0 ,1 0 1 0 1 1 1 ]пр = 0 ,1 0 1 0 1 1 1 ;

[ — 0,1010111]пр = 1— (— 1010111) =1,1010111.

Из формулы (2.6) видно, что нуль имеет два значения прямого кода

[0, 0 . . . 0] = 0, 0 . . . 0;

[—0, 0 . . . 0 ]= 1 — (— 0, 0 . . . 0) = 1, 00 . . . 0.

Изображение мантиссы в ячейке памяти ЦВМ с плавающей за­ пятой совпадает с ее прямом кодом. Изображение дробной части в ячейке памяти ЦВМ с запятой, фиксируемой перед старшим циф­ ровым разрядом, совпадает с ее прямым кодом.

При суммировании в прямом коде чисел, имеющих одинаковые знаки, поразрядно складываются мантиссы, и сумме присваивается код знака слагаемых. Операции над знаками и мантиссами выпол­ няются раздельно, независимо друг от друга.

Пример 3.

х = 0,00101 = —

32

у = 0 ,0 0 1 1 0 1 = —

__________________М

х + у = 0 , 0 1 0 1 1 1 = —

[х+у]„р= 1 ,1 1 0 1 0 = — j |

Сложение в прямом коде чисел, имеющих разные знаки, проис­ ходит по алгоритму, описанному выше. Недостатки, присущие ука­ занному алгоритму, устраняются при применении дополнитель­ ного или обратного кодов.

Дополнительный код

Если х — правильная двоичная дробь, положительная или от­ рицательная, то дополнительным кодом числа х называют число [х ]Доп> получаемое по формуле

34

Из выражения (2.10) находим, что нуль в дополнительном коде

Сложение чисел в дополнительном коде

Рассмотрим четыре возможных случая, представляющихся при сложении двух правильных дробей х и у.

Оба слагаемых положительны, сумма положительна.

[х + у]лт = 0,П П 0 = ^ .

1о

Положительный знак суммы свидетельствует о том, что алге­ браическая сумма получилась в прямом коде.

Оба слагаемых отрицательны, сумма отрицательная:

1 < х < 0 , 1 <+<С0, — 1 < х + г/<0.

36

Согласно выражению (2.7) имеем:

+ у<С2. Учитывая, что двойка, стоящая в выражении (2.11) вне скобок, образует перенос из разряда знака, который будет отбро­ шен, получим:

37

Положительный знак суммы свидетельствует о том, что алге­ браическая сумма получилась в прямом коде.

Одно из слагаемых — положительно, другое — отрицательно, сумма — отрицательна:

0 < х < 1 , — 1 < г /< 0 \ у \ > х — 1<х + у < 0 .

Согласно выражению (2.7)

Мдоп + [#]Доп = х + Ю + у = Ю + х + г/.

По условию — 1 < + + 0, тогда на основании определения дополнительного кода имеем:

Отрицательный знак суммы свидетельствует о том, что алгебраи­ ческая сумма получилась в дополнительном коде.

Из приведенных примеров видим, что представление чисел в до­ полнительном коде позволяет при суммировании оперировать со знаковыми разрядами как с разрядами целой части числа. Поэ­ тому алгебраическое сложение чисел с разными знаками заменяется арифметическим сложением кодов, при этом знак результата по­ лучается автоматически.

Результат суммирования получается в прямом коде, если сумма положительна, и в дополнительном коде, если сумма отрицательна.

Обратный код

Если х — правильная двоичная дробь, положительная или от­ рицательная, то обратным кодом числа х называется число [х 1обр, получаемое по следующей формуле:

Если х = — 0, х гх гх3 . . . хп, то выражение (2.16) можно пре­ образовать следующим образом:

Мобр — 10 + а:— 10 п— 1 + 1—0, хгх2х3 . . . хп— 10 п—

38

Из выражения (2.18) вытекает следующее правило образования обратного кода отрицатёльного числа: в знаковый разряд поставить цифру 1, в дробной части числа все нули заменить единицами, а единицы нулями.

Нуль в обратном коде имеет два значения:

0,00 . . . 0 обр.— 0,00 . . . о

— 0,00 . . . 0 обр. = 1,11 . . . 1.

Пример 11. Определить обратный код отрицательного числа А

—А = —0,11101 = — —

’32 *

Согласно выражению (2.18), имеем

Ween = 1,00010= 1,0001 = — -L

lb

Сложение правильных двоичных дробей в обратном коде

При сложении двух чисел, представленных в обратном коде, производится арифметическое суммирование этих кодов, включая знаковые разряды, которые рассматриваются как разряды целых единиц. При возникновении единицы переноса из знакового разряда ее необходимо прибавить к младшему разряду суммы, т. е. осущест­ вить так называемый циклический перенос. Окончательный резуль­ тат суммирования будет в прямом коде, если сумма положитель­ ная, и в дополнительном коде, если сумма отрицательная.

Рассмотрим четыре основных случая сложения чисел в обратных кодах.

Оба слагаемых положительны:

39